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2021年九年级中考数学考点专题训练——专题十五：一次函数(含答案)
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备战2021中考数学考点专题训练——专题十五：一次函数
1．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数y＝x+b的图象交于点C（﹣2，m）．
（1）求m和b的值；
（2）函数y＝x+b的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒．
①当△ACE的面积为12时，求t的值；
②在点E运动过程中，是否存在t的值，使△ACE为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
2．如图1，对于平面直角坐标系xOy中的点A和点P，若将点P绕点A顺时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“垂链点”．
（1）△PAQ是 三角形；
（2）已知点A的坐标为（0，0），点P关于点A的“垂链点”为点Q．
①若点P的坐标为（2，0），则点Q的坐标为 ；
②若点Q的坐标为（﹣2，1），则点P的坐标为 ；
（3）如图2，已知点D的坐标为（3，0），点C在直线y＝2x上，若点C关于点D的“垂链点”在坐标轴上，试求点C的坐标．
3．如图，在平面内，点Q为线段AB上任意一点，对于该平面内任意的点P，若满足PQ小于等于AB，则称点P为线段AB的“限距点”．
（1）在平面直角坐标系xOy中，若点A（﹣1，0），B（1，0）．
①在的点C（0，2），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣）中，是线段AB的“限距点”的是 ；
②点P是直线y＝x+上一点，若点P是线段AB的“限距点”，请求出点P横坐标xP的取值范围．
（2）在平面直角坐标系xOy中，若点A（t，1），B（t，﹣1）．若直线y＝x+上存在线段AB的“限距点”，请直接写出t的取值范围
4．如图，直线y＝﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，直线y＝x+3交y轴于点C，两直线相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）如图2，过点A作AE∥y轴交直线y＝x+3于点E，连接AC，BE．求证：四边形ACBE是菱形；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段BC上，点G在线段AB上，连接CG，FG，当CG＝FG，且∠CGF＝∠ABC时，求点G的坐标．
5．直线y＝﹣x+6与x轴相交于点B，与y轴相交于点A．
（1）求直线AB与坐标轴围成的面积；
（2）在x轴上一动点P，使△ABP是等腰三角形；请直接写出所有P点的坐标，并求出如图所示AP＝PB时点P的坐标；
（3）直线y＝x+3与直线AB相交于点C，与x轴相交于点D；点Q是直线CD上一点，若△BQD的面积是△BCD的面积的两倍，求点Q的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x与直线l2：y＝kx+b相交于点A（a，3），直线交l2交y轴于点B（0，﹣5）
（1）求直线l2的解析式；
（2）将△OAB沿直线l2翻折得到△CAB（其中点O的对应点为点C），求证AC∥OB；
（3）在直线BC下方以BC为边作等腰直角三角形BCP，直接写出点P的坐标．
7．一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，9），并与直线y＝x相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为3．
（1）求B点的坐标和k，b的值；
（2）点Q为直线y＝kx+b上一动点，当点Q运动到何位置时△OBQ的面积等于？请求出点Q的坐标；
（3）在y轴上是否存在点P使△PAB是等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+3（k≠0）交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，过点C（0，2）作y轴的垂线CD交AB于点E，点P从E出发，沿着射线ED向右运动，设PE＝n．
（1）求直线AB的表达式；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求n的值；
（3）若以点P为直角顶点，PB为直角边在直线CD的上方作等腰Rt△BPM，试问随着点P的运动，点M是否也在直线上运动？如果在直线上运动，求出该直线的解析式；如果不在直线上运动，请说明理由．
9．如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（1，a）为坐标系中的一个动点．
（1）请直接写出直线l的表达式；
（2）求出△ABC的面积；
（3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．
10．如图，在平面直角坐系xOy中，直线y＝﹣2x+a与y轴交于点C（0，6），与x轴交于点B．
（1）求直线BC的解析式．
