大题专练训练31：导数（恒成立问题1）-2022届高三数学二轮复习

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二轮大题专练31—导数（恒成立问题1）1．已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若对任意x∈[0，+∞），f（x）≥﹣sinx恒成立，求a的取值范围．解：（1）函数，故，当a≤0时，f′（x）≥0，故f（x）在R上单调递增，当a＞0时，令，当时，f'（x）＞0，所以f（x）单调递增，当时，f'（x）＜0，所以f（x）单调递减，当时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增；（2）对任意x∈[0，+∞），f（x）≥﹣sinx恒成立，即在[0，+∞）上恒成立，令，又F（x）≥F（0），所以F（x）在[0，+∞）上单调递增，由F'（x）＝，所以F'（0）≥0，即1﹣a≥0，所以a≤1（必要性），下证充分性，当a≤1时，，令，则，令，则h′（x）＝x﹣sinx≥0，故h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（0）＝0，所以g′（x）≥0，故g（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）＝0，所以F（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，符合题意．综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，1]．2．已知函数，（其中为参数）．（1）若，且直线与的图象相切，求实数的值；（2）若对任意，不等式成立，求正实数的取值范围．解：（1）若，则，则，直线恒过定点，则直线的斜率为，设切点，由导数几何意义可得，即，令，观察得（1），又，所以在上递增，所以方程的根仅有，所以；（2）令，则，令，则在，上递增，且，（a），所以存在唯一，使得，所以当时，，故函数单调递减，当，时，，故函数单调递增，所以由对恒成立，可得，即，令，则，所以在上递减，由（1），所以的解为，所以，令，，则在上递增，所以，所以．3．已知函数．（1）证明：当时，无零点；（2）若恒成立，求实数的取值范围．解：（1）证明：函数的定义域为，当时，，，令，则，在，上单调递增，又，，存在，使得，即，当时，，单调递减，当，时，，单调递增，，当时，函数无零点．（2）恒成立，即恒成立，恒成立，令，则，令，则，函数在上单调递增，又，，存在，使得，当时，，单调递减，当，时，，单调递增，，，，，，，，令，则，函数在上单调递增，，，，，实数的取值范围为，．4．函数．（1）求的单调区间；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．解：（1）由题意得，令，解得：，故，的递增区间是，，令，解得：，的递减区间是，，综上：的递增区间是，，递减区间是，；（2）由恒成立，得，构造函数，则，设，则，当，时，，，所以，所以即在，上单调递增，则，若，则，所以在，上单调递增，所以恒成立，符合题意，若，则，必存在正实数，满足：当时，，单调递减，此时，不符合题意，综上所述，的取值范围是，．5．已知函数．（Ⅰ）若，试求在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，试求函数的单调增区间；（Ⅲ）若在定义域上恒有成立，求实数的取值范围．解：（Ⅰ）当时，，则，在点处的切线斜率（2），在点处的切线方程为．（Ⅱ）由，得，由，知，当时，的单调增区间为，当，即时，的单调递增区间为，（Ⅲ）由恒成立，可得恒成立，恒成立，令，则，令，则或，当或时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，又，，实数的取值范围为，．6．已知函数．（1）求曲线在点，处的切线方程；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．解：（1），所以．又，所以曲线在点，处的切线方程为．（2）解法，令，则，令，则，所以是增函数，又，（1），由零点存在定理及是增函数，知存在唯一的，使得，当时，，，单调递减，当，时，，，单调递增，所以．法1（同构法）：由，得，即，令，则，是增函数，又，，所以①，①两边取自然对数，得，即，所以②，由①②，得，于是，即．所以实数的取值范围是，．法2（换元法）：由，得，令则两式左右分别相加，得，又是增函数，所以，所以．由，得②，由①②，得，于是，即．所以实数的取值范围是，．解法，先证明：，当且仅当时取等号，令，则．所以；，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，所以．所以，当且仅当时取等号，因此，当且仅当时取等号，令，则，（1），又为增函数，由零点存在定理，知存在唯一的，使得，所以的最小值为，由题意，，又，所以，即，所以实数的取值范围是，．7．已知函数．（1）当时，求在上的单调区间；（2）若对恒成立，求实数的取值范围．解：（1）时，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减．故当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）由，得对恒成立，设函数，则，设函数，则，所以在上单调递增．因为，又（1），所以有唯一零点，，且，故，两边同时取对数得，易证明函数是增函数，所以得，所以，所以在上单调递减，在，上单调递增，所以，则，故的取值范围是，．8．已知函数，其中（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）若对于恒成立，求的最大值．解：（1）由，得，所以，．所以曲线在点，处的切线方程为．（2）由，得．因为，且在上单调递增，所以由得，，所以函数在上单调递增，由得，所以函数在上单调递减．综上，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（3）由，得在上恒成立．设，则．由，得，．随着变化，与的变化情况如下表所示：，，0极小值所以在，上单调递减，在，上单调递增．所以函数的最小值为．由题意，得，即．设，则．因为当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．所以当时，．所以当，，即，时，有最大值为．