新高考数学实战演练仿真模拟卷4（带答案）

新高考数学实战演练仿真模拟卷4

一．选择题（共8小题）

1．已知全集为，集合，，0，1，2，，则　　

A．， B．，0， C．，0， D．，1，2，

【解析】解：，，0，1，2，，

则或，0，1，2，，0，．

故选：．

2．已知复数，是实数，那么复数的实部与虚部满足的关系式为　　

A． B． C． D．

【解析】解：由，

得，

由题意，．

故选：．

3．某胸科医院感染科有3名男医生和2名女医生，现需要从这5名医生中抽取2名医生成立一个临时新冠状病毒诊治小组，恰好抽到的2名医生都是男医生的概率为　　

A． B． C． D．

【解析】解：胸科医院感染科有3名男医生和2名女医生，

现需要从这5名医生中抽取2名医生成立一个临时新冠状病毒诊治小组，

基本事件总数，

恰好抽到的2名医生都是男医生包含的基本事件个数，

恰好抽到的2名医生都是男医生的概率为．

故选：．

4．函数的图象　　

A．关于直线对称 B．关于点对称 

C．关于轴对称 D．关于轴对称

【解析】解：对于函数，令，可得，

故它的图象关于点对称，

故选：．

5．过双曲线的左焦点作渐近线的垂线，垂足为，则为坐标原点）的面积为　　

A． B． C． D．

【解析】解：双曲线可得，，

焦点到渐近线的距离，

，

所以，

故选：．

6．在中，角、、的对边分别为，，，若，则　　

A． B． C． D．

【解析】解：已知等式，利用正弦定理化简得：，

整理得：，

，

，

故选：．

7．已知定义在上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，时，单调递增，则满足：的实数的取值范围为　　

A． B． C． D．

【解析】解：因为奇函数在时，单调递增，

根据奇函数的对称性可知，在上单调递增，

由可得，

，

解可得．

故选：．

8．在中，，，，点是所在平面内一点，，且满足，若，则的最小值是　　

A． B． C．1 D．

【解析】解：中，，，，点是所在平面内一点，以点为原点，以为轴，以为轴，建立平面直角坐标系．

如图所示：

所以，，

所以，

由于满足，

所以设满足，整理得：，

故，

所以，，

所以．

当时，的最小值是．

故选：．

二．多选题（共4小题）

9．在平面直角坐标系中，为了使方程表示准线垂直于轴的圆锥曲线，实数的取值范围可以是　　

A． B． C． D．

【解析】解：当时，表示双曲线，焦点坐标在轴，

准线垂直于轴的圆锥曲线，

当时，的焦点坐标在轴上的椭圆，满足准线垂直于轴，

所以实数的取值范围：，，．

故选：．

10．若将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），最后得到函数的图象，则实数的值可能是　　

A． B． C． D．

【解析】解：若将函数的图象上所有的点向右平移个单位，可得的图象；

再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），的图象．

由于最后得到函数的图象，

，，，

令，可得，令，可得，

故选：．

11．设，，且，则下列结论正确的是　　

A．的最小值为 B．的最小值为2 

C．的最小值为 D．

【解析】解：，，且，，

，当且仅当时取“ “，选项错误；

，当且仅当时取“ “，选项正确；

，时“ “，选项正确；

，选项正确．

故选：．

12．设常数，，对于二项式的展开式，下列结论中，正确的是　　

A．若，则各项系数随着项数增加而减小 

B．若各项系数随着项数增加而增大，则 

C．若，，则第7项的系数最大 

D．若，，则所有奇数项系数和为239

【解析】解：二项式的展开式的通项为，

对于：若，则各项系数一正一负交替出现，故不对，

对于对于任意的，1，2，，，都成立，

所以，且对任意的都成立，

，故正确；

当，，则展开式中奇数项的系数为正值，偶数项的系数为负值，

所以，只需比较，，，，，即可，

可得，最大，即展开式中第7项的系数最大，故正确；

当，，则奇数项系数和为：，故正确；

故选：．

三．填空题（共4小题）

13．一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半径为的球，则该棱柱体积的最大值为　　．

【解析】解：如图所示，设球心为，正三棱柱的上下底面的中心分别为，，底面正三角形的边长为，

则．

由已知得底面，

在中，，由勾股定理得，

，

令（a），

则（a），令（a），

又，解得．

在区间上，（a）；在区间，上，（a）．

函数（a）在区间上单调递增；在区间，上单调递减．

函数（a）在时取得极大值．

函数（a）在开区间，有唯一的极值点，因此也是最大值点．

．

故选．

14．是等差数列，其前项和为，，，的最大值为　30　．

【解析】解：是等差数列，其前项和为， ，

，

，，

，

故当，或时，取得最大值为 30，

故答案为：30．

15．已知直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆在第一象限的交点为，与轴的交点为，是椭圆的左焦点，且，则椭圆的方程为　　．