（2）直线AD与（1）中所求的直线相交于点D（﹣1，n），点A的坐标为（﹣3，0），
①求直线AD的解析式．
②点M是直线y＝﹣2x+a上的一点（不与点B重合），且点M的横坐标为m，求△ABM的面积S与m之间的关系式．
③是否存在平面直角坐标系一动点N，使以A、B、D、N四点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝x与一次函数y＝﹣x+7的图象交于点A，x轴上有一点P（a，0）．
（1）求点A的坐标；
（2）若△OAP为等腰三角形，则a＝ ；
（3）过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧）、分别交y＝x和y＝﹣x+7的图象于点B、C，连接OC．若BC＝OA，求△OBC的面积．
12．已知：如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点C是点A关于y轴对称的点，过点C作y轴平行的射线CD，交直线AB与点D，点P是射线CD上的一个动点．
（1）求点A、B的坐标．
（2）如图2，将△ACP沿着AP翻折，当点C的对应点E落在直线AB上时，求点P的坐标．
（3）若直线OP与直线AD有交点，不妨设交点为Q（不与点D重合），连接CQ，是否存在点P，使得S△CPQ＝2S△DPQ，若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，点D是边长为4cm的正方形ABCO的边AB的中点，直线y＝x交BC于点E，连接DE并延长交x轴于点F．
（1）求出点E的坐标；
（2）求证：△ODE是直角三角形；
（3）过D作DH⊥x轴于点H，动点P以2cm/s的速度从点D出发，沿着D→H→F方向运动，设运动时间为t，当t为何值时，△PEH是等腰三角形？
14．【情景导入】（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点A，与x轴交于点B，与直线y＝8交于点C．求点C的坐标．
【尝试探究】（2）①在（1）的条件下，若P是直线y＝6上一点，且△PBC是等腰三角形，求点P的坐标．
②若确定点P的坐标为（2，6），直线AB可在平面内任意平移．当△PBC是等腰三角形时，求点C的坐标．
【延伸拓展】（3）在（1）的条件下，若△PBC为直角三角形，且∠BPC＝90°，连接AP，请直接写出sin∠PAC的最大值．
15．建立模型：
如图1，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD⊥ED于D，过C作CE⊥ED于E．则易证△ADB≌△BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”．它可以把倾斜的线段AB和直角∠ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用．
模型应用：
（1）如图2，点A（0，4），点B（3，0），△ABC是等腰直角三角形．
①若∠ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标；
②若AB为直角边，求点C的坐标；
（2）如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若△MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点C．
（1）求点C的坐标．
（2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时P的坐标．
（3）在直线AB上是否存在点M，使得△MOC的面积是△AOC面积的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
17．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y＝
…
﹣
﹣
﹣
﹣3
0
3
…
（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“×”；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x＝1时，函数取得最大值3；当x＝﹣1时，函数取得最小值﹣3．
③当x＜﹣1或x＞1时，y随x的增大而减小；当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大．
（3）已知函数y＝2x﹣1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式＞2x﹣1的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．
备战2021中考数学考点专题训练——专题十五：一次函数参考答案
1．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数y＝x+b的图象交于点C（﹣2，m）．
（1）求m和b的值；
（2）函数y＝x+b的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒．
①当△ACE的面积为12时，求t的值；
②在点E运动过程中，是否存在t的值，使△ACE为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵点C（﹣2，m）在直线y＝﹣x+2上，
∴m＝﹣（﹣2）+2＝2+2＝4，
