专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（练）-2022年新高考数学一轮复习讲练测

专题2.3   二次函数与一元二次方程、不等式

1．（2020·元氏县第一中学高一期中）如果关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

关于的不等式的解集为，

所以和是方程的两实数根，且，

由根与系数的关系得解得，，

所以，，，

所以不等式化为，

即，即，

解得或，

则该不等式的解集为.

故选：C.

2．（2019·攀枝花市第十五中学校高一月考）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由题意可知：当时，不等式恒成立.

当时，显然成立，故符合题意；

当时，要想当时，不等式恒成立，

只需满足且成立即可，解得：，

综上所述：实数的取值范围是.

故选：D

3．（2020·江西省崇义中学高一开学考试（文））方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

令，

由二次函数根的分布性质，若一根在区间内，另一根在区间（3，4）内，

只需，即，

解不等式组可得，

即的取值范围为，

故选：C.

4．（2020·安徽省高三其他（理））已知函数，若存在，且，使得，则实数的取值范围为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由题意知，的对称轴为.

当，即时，根据二次函数的性质可知，一定存在使得；

当，即时，由题意知，，解得，不符合题意.

综上所述，.

故选:A.

5．（2018·安徽省怀宁县第二中学高三月考（文））对于实数a和b，定又运算“”，，函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

由可得

保证函数恰有两个零点，即方程有个解

故函数图象与图象恰有两个交点

画图函数图象，如图：

与有两个交点时，或，

即函数恰有两个零点时数的取值范围是：或

故答案为：A.

6.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_________.

【答案】

【解析】

∵不等式对任意恒成立，

∴函数的图象始终在轴下方，

∴，解得，

故答案为：．

7.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是______________；

【答案】

【解析】

不等式恒成立

等价于的最大值小于

又容易知，故只需

解得：.

故答案为：.

8．（2019·安徽省淮北一中高一期中）若不等式的解集是，则有以下结论：①，②且，③，④，⑤不等式的解集是.其中正确结论的序号是________.

【答案】②④⑤

【解析】

由不等式的解集是可知：，①错误，

，2是的二根，

∴，，

∴，，∴，，∴②正确，

令，

由题意可知∴③错误，

，∴④正确，

，∴，，其中，

∴，解集是）所以⑤正确，

故答案为：②④⑤

9．（2020·江西省奉新县第一中学高一月考）已知函数在区间上有最大值4和最小值1.设.

（1）求，的值；

（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由函数，

因为，所以在区间上是增函数，

故，解得.

（2）由（1）可得函数，

又由，可化为，即，

令，则，

因为，所以，令函数，

因为，所以当时，函数取得最小值，

所以，

即不等式在上有解时，的取值范围是.

10．（2020·山东省微山县第一中学高一月考）已知函数.

（1）若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围;

（2）若对一切实数都成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由函数知，

函数图象的对称轴为.

因为函数在区间上具有单调性，

所以或，

解得或，

所以实数的取值范围为.

（2）解法一：若对—切实数都成立，则，

所以，化简得，

解得，

所以实数的取值范围为.

解法二：若对一切实数都成立，则，

所以， 化简得，

解得，

所以实数的取值范围为.

1．（2020·山东省高三二模）已知函数，若恒成立，则实数m的范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

，

（1），恒成立等价于或恒成立，

即或（不合题意，舍去）恒成立；

即，解得，

（2）恒成立，符合题意；

（3），恒成立等价于（不合题意，舍去）或恒成立，等价于，解得.

综上所述，，

故选：A.

2．（2020·北京牛栏山一中高三月考）函数在上的最小值为，最大值为2，则的最大值为（   ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【解析】

当x≥0时，f（x）=x（|x|﹣1）=x2﹣x=（x﹣）2﹣，

当x＜0时，f（x）=x（|x|﹣1）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+，

作出函数f（x）的图象如图：

当x≥0时，由f（x）=x2﹣x=2，解得x=2．

当x=时，f（）=．

当x＜0时，由f（x）=）=﹣x2﹣x=．

即4x2+4x﹣1=0，解得x==，

∴此时x=，

∵[m，n]上的最小值为，最大值为2，

∴n=2，，

∴n﹣m的最大值为2﹣=，

故选：B．

3．（2020·浙江省萧山中学高三开学考试）设函数，则“”是“与”都恰有两个零点的（    ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

显然是的最小值，若有两个零点，

设，且，由得或，

由题意只有两个零点，因此无解，有两个不等实根，

即，，必要性得证，

若，由于，因此有两个零点，

设为，不妨设，由得或，

显然无解，有两个不等实根，

即有两个零点，充分性得证，

故题中是充分必要条件，故选C.