【解析】解：由题意直线经过椭圆的右焦点，令可得，所以右焦点，即，左焦点，

由题意令，可得，所以所以线段的中点，

直线的斜率为，所以线段的中垂线方程为：，即，

因为，所以线段的中垂线过点，

所以为的交点，解得，，即，，

而在椭圆上，所以解得：，，

所以椭圆的方程为：，

故答案为：．

16．如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为　　．

【解析】解：，，，

平面．

设，则，且．

五边形的面积为．

五棱锥的体积，

设，则，

当时，，

在上单调递增，又，（1）．

五棱锥的体积的范围是．

故答案为：．

四．解答题（共6小题）

17．的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为．

（1）求；

（2）若，，求的值．

【解析】解：（1）的内角，，的对边分别为，，，

的面积为，

，即．

再利用正弦定理可得，

因为，

．

（2），，，

，，．

由正弦定理，，

，，

再根据余弦定理，，

，．

18．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，点是棱的中点，平面．

（1）求的长；

（2）求棱与平面所成角的正弦值．

【解析】解：如图，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，

，1，，，1，，，0，．

因为是中点，所以点的坐标为，，，

所以，，，，1，，

，0，．

（1）因为平面，所以．

即，所以，即．

（2）由，1，，，，，

可求得平面的一个法向量，0，．

又，，，所以，．

设与平面所成角为，则，

即与平面所成角的正弦值为．

19．阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系①，②，③中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的______处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）

设数列的前项和为，，对任意的，都有____﹣；等比数列中，对任意的，都有，，且，问：是否存在，使得：对任意的，都有？若存在，试求出的值；若不存在，试说明理由．

【解析】解：设等比数列的公比为，

因为对任意的，都有，

所以，解得或，

因为对任意的，都有，所以，从而，

又，所以，

显然，对任意的，，

所以，存在，对任意的，都由，即，

记，，下面分别就选择①②③作为条件进行分析，

①因为对任意的，都有，即，

又，即，所以，从而，

所以数列是等比数列，公比为，

得，即，

所以，从而，

由，即，所以，得

当时，，

所以或2时，取得最大值，即取得最大值，

所以对任意的，都有，即，，

所以存在，2使得对任意的，都有．

②对任意的，都有，即，

所以数列是等差数列，公差为2，

又，所以，

所以，从而，

由，即，解得，

得当时，；当时，，

所以当时，取得最大值，即取得最大值．

所以对任意的，都有，即，，

所以存在使得对任意的，都有．

③因为对任意的，都有，所以，

从而，即，

又，所以，且，

从而数列是等比数列，公比为2，得，

所以，

从而，所以，

所以，当时，取得最大值，即取得最大值，

所以对任意的，都有，即，

所以存在，使得对任意，都有．

20．在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识，就业方向也悄然发生转变．某大学生在国家提供的税收，担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数（单位：万元）与时间（单位：年）的数据，列表如下：

（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果精确到．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）

附：相关系数公式：

参考数据：，．

（2）谈专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．

方案一：每满500元可减50元；

方案二：每满500元可抽奖一次，每次中奖的概率都为，中奖就可以获得100元现金奖励，假设顾客每次抽奖的结果相互独立．

①某位顾客购买了1050元的产品、该顾客选择参加两次抽奖，求该顾客换得100元现金奖励的概率．

②某位顾客购买了2000元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择返回200元现金，还是选择参加四次抽奖？说明理由．

【解析】解：（1）由题知，，，

，，．

则．

故与的线性相关程度很高，可以用线性回归方程拟合；

（2）①顾客选择参加两次抽奖，设他获得100元现金奖励为事件，（A）；

②设表示顾客在四次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果相互独立，则，

．

由于顾客每中一次可获得100元现金奖励，因此顾客在四次抽奖中可获得的奖励金额的均值为．

由于顾客参加四次抽奖获得现金奖励的均值160小于直接返现的200元现金，故专营店老板希望该顾客选择参加四次抽奖．

21．已知曲线上任意一点到点的距离比它到直线的距离小1．

（1）求曲线的方程；

（2）过点的且斜率不为零的直线与曲线交于，两点，设，当为坐标原点）的面积为时，求的值．

【解析】解：（1）点到点的距离比它到直线的距离小于1，

点在直线的上方，点到的距离与它到直线的距离相等，

点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，

所以曲线的方程为．

（2）当直线的斜率不存在时，它与曲线只有一个交点，不合题意，

设直线的方程为，即，

代入，得，

△对恒成立，

所以，直线与曲线恒有两个不同的交点，

设交点，的坐标分别为，，，，

则，，

，

点到直线的距离，

，

，，

，

，或（舍去），，或．

当时，方程的解为，

若，，则，

若，则，

当时，方程的解为，

若，，则，

若，，则，

所以，，或．

22．已知函数为常数）．

（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；

（2）若存在两个极值点，，且，求的取值范围．

【解析】解：（1），

，

设，，

是定义域上的单调函数，函数的图象为开口向上的抛物线，

在定义域上恒成立，即在上恒成立．

又二次函数图象的对称轴为，且图象过定点，

或，解得：．

实数的取值范围为，；

（2）由（1）知的两个极值点，满足，

所以，，

不妨设，则在，上是减函数，

，

，

令，则，又，

即，解得，．

设，

则，在，上单调递增，

（2），（4），，，

即，，

所以的取值范围为，