∴点C（﹣2，4），
∵函数y＝x+b的图象过点C（﹣2，4），
∴4＝×（﹣2）+b，得b＝，
即m的值是4，b的值是；
（2）①∵函数y＝﹣x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴点A（2，0），点B（0，2），
∵函数y＝x+的图象与x轴交于点D，
∴点D的坐标为（﹣14，0），
∴AD＝16，
由题意可得，DE＝2t，则AE＝16﹣2t，
由，得，
则点C的坐标为（﹣2，4），
∵△ACE的面积为12，
∴＝12，
解得，t＝5
即当△ACE的面积为12时，t的值是5；
②当t＝4或t＝6时，△ACE是直角三角形，
理由：当∠ACE＝90°时，AC⊥CE，
∵点A（2，0），点B（0，2），点C（﹣2，4），点D（﹣14，0），
∴OA＝OB，AC＝4，
∴∠BAO＝45°，
∴∠CAE＝45°，
∴∠CEA＝45°，
∴CA＝CE＝4，
∴AE＝8，
∵AE＝16﹣2t，
∴8＝16﹣2t，
解得，t＝4；
当∠CEA＝90°时，
∵AC＝4，∠CAE＝45°，
∴AE＝4，
∵AE＝16﹣2t，
∴4＝16﹣2t，
解得，t＝6；
由上可得，当t＝4或t＝6时，△ACE是直角三角形．
2．如图1，对于平面直角坐标系xOy中的点A和点P，若将点P绕点A顺时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“垂链点”．
（1）△PAQ是 三角形；
（2）已知点A的坐标为（0，0），点P关于点A的“垂链点”为点Q．
①若点P的坐标为（2，0），则点Q的坐标为 ；
②若点Q的坐标为（﹣2，1），则点P的坐标为 ；
（3）如图2，已知点D的坐标为（3，0），点C在直线y＝2x上，若点C关于点D的“垂链点”在坐标轴上，试求点C的坐标．
【答案】解：（1）∵将点P绕点A顺时针旋转90°后得到点Q，
∴∠PAQ＝90°，PA＝QA，
∴△PAQ是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角；
（2）A的坐标为（0，0），即点A是原点，
根据旋转的性质得：①∵点P的坐标为（2，0），∴点Q（0，﹣2），
②∵若点Q的坐标为（﹣2，1），∴点P的坐标为：（﹣1，﹣2），
故答案为：（0，﹣2），（﹣1，﹣2），；
（3）①当点C在第一象限时，
则点C关于点D的“垂链点”在x轴上，点CD⊥x轴，
故点C（3，6）；
②当点C在第三象限时，如下图：
设点C（m，2m），点C′（0，n），
点C的“垂链点”C′在y轴上，
过点C作CH⊥x轴于点H，
∵∠CDH+∠HCD＝90°，∠OC′D+∠CDH＝90°，
∴∠HDC＝∠OC′D，
∵∠DHC＝∠DOC′＝90°，DC＝C′D，
∴△CDH≌△DC′O（AAS），
则CH＝DO，即：﹣2m＝3，解得：m＝﹣，
故点C（﹣，﹣3），
综上，点C坐标（3，6）或（﹣，﹣3）．
3．如图，在平面内，点Q为线段AB上任意一点，对于该平面内任意的点P，若满足PQ小于等于AB，则称点P为线段AB的“限距点”．
（1）在平面直角坐标系xOy中，若点A（﹣1，0），B（1，0）．
①在的点C（0，2），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣）中，是线段AB的“限距点”的是 ；
②点P是直线y＝x+上一点，若点P是线段AB的“限距点”，请求出点P横坐标xP的取值范围．
（2）在平面直角坐标系xOy中，若点A（t，1），B（t，﹣1）．若直线y＝x+上存在线段AB的“限距点”，请直接写出t的取值范围
【答案】解：（1）①当C（0，2）时，C到AB的最短距离2，∵AB＝2，
∴C不是线段AB的“限距点”；
当D（﹣2，﹣2）时，D到AB的最短距离2，∵AB＝2，
∴D不是线段AB的“限距点”；
当E（0，﹣）时，E到AB的最短距离，∵AB＝2，
∴E是线段AB的“限距点”；
故答案为E；
②如图：以（1，0）为圆心，2为半径做圆，以（﹣1，0）为圆心，2为半径做圆，
两圆与直线y＝x+的交点为P，
∴；
（2）如图，以A（t，1）为圆心，2为半径做圆，以B（t，﹣1）为圆心，2为半径做圆，
两圆与直线y＝x+的交点为P，
∴．
4．如图，直线y＝﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，直线y＝x+3交y轴于点C，两直线相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）如图2，过点A作AE∥y轴交直线y＝x+3于点E，连接AC，BE．求证：四边形ACBE是菱形；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段BC上，点G在线段AB上，连接CG，FG，当CG＝FG，且∠CGF＝∠ABC时，求点G的坐标．
【答案】解：（1）根据题意可得：，
解得：
∴点D坐标（2，4）
（2）∵直线y＝﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，
∴点B（0，8），点A（4，0），
∵直线y＝x+3交y轴于点C，
∴点C（0，3），
∵AE∥y轴交直线y＝x+3于点E，
∴点E（4，5）
∵点B（0，8），点A（4，0），点C（0，3），点E（4，5），
∴BC＝5，AE＝5，AC＝＝5，BE＝＝5，
∴BC＝AE＝AC＝BE，
∴四边形ACBE是菱形；
（3）∵BC＝AC，
∴∠ABC＝∠CAB，