4．（2020·浙江省高三二模）已知函数的图象经过三个象限，则实数a的取值范围是________.

【答案】或.

【解析】

当时，，此时函数图象经过第三象限，

当时，，此时函数图象恒经过第一象限，当且，即时，函数图像经过第一、四象限，

当时，，此时函数图象恒经过第一象限，当，即时，函数图像经过第一、四象限，

综上所述：或.

5．（2020·陕西省西安中学高三其他（理））记函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是_________.

【答案】

【解析】

令，

因为，则，

所以，即1是函数的零点，

因为函数的对称轴为，

所以根据题意，若函数有且只有一个零点，则二次函数没有零点，

，解得.

故答案为：

6．（2018·浙江省高三期末）已知函数的最小值为，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

分情况进行讨论：

当时，，时在取得最小值，时在时取得最小值2，故，解得，又因为此时，所以。

当时，时在之间取得最小值，时在处取得最小值，故，解得，又因为此时，所以。

当时，，时在之间取得最小值，而此时，所以时的最小值为。又根据二次函数性质，时在处取得最小值，故，解得或，而此时，故。

所以实数的取值范围为。

故答案为：

7．（2018·浙江省高三一模）已知在上恒成立，则实数的最大值为______．

【答案】

【解析】

设函数，

则由题设得，

所以，解得．

易知函数在上单调递增．

设，其中，

则．

注意到，

讨论如下：

①当时，函数在上单调递减，

可得，

从而根据在上恒成立知，只需满足，

解得．

②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

可得，

从而根据在上恒成立知，只需满足，

解得．

综上所述，．

故所求实数的最大值为．

故答案为：.

8．（2017·浙江省温州中学高三一模）已知二次函数，对任意实数，不等式恒成立，

 （Ⅰ）求的取值范围；

 （Ⅱ）对任意，恒有，求实数的取值范围.

【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .

【解析】

 (Ⅰ) 由题意可知, ，

，

对任意实数都有，即恒成立，

∴，由

此时，对任意实数都有成立，

的取值范围是.

(Ⅱ) 对任意都有等价于在上的最大值与最小值之差，由（1）知 ，

即，对称轴： 据此分类讨论如下：

(ⅰ)当即时，， .

 (ⅱ) 当,即时，恒成立.

（ⅲ）当，即时， .

综上可知，.

9．（2019·黑龙江省哈尔滨三中高三其他（理））已知二次函数满足且.

（1）求的解析式；

（2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）设，

则，

所以，

解得：，.又，

所以.

（2）当时，恒成立，

即当时，恒成立.

设，.

则，.

10.（2020·北京高三一模）当时,若函数的图象与的图象有且只有一个交点,则正实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

当时,又因为为正实数,

函数的图象二次函数,

在区间 为减函数,在区间为增函数;

函数,是斜率为的一次函数.

最小值为,最大值为;

①当时,即时,

函数在区间 为减函数,

在区间 为增函数,

的图象与的图象有且只有一个交点,

则,即

,解得,

所以

②当时,即时,

函数在区间 为减函数,在区间为增函数,

在区间 为增函数,

的图象与的图象有且只有一个交点,

则,即

的图象与的图象有且只有一个交点

,

解得或

综上所述：正实数的取值范围为.

故选:B

1．（2017·浙江省高考真题）若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值（    ）

A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关

C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关

【答案】B

【解析】

因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B．

2.（2015·四川省高考真题（理））如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（ ）

A．16 B．18 C．25 D．

【答案】B

【解析】

时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即..由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即..由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有 .所以，所以最大值为18.选B..

3．（2014·湖北省高考真题（文））已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

因为是定义在上的奇函数，当时，，

所以，所以，

由解得或；由解得，

所以函数的零点的集合为，故选D.

4.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．

【答案】  (1,4) 

【解析】

由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是

当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.

5．（2014·天津高考真题（理））已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________．

【答案】．

【解析】

（方法一）在同一坐标系中画和的图象（如图），问题转化为

与图象恰有四个交点．当与（或与）相切时，与图象恰有三个交点．把代入，得，即，由，得，解得或．又当时，与仅两个交点，或．

（方法二）显然，∴．令，则

∵，∴．结合图象可得或．

6．（2015·浙江省高考真题（文））设函数.

（1）当时，求函数在上的最小值的表达式；

（2）已知函数在上存在零点，，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）当时，，故其对称轴为.

当时，.

当时，.

当时，.

综上，

（2）设为方程的解，且，则.

由于，因此.

当时，，

由于和，

所以.

当时，，

由于和，所以.

综上可知，的取值范围是.