专题9.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

第九篇    计数原理、概率与随机变量及其分布列

专题9.01 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

【考纲要求】

1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．

2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题

【命题趋势】

利用计数原理、排列、组合知识求解排列、组合问题

【核心素养】

本讲内容能体现对数学抽象，数学建模和数据分析的考查.

【素养清单•基础知识】

两个计数原理

(1)每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事.

(2)各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.

(1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事.

(2)各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏.

【素养清单•常用结论】

1.完成一件事可以有n类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.

2.完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法.

【真题体验】

1．从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为__________．

2．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有__________个．　

3．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有__________个．

4．(2019·滨州模拟)2018年部分省市开始实行“3＋1＋2”高考模式，现有甲、乙两人从4门课程中选考2门，则甲、乙所选考的课程中恰有1门相同的选法有__________种．

【考法拓展•题型解码】

考法一　　分类加法计数原理

误区防范　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　

利用分类加法计数原理解题时的注意事项：

(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏．

(2)分类时，注意完成这件事件的任何一种方法必须属于某一类，不能重复．

【例1】 (1)高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人．

①从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有__________种不同的选法；

②从高三一班、二班男生中，或高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有__________种不同的选法．

(2)如图，从A到O有__________种不同的走法(不重复过一点)．

(3)若椭圆＋＝1的焦点在y轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为__________．

考法二　　分步乘法计数原理

归纳总结　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　

(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．

(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．

【例2】 (1)(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)

A．24                                     B．18 

C．12                                     D．9

(2)有六名同学报名参加三项智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则不同的报名方法有__________种．

考法三　　两个计数原理的综合应用

误区防范　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　

利用两个计数原理解题时的注意事项

(1)认真审题，分析题目的条件、结论，特别要理解题目中所讲的“事情”是什么，完成这件事情的含义和标准是什么．

(2)明确完成这件事情需要“分类”还是“分步”，还是既要“分类”又要“分步”，并搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么．

【例3】 (2017·天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有__________个(用数字作答)．

【例4】 某班一天上午有4节课，每节都需要安排1名教师去上课，现从A，B，C，D，E，F这6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A，B两人中安排一个，第四节课只能从A，C两人中安排一人，则不同的安排方案共有__________种．

【例5】 如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有__________种．

【易错警示】

易错点　两个计数原理混淆

【典例】 体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有(　　)

A．14种                          B．7种

C．24种                          D．49种

【错解】：B　学生进出体育场大门需分两类，一类从南侧的4个门进，一类从北侧的3个门进，由分类加法计数原理，共有7种方案．

【错因分析】：错解中由于没有审清题意，误用计数原理．事实上，题目中不仅要考虑从哪个门进，还需考虑从哪个门出，应该用分步乘法计数原理去解决．

【正解】：D　学生进门有7种选择，同样出门也有7种选择，由分步乘法计数原理，该学生的进出门方案有7×7＝49(种)．

【跟踪训练】 如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3为顶点的三角形个数为(　　)

A．30                                    B．42 

C．54                                    D．56

【递进题组】

1．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有(　　)

A．9个                                   B．3个 

C．12个                                  D．6个

2．(2019·沧州七校联考)已知如图的每个开关都有闭合、不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能，在这25种可能中，电路从P到Q接通的情况有(　　)

A．30种                                  B．10种

C．16种                                  D．24种

3．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，则：

(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数？其中偶函数有多少个？

(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数？

(2)y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b，c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72(个)图象开口向上的二次函数．

4．[考法三](2019·长沙雅礼中学月考)给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有4种颜色可供选择，则共有多少种不同的染色方案？

【考卷送检】

一、选择题

1．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数是(　　)

A．12                                    B．6

C．8                                     D．16

2．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为(　　)

A．324                              B．648

C．328                              D．360

3．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有(　　)

A．8种                                    B．9种

C．10种                                   D．11种

4．如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现在要求在其余四个区域中涂色，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域涂色不同，则不同的涂色方法种数为(　　)

A．64                                       B．72

C．84                                       D．96

5．某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花(　　)

A．3 360元                                  B．6 720元

C．4 320元                                  D．8 640元

6．设集合I＝{1,2,3,4,5}，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有(　　)

A．50种                                    B．49种

C．48种                                    D．47种

二、填空题

7．(2019·邯郸一中模拟)从集合{1,2,3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有________个．

8．如图所示的几何体由一个正棱锥P－ABC与正三棱柱ABC－A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．

9．(2019·杭州质检)用1,2,3,4,5组成不含重复数字的五位数，数字2不出现在首位和末位，数字1,3,5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是________．(注：用数字作答)　

三、解答题

10．一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．

(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡自己使用，共有多少种不同的取法？

(2)某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡，供自己今后选择使用，问一共有多少种不同的取法？

11．有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．

(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？

(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？

(3)从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？

12．编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，则不同的放法有多少种？

13．(2019·黄冈多校月考)三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？