∵∠CGF＝∠ABC，∠AGF＝∠ABC+∠BFG＝∠AGC+∠CGF
∴∠AGC＝∠BFG，且FG＝CG，∠ABC＝∠CAB，
∴△ACG≌△BGF（AAS）
∴BG＝AC＝5，
设点G（a，﹣2a+8），
∴（﹣2a+8﹣8）2+（a﹣0）2＝52，
∴a＝±，
∵点G在线段AB上
∴a＝，
∴点G（，8﹣2）
5．直线y＝﹣x+6与x轴相交于点B，与y轴相交于点A．
（1）求直线AB与坐标轴围成的面积；
（2）在x轴上一动点P，使△ABP是等腰三角形；请直接写出所有P点的坐标，并求出如图所示AP＝PB时点P的坐标；
（3）直线y＝x+3与直线AB相交于点C，与x轴相交于点D；点Q是直线CD上一点，若△BQD的面积是△BCD的面积的两倍，求点Q的坐标．
【答案】解：（1）在当y＝﹣x+6中，令y＝0时，x＝8；当x＝0时，y＝6；
∴△AOB的面积＝6×6×＝24；
（2）如图，由（1）知A（0，6），B（8，0），
∴OA＝6，OB＝8，
∴AB＝10，
∵△ABP是等腰三角形；
∴当AB＝PB＝10时，OP＝18或2，
∴P（18，0）或（﹣2，0），
当AB＝AP时，OP＝OB＝8，
∴P（﹣8，0），
当AP＝PB时，
如图所示：设OP＝x，则AP＝BP＝8﹣x，
由AO2+OP2＝AP2，得：62+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝
此时P（，0）；
综上所述，点P的坐标为（18，0）或（﹣2，0）或（﹣8，0）或P（，0）；
（3）由y＝﹣x+6以及y＝x+3联立方程组求得x＝，y＝，
∴C（，），
∵△BQD的面积是△BCD的面积的两倍，
∴Q点的纵坐标为或﹣，
把y＝代入y＝x+3得x＝，
把y＝﹣代入y＝x+3得x＝﹣，
因此Q（，）或（﹣，﹣）．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x与直线l2：y＝kx+b相交于点A（a，3），直线交l2交y轴于点B（0，﹣5）
（1）求直线l2的解析式；
（2）将△OAB沿直线l2翻折得到△CAB（其中点O的对应点为点C），求证AC∥OB；
（3）在直线BC下方以BC为边作等腰直角三角形BCP，直接写出点P的坐标．
【答案】解：（1）∵直线l₁：y＝x与直线l₂：y＝kx+b相交于点A（a，3），
∴A（4，3），
∵直线交l₂交y轴于点B（0，﹣5），
∴y＝kx﹣5，
把A（4，3）代入得，3＝4k﹣5，
∴k＝2，
∴直线l₂的解析式为y＝2x﹣5；
（2）∵OA＝＝5，
∴OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵将△OAB沿直线l₂翻折得到△CAB，
∴∠OAB＝∠CAB，
∴∠OBA＝∠CAB，
∴AC∥OB；
（3）如图，过C作CM⊥OB于M，
则CM＝OD＝4，
∵BC＝OB＝5，
∴BM＝3，
∴OB＝2，
∴C（4，﹣2），
过P1作P1N⊥y轴于N，
∵△BCP是等腰直角三角形，
∴∠CBP1＝90°，
∴∠MCB＝∠NBP1，
∵BC＝BP1，
∴△BCM≌△P1BN（AAS），
∴BN＝CM＝4，
∴P1（3，﹣9）；
同理可得，P2（7，﹣6），P3（，﹣）．
7．一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，9），并与直线y＝x相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为3．
（1）求B点的坐标和k，b的值；
（2）点Q为直线y＝kx+b上一动点，当点Q运动到何位置时△OBQ的面积等于？请求出点Q的坐标；
（3）在y轴上是否存在点P使△PAB是等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）y＝x相交于点B，则点B（3，5），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：k＝﹣，b＝9；
（2）设点Q（m，﹣m+9），
则△OBQ的面积＝×OA×|xQ﹣xB|＝9×|m﹣3|＝，
解得：m＝0或6，
故点Q（0，9）或（6，1）；
（3）设点P（0，m），而点A、B的坐标分别为：（0，9）、（3，5），
则AB2＝25，AP2＝（m﹣9）2，BP2＝9+（m﹣5）2，
当AB＝AP时，25＝（m﹣9）2，解得：m＝14或4；
当AB＝BP时，同理可得：m＝9（舍去）或1；
当AP＝BP时，同理可得：m＝；
综上点P的坐标为：（0，4）或（0，14）或（0，1）或（0，）
8．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+3（k≠0）交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，过点C（0，2）作y轴的垂线CD交AB于点E，点P从E出发，沿着射线ED向右运动，设PE＝n．
（1）求直线AB的表达式；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求n的值；
（3）若以点P为直角顶点，PB为直角边在直线CD的上方作等腰Rt△BPM，试问随着点P的运动，点M是否也在直线上运动？如果在直线上运动，求出该直线的解析式；如果不在直线上运动，请说明理由．
【答案】解：将点A的坐标代入直线AB：y＝kx+3并解得：k＝﹣，
故AB的表达式为：y＝﹣x+3；
（2）当y＝2时，x＝，故点E（，2），则点P（n+，2），
