2022年新高考重难点汇编 重难点03 空间向量与立体几何练习题

    立体几何在新高考中主要考查简单几何体的体积，表面积以及外接球问题，有关角的问题；另外选择部分主要考查在点线面位置关系，简单几何体三视图有所弱化；选择题主要还是以几何体的基本性质为主，解答题部分主要考查平行，垂直关系以及二面角问题。前面的热点专题已经对立体几何进行了一系列详细的说明，本专题继续对新高考中立体几何出现的习题以及对应的题目类型进行必要的加强。

空间几何中的动态问题：空间几何的动态问题,较好地体现了平面向空间转化的各种线线,线面位置关系,成了高考命题的热点,备受命题者推崇。

立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别。

处理此类问题的关键是熟练掌握立体几何中的点线面垂直平行异面的关系，找到与包含未知点的量和已知量之间的等量关系或不等关系即可，总体来说难度不大，如果找不出，直接建系来处理即可。

有关外接圆问题：一般图形可以采用补形法，将几何体补成正方体或者是长方体，再利用不在同一个平面的四点确定一个立体平面原理，从而去求。

内切圆问题：转化成正方体的内切圆去求。

求点到平面的距离问题：采用等体积法。

求几何体的表面积体积问题：应注意巧妙选取底面积与高。

对于线面角、二面角问题应采用建立空间坐标系去求，但是坐标系要注意采用左手系务必要标记准确对应点以及法向量对应的坐标。

热点1、球面几何

主要考查多面体的外接球的表面积、体积等，一般应用“老方法”，求出球的半径即可。

热点2、空间几何中的动态问题

(1)研究动态中的几何关系（位置关系、数量关系）问题。

(2)研究空间几何中的动态轨迹问题。

热点3、空间向量的应用（求角、距离等）

A卷（建议用时60分钟）

一、单选题

1．（2021·福建厦门市·高三二模）2008年北京奥运会游泳中心(水立方)的设计灵感来于威尔·弗兰泡沫，威尔·弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成(其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形)，已知该多面体共有24个顶点，且棱长为1，则该多面体表面积是（    ）

A．     B．      C．     D．

2．（2021·天津英华国际学校高三期中）在四面体中，平面，，，，则该四面体的外接球的表面积是（    ）

A． B．100π C． D．20π

3．（2021·全国高考真题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

4．（2022·湖北·高三专题练习）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M、N、F分别是B1C1、CC1、AB的中点，则下列说法正确的是（    ）

A．MNEF，且MN与EF平行 B．MNEF，且MN与EF平行

C．MNEF，且MN与EF异面 D．MNEF，且MN与EF异面

5．（2022·广东·高三专题练习）已知长方体中，，点在线段上，，平面过线段的中点以及点，若平面截长方体所得截面为平行四边形，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．（2021·浙江·台州一中高三期中）如图，等腰直角中，，点为平面外一动点，满足，，则存在点使得（    ）

A．  B．与平面所成角为  C．  D．二面角的大小为

7．（2021·河南省实验中学高三期中）棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为（    ）

A． B． C． D．1

8．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体内切球的表面积为，是空间中任意一点：

①若点在线段上运动，则始终有；

②若是棱中点，则直线与是相交直线；

③若点在线段上运动，三棱锥体积为定值；

④为中点，过点，且与平面平行的正方体的截面面积为;

以上命题为真命题的个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

二、多选题

9．（2021·广东顺德·高三阶段练习）如图，在正方体中，点E，F分别为，BC的中点，设过点E，F，的平面为，则下列说法正确的是（    ）

A．为等边三角形；

B．平面交正方体的截面为五边形；

C．在正方体中，存在棱与平面平行；

D．在正方体中，不存在棱与平面垂直；

10．（2021·福建省龙岩第一中学模拟预测）已知正方体的棱长为4，点是棱的中点，点在面内(包含边界)，且，则(    )