而点A、B坐标分别为：（4，0）、（0，3），
则AP2＝（+n﹣4）2+4；BP2＝（n+）2+1，AB2＝25，
当AP＝BP时，（+n﹣4）2+4＝（n+）2+1，解得：n＝；
当AP＝AB时，同理可得：n＝+（不合题意值已舍去）；
当AB＝BP时，同理可得：n＝﹣+2；
故n＝或+或﹣+2；
（3）在直线上，理由：
如图，过点M作MH⊥CD于点H，
∵∠BPC+∠PBC＝90°，∠BPC+∠MPH＝90°，
∴∠CPB＝∠MPH，BP＝PM，∠MHP＝∠PCB＝90°
∴MHP△≌△PCB（AAS），
则CP＝MH＝n+，BC＝1＝PH，
故点M（n+，n+），
故点M在直线y＝x+1上．
9．如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（1，a）为坐标系中的一个动点．
（1）请直接写出直线l的表达式；
（2）求出△ABC的面积；
（3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．
【答案】解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，
故直线l的表达式为：；
（2）在Rt△ABC中，
由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2＝32+22＝13
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴S△ABC＝AB2＝；
（3）连接BP，PO，PA，则：
①若点P在第一象限时，如图1：
∵S△ABO＝3，S△APO＝a，S△BOP＝1，
∴S△ABP＝S△BOP+S△APO﹣S△ABO＝，
即，解得；
②若点P在第四象限时，如图2：
∵S△ABO＝3，S△APO＝﹣a，S△BOP＝1，
∴S△ABP＝S△AOB+S△APO﹣S△BOP＝，
即，解得a＝﹣3；
故：当△ABC与△ABP面积相等时，实数a的值为或﹣3．
10．如图，在平面直角坐系xOy中，直线y＝﹣2x+a与y轴交于点C（0，6），与x轴交于点B．
（1）求直线BC的解析式．
（2）直线AD与（1）中所求的直线相交于点D（﹣1，n），点A的坐标为（﹣3，0），
①求直线AD的解析式．
②点M是直线y＝﹣2x+a上的一点（不与点B重合），且点M的横坐标为m，求△ABM的面积S与m之间的关系式．
③是否存在平面直角坐标系一动点N，使以A、B、D、N四点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）将点C的坐标代入y＝﹣2x+a得：6＝0+a，
解得：a＝6，
故直线BC的表达式为y＝﹣2x+6①；
（2）①y＝﹣2x+6，令y＝0，则x＝3，即点B（3，0），
将点D的坐标代入①式并解得n＝（﹣2）（﹣1）+6＝8，故点D（﹣1，8）；
设直线AD的表达式为y＝kx+b，则，
解得，
故直线AD的表达式为y＝4x+12；
②点M在直线BC上，点M的横坐标为m，则点M（m，6﹣2m），
由点A、B的坐标得：AB＝3+3＝6，
S＝AB×|yM|＝×6×|6﹣2m|＝|18﹣6m|，
故S＝；
③点A、B、D的坐标分别为（﹣3，0）、（3，0）、（﹣1，8），设点N（s，t），
（Ⅰ）当AB是平行四边形的边时，
点A向右平移6个单位得到D，
同样点D（N）向右平移6个单位得到N（D），
即﹣1±6＝s，解得s＝﹣7或5，
故点N（﹣7，8）或（5，8）；
（Ⅱ）当AB是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：（﹣3+3）＝（﹣1+s），（0+0）＝（8+t），
解得：s＝1，t＝﹣8，故点N（1，﹣8）；
综上，点N的坐标为：（﹣7，8）或（5，8）或（1，﹣8）．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝x与一次函数y＝﹣x+7的图象交于点A，x轴上有一点P（a，0）．
（1）求点A的坐标；
（2）若△OAP为等腰三角形，则a＝ ；
（3）过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧）、分别交y＝x和y＝﹣x+7的图象于点B、C，连接OC．若BC＝OA，求△OBC的面积．
【答案】解：（1）联立y＝x与一次函数y＝﹣x+7并解得：x＝4，
故点A（4，3）；
（2）点A（4，3），则OA＝5，
①当OA＝PO时，
OA＝5＝PO，即a＝±5
②当OA＝AP时，
则点P（8，0），即a＝8；
③当AP＝OP时，如图所示，连接AP，过点A作AH⊥x轴于点H，
AP＝PO＝a，则PH＝4﹣a，则（4﹣a）2+9＝a2，
解得：a＝；
综上，a＝±5或8或；
故答案为：±5或8或；
（3）∵P（a，0），则点B、C的坐标分别为：（a，a）、（a，﹣a+7），
∴BC＝a+a﹣7＝×5＝7，解得：a＝8，故点P（8，0），即OP＝8；
△OBC的面积＝×BC×OP＝×7×8＝28．
12．已知：如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点C是点A关于y轴对称的点，过点C作y轴平行的射线CD，交直线AB与点D，点P是射线CD上的一个动点．
（1）求点A、B的坐标．
（2）如图2，将△ACP沿着AP翻折，当点C的对应点E落在直线AB上时，求点P的坐标．