A．点的轨迹的长度为   B．存在，使得

C．直线与平面所成角的正弦值最大为

D．沿线段的轨迹将正方体切割成两部分，挖去体积较小部分，剩余部分几何体的表面积为

11. （2021·全国新高考1卷真题）正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ）

A. 当时，的周长为定值

B. 当时，三棱锥的体积为定值

C. 当时，有且仅有一个点，使得

D. 当时，有且仅有一个点，使得平面

12．（2021·山东潍坊·高三期中）已知正方体的棱长为，下列结论正确的有（    ）

A．异面直线与所成角的大小为

B．若是直线上的动点，则平面

C．与此正方体的每个面都有公共点的截面的面积最小值是

D．若此正方体的每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截正方体所得截面面积的最大值是

三、填空题

13．（2021·湖南·衡阳市八中模拟预测）阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家，享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家.公元前212年，古罗马军队入侵叙拉古，阿基米德被罗马士兵杀死，终年七十五岁.阿基米德的遗体葬在西西里岛，墓碑上刻着一个圆柱内切球（一个球与圆柱上下底面相切且与侧面相切）的图形，以纪念他在几何学上的卓越贡献，这个图形中的内切球的体积与圆柱体积之比为_____，内切球的表面积与圆柱的表面积之比为______.

14．（2020·海南高考真题）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．

15．（2021·江西·南昌市豫章中学高三开学考试）已知三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为_________．

16．（2021·西藏·拉萨那曲高级中学高三期中）在矩形中，，，在上运动，设，将沿折起，使得平面垂直于平面，长最小时的值为__________．

四、解答题

17．（2021·山东省济南市莱芜第一中学高三期中）如图，在四棱台中，底面是平行四边形，平面，，，.

（1）证明：；（2）证明：平面.

18．（2021·江苏·南京师大苏州实验学校高三期中）如图，四棱锥中，底面，，，，，M是上一点，且，N是中点.

（1）求证：；（2）若二面角大小为，求棱锥的体积.

19．（2021·天津二中高三期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，，面ABCD，E、F分别为PA、AB的中点，直线AC与DF相交于O点．（1）证明：平面DEF；（2）求直线PC与平面DEF所成角的正弦值；（3）求二面角A-EO-D的余弦值.

20．（2021·福建·福清西山学校高三期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，E为棱PB上一点.（1）若E为棱PB的中点，求证：直线平面PAD；（2）若E为棱PB上存在异于P､B的一点，且二面角的平面角的余弦值为，求直线AE与平面ABCD所成角的正弦值.

21．（2021·天津市第五十四中学高三期中）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底面，是棱的中点，且，.（1）求证：平面；（2）棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求的值；若不存在，说明理由.

22．（2020·北京·北师大二附中高三期中）如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成角为60°.（1）求证：平面BDE；（2）求二面角的余弦值；（3）设点M是线段BD上的一个动点，试确定点M的位置，使得平面BEF，并证明你的结论.

B卷（建议用时90分钟）

一、单选题

1．（2021·浙江高考真题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ）

A．直线与直线垂直，直线平面

B．直线与直线平行，直线平面

C．直线与直线相交，直线平面

D．直线与直线异面，直线平面

2．（2021·江苏南京市·高三一模）钺（yuè）的本字其实是“戊（yuè）”，是一种斧头．在中国古代，长江流域以南的少数民族都被称为越人，由于民族很杂部落众多，也称“百越”，有学者指出，“越人”的“越”，其含义可能由“戊”而来，意指这些都是一帮拿着斧头的人．此外，“戊（wù）”的本意和“戊”一样，也是指斧头．如图是一把斧子，它的斧头由铁质锻造，它的形状可以近似看做由上下两个多面体组合而成，上部是一个长方体，下部是一个“楔（xie）形”，其尺寸如图标注（单位：cm），已知铁的比重为，斧头上用作安装斧柄的洞眼仍看作实心，这只斧头的质量（单位：g）所在的区间为（    ）