（3）若直线OP与直线AD有交点，不妨设交点为Q（不与点D重合），连接CQ，是否存在点P，使得S△CPQ＝2S△DPQ，若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）一次函数y＝x+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，
则点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，4）；
（2）D的坐标为（3，8）AD＝10，
设CP＝y，DP＝8﹣y，EP＝y，ED＝4，
在直角三角形DEP中，由勾股定理得：y＝3，
点P的坐标（3，3）；
（3）设点P（3，m），
得S△CPQ＝×CP×（xQ﹣xP）＝m×（xQ﹣xP），
2S△DPQ＝PD×（xQ﹣xP）＝|8﹣m|，
即|8﹣m|＝m，
解得：m＝16或．
13．如图，在平面直角坐标系中，点D是边长为4cm的正方形ABCO的边AB的中点，直线y＝x交BC于点E，连接DE并延长交x轴于点F．
（1）求出点E的坐标；
（2）求证：△ODE是直角三角形；
（3）过D作DH⊥x轴于点H，动点P以2cm/s的速度从点D出发，沿着D→H→F方向运动，设运动时间为t，当t为何值时，△PEH是等腰三角形？
【答案】解：（1）D是边长为4cm的正方形ABCO的边AB的中点，则点D（2，4），
当x＝4时，y＝x＝，故点E（4，3）；
（2）点O、D、E的坐标分别为：（0，0）、（2，4）、（4，3），
则DO2＝20，OE2＝25，DE2＝5，
故OE2＝OD2+ED2，
故：△ODE是直角三角形；
（3）点E、H的坐标分别为：（4，3）、（2，0），
①当点P在HD上时，此时0＜t≤2，
点P（2，4﹣2t），则PH2＝（4﹣2t）2，PE2＝4+（1﹣2t）2，HE2＝13，
当PH＝PE时，（4﹣2t）2＝4+（1﹣2t）2，解得：t＝；
当PH＝HE时，同理可得：t＝（不合题意值已舍去）；
当PE＝HE时，同理可得：t＝2；
②当点P在HF上时，
由点D、E的坐标得，直线ED的表达式为：y＝﹣x+5，令y＝0，则x＝10，即点F（10，0），
则2＜t≤6；
PE2＝（2t﹣8）2+9，PH2＝（2t﹣6）2，EH2＝13；
当PE＝PH时，（2t﹣8）2+9＝（2t﹣6）2，解得：t＝；
当PE＝EH时，同理可得：t＝6（不合题意值已舍去）；
当PH＝EH时，同理可得：t＝（不合题意值已舍去）．
综上，当t＝或2或或或6或．
14．【情景导入】（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点A，与x轴交于点B，与直线y＝8交于点C．求点C的坐标．
【尝试探究】（2）①在（1）的条件下，若P是直线y＝6上一点，且△PBC是等腰三角形，求点P的坐标．
②若确定点P的坐标为（2，6），直线AB可在平面内任意平移．当△PBC是等腰三角形时，求点C的坐标．
【延伸拓展】（3）在（1）的条件下，若△PBC为直角三角形，且∠BPC＝90°，连接AP，请直接写出sin∠PAC的最大值．
【答案】解：（1）点A、B的坐标分别为：（0，﹣4）、（3，0），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：
直线AB的表达式为：y＝x﹣4，
当y＝8时，x＝9，故点C（9，8）；
（2）①设点P（m，6），而点B、C的坐标分别为：（3，0）、（9，8），
PB2＝（m﹣3）2+36，PC2＝（m﹣9）2+4，BC2＝100，
当PB＝PC时，（m﹣3）2+36＝（m﹣9）2+4，解得：m＝
当PB＝BC时，同理可得：m＝11或﹣5；
当PC＝BC时，同理可得：m＝9±4；
综上，P（9﹣4，6）或P（9+4，6）或P（11，6）或P（﹣5，6）或P（）；
②设直线平移了m个单位，则点B、C的坐标为：（3+m，0）、（9+m，8），而点P（2，6）；
PB2＝（m+1）2+36，PC2＝（m+7）2+4，BC2＝100，
当PB＝PC时，同理可得：m＝﹣；
当PB＝BC时，同理可得：m＝7或﹣9；
当PC＝BC时，同理可得：m＝﹣7；
综上，C（4+2，8）或C（2﹣，8）或C（16，8）或C（0，8）或C（，8）；
（3）如下图，点P在以BC的中点R（6，4）为圆心的圆上，
当直线AP（P′）与圆R相切时，sin∠PAC有最大值，
圆的半径为5，即HP′＝5，而AH＝10，
sin∠PAC＝＝．
15．建立模型：
如图1，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD⊥ED于D，过C作CE⊥ED于E．则易证△ADB≌△BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”．它可以把倾斜的线段AB和直角∠ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用．
模型应用：
（1）如图2，点A（0，4），点B（3，0），△ABC是等腰直角三角形．
①若∠ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标；
②若AB为直角边，求点C的坐标；
（2）如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若△MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标．
【答案】解：（1）①过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠BDC＝90°＝∠AOB，
∴∠BCD+∠DCB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠DBC＝90°，
∴∠ABO＝BCD，
∵AB＝BC，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
DC＝OB＝3，BD＝OA＝4，故点C（7，3）；
②若AB为直角边，则除了①的情况以外，另外一个点C（C′）与①中的C关于点B对称，
故点C′（﹣1，﹣3）；
故点C的坐标为：（7，3）或（﹣1，﹣3）；
（2）如图2，当∠MGP＝90°时，MG＝PG，
过点P作PE⊥OM于E，过点G作GH⊥PE于H，
∴点E与点M重合，∴GF＝AB＝4
设G点坐标为（x，2x﹣6），6﹣（2x﹣6）＝4，得x＝4，
易得G点坐标（4，2）；
如图3，当∠MGP＝90°时，MG＝PG时，同理得G点坐标（，），
综上可知，满足条件的点G的坐标分别为（4，2）或（，）．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点C．
（1）求点C的坐标．
（2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时P的坐标．
（3）在直线AB上是否存在点M，使得△MOC的面积是△AOC面积的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）联立两直线解析式成方程组，得：，
解得：，
∴点C的坐标为（4，4）；
（2）设点P（m，0），而点C（4，4），点O（0，0）；
PC2＝（m﹣4）2+16，PO2＝m2，OC2＝32；
当PC＝PO时，（m﹣4）2+16＝m2，解得：m＝4；
当PC＝OC时，同理可得：m＝0（舍去）或8；
当PO＝OC时，同理可得：m＝；
故点P的坐标为：（4，0）或（8，0）或（，0）或（，0）；
（3）当y＝0时，有0＝﹣2x+12，
解得：x＝6，
∴点A的坐标为（6，0），
∴OA＝6，
∴S△OAC＝×6×4＝12．
设M（x，y）当M在x轴下方时，△MOC的面积是△AOC面积的2倍，
∴△MOA的面积等于△AOC的面积，|y|＝4
当y＝﹣4时，﹣4＝﹣2x+12，x＝8，
∴M（8，﹣4），
当M在x轴上方时，△MOC的面积是△AOC面积的2倍，
∴△MOA的面积等于△AOC的面积的3倍，|y|＝12；
当y＝12时，12＝﹣2x+12，x＝0，
∴M（0，12），
综上所述，M（8，﹣4）或（0，12）．
17．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y＝
…
﹣
﹣
﹣
﹣3
0
3
…
（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“×”；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x＝1时，函数取得最大值3；当x＝﹣1时，函数取得最小值﹣3．
③当x＜﹣1或x＞1时，y随x的增大而减小；当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大．
（3）已知函数y＝2x﹣1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式＞2x﹣1的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．
【答案】解：（1）补充完整下表为：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y＝
…
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣3
0
3
…
画出函数的图象如图：
；
（2）根据函数图象：
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴，说法错误；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x＝1时，函数取得最大值3；当x＝﹣1时，函数取得最小值﹣3，说法正确；
③当x＜﹣1或x＞1时，y随x的增大而减小；当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大，说法正确．
（3）由图象可知：不等式＞2x﹣1的解集为x＜﹣1或﹣0.3＜1.8．
备战2021中考数学考点专题训练——专题十五：一次函数
1．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数y＝x+b的图象交于点C（﹣2，m）．
（1）求m和b的值；
（2）函数y＝x+b的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒．
①当△ACE的面积为12时，求t的值；
②在点E运动过程中，是否存在t的值，使△ACE为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
2．如图1，对于平面直角坐标系xOy中的点A和点P，若将点P绕点A顺时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“垂链点”．