A． B． C． D．

3．（2020·海南高考真题）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（    ）

A．20°            B．40°             C．50°           D．90°

4．（2021·山东·胶州市教育体育局教学研究室高三期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面为等边三角形，平面平面，为上一点，为上一点，直线平面，则的面积为（    ）

A． B． C． D．3

5．（2021·江西景德镇·模拟预测）在三棱锥中，平面平面，，，，的面积为，则三棱锥的外接球体积为（    ）

A． B． C． D．

6．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，点M在线段(不包含端点)上运动，则下列判断中正确的是（    ）

①平面；         ②异面直线与所成角的取值范围是；

③平面恒成立；    ④三棱锥的体积不是定值．

A．①③ B．①② C．①②③ D．②④

7．（2021·浙江省杭州第二中学模拟预测）已知正三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为，为的中点，为中点，是的动点，是平面上的动点，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

8．（2022·浙江·高三专题练习）在三棱锥中，，点在面上的投影是的垂心，二面角的平面角记为，二面角的平面角记为，二面角的平面角记为，则（    ）

A．      B．        C．      D．

二、多选题

9. （2020.八省联考）下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（    ）

A.  B.  C.  D.

10．（2021·福建·莆田一中高三期中）如图1，在矩形与菱形中，，，，分别是，的中点．现沿将菱形折起，连接，，构成三棱柱，如图2所示，若，记平面平面，则（    ）

A．平面平面 B．

C．直线与平面所成的角为60° D．四面体的体积为

11．（2021·重庆市育才中学二模）如图，正四棱锥的高为3，底面边长为2，K是棱的中点，过作平面与线段，分别交于点M，N(M，N可以是线段的端点)，设，，下列说法正确的是（    ）

A．时，平面与平面所成锐二面角取得最大值  B．

C．类比，可得到一个真命题：  D．的最小值为

12．（2021·河北石家庄·模拟预测）正方体的棱长为6，M､N为底面内两点，，异面直线与所成角为30°，则正确的是（    ）

A．                        B．直线与为异面直线

C．线段长度最小值为   D．三棱锥的体积可能取值为12

三、填空题

13．（2021·江苏连云港·高三期中）现有四个半径都为2的小球，若把这四个小球完全装入一个球形容器内，则该球形容器半径的最小值为___________.

14．（2021·北京高考模拟）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最大值为60°.

其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）

15．（2021·内蒙古呼和浩特·二模）在正方体中，M为AB中点，N为BC中点，P为线段上一动点（不含C）过M、N、P与正方体的截面记为，则下面三个判断，其中正确判断的序号有______．

①当P为中点时，截面为六边形；②当时，截面为五边形；

③当截面为四边形时，它一定是等腰梯形；

16．（2022·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，，，，点是棱的中点，点在棱上，且满足，是侧面四边形内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是_________．

四、解答题

17．（2021·四川泸州·模拟预测）如图，四边形为正方形，若平面平面，，，.（1）求二面角A－CF－D的余弦值；（2）判断点D与平面CEF的位置关系，并说明理由.

18．（2021·浙江·绍兴一中高三期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，平面，，，分别为，的中点，点在线段上.（1）求证：平面；（2）如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值.

19．（2021·北京·新农村中学高三期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，M为的中点，且.（1）求的长；（2）求二面角的余弦值；（3）求点C到平面的距离.

20．（2021·江苏·邵伯高级中学高三阶段练习）如图，在圆柱中，AB是底面圆的直径，CD是底面圆O的直径，已知圆O的半径为，圆柱的母线，E为的中点.

（1）若，证明：平面ABE；（2）若，求二面角的余弦值.

21．（2021·江苏·南京师大附中高三期中）在三棱柱中，侧面是正方形，，AB⊥BC．（1）求证：平面平面ABC；（2）线段上是否存在点E，使得直线与平面所成角为？

22．（2021·天津市第一零二中学高三期中）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D，E分别是，的中点（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值；（3）在棱上是否存在一点P，使得直线PD与平面所成角正弦值为?若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．