（1）△PAQ是 三角形；
（2）已知点A的坐标为（0，0），点P关于点A的“垂链点”为点Q．
①若点P的坐标为（2，0），则点Q的坐标为 ；
②若点Q的坐标为（﹣2，1），则点P的坐标为 ；
（3）如图2，已知点D的坐标为（3，0），点C在直线y＝2x上，若点C关于点D的“垂链点”在坐标轴上，试求点C的坐标．
3．如图，在平面内，点Q为线段AB上任意一点，对于该平面内任意的点P，若满足PQ小于等于AB，则称点P为线段AB的“限距点”．
（1）在平面直角坐标系xOy中，若点A（﹣1，0），B（1，0）．
①在的点C（0，2），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣）中，是线段AB的“限距点”的是 ；
②点P是直线y＝x+上一点，若点P是线段AB的“限距点”，请求出点P横坐标xP的取值范围．
（2）在平面直角坐标系xOy中，若点A（t，1），B（t，﹣1）．若直线y＝x+上存在线段AB的“限距点”，请直接写出t的取值范围
4．如图，直线y＝﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，直线y＝x+3交y轴于点C，两直线相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）如图2，过点A作AE∥y轴交直线y＝x+3于点E，连接AC，BE．求证：四边形ACBE是菱形；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段BC上，点G在线段AB上，连接CG，FG，当CG＝FG，且∠CGF＝∠ABC时，求点G的坐标．
5．直线y＝﹣x+6与x轴相交于点B，与y轴相交于点A．
（1）求直线AB与坐标轴围成的面积；
（2）在x轴上一动点P，使△ABP是等腰三角形；请直接写出所有P点的坐标，并求出如图所示AP＝PB时点P的坐标；
（3）直线y＝x+3与直线AB相交于点C，与x轴相交于点D；点Q是直线CD上一点，若△BQD的面积是△BCD的面积的两倍，求点Q的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x与直线l2：y＝kx+b相交于点A（a，3），直线交l2交y轴于点B（0，﹣5）
（1）求直线l2的解析式；
（2）将△OAB沿直线l2翻折得到△CAB（其中点O的对应点为点C），求证AC∥OB；
（3）在直线BC下方以BC为边作等腰直角三角形BCP，直接写出点P的坐标．
7．一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，9），并与直线y＝x相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为3．
（1）求B点的坐标和k，b的值；
（2）点Q为直线y＝kx+b上一动点，当点Q运动到何位置时△OBQ的面积等于？请求出点Q的坐标；
（3）在y轴上是否存在点P使△PAB是等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+3（k≠0）交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，过点C（0，2）作y轴的垂线CD交AB于点E，点P从E出发，沿着射线ED向右运动，设PE＝n．
（1）求直线AB的表达式；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求n的值；
（3）若以点P为直角顶点，PB为直角边在直线CD的上方作等腰Rt△BPM，试问随着点P的运动，点M是否也在直线上运动？如果在直线上运动，求出该直线的解析式；如果不在直线上运动，请说明理由．
9．如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（1，a）为坐标系中的一个动点．
（1）请直接写出直线l的表达式；
（2）求出△ABC的面积；
（3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．
10．如图，在平面直角坐系xOy中，直线y＝﹣2x+a与y轴交于点C（0，6），与x轴交于点B．
（1）求直线BC的解析式．
（2）直线AD与（1）中所求的直线相交于点D（﹣1，n），点A的坐标为（﹣3，0），
①求直线AD的解析式．
②点M是直线y＝﹣2x+a上的一点（不与点B重合），且点M的横坐标为m，求△ABM的面积S与m之间的关系式．
③是否存在平面直角坐标系一动点N，使以A、B、D、N四点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝x与一次函数y＝﹣x+7的图象交于点A，x轴上有一点P（a，0）．
（1）求点A的坐标；
（2）若△OAP为等腰三角形，则a＝ ；
（3）过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧）、分别交y＝x和y＝﹣x+7的图象于点B、C，连接OC．若BC＝OA，求△OBC的面积．
12．已知：如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点C是点A关于y轴对称的点，过点C作y轴平行的射线CD，交直线AB与点D，点P是射线CD上的一个动点．
（1）求点A、B的坐标．
（2）如图2，将△ACP沿着AP翻折，当点C的对应点E落在直线AB上时，求点P的坐标．
（3）若直线OP与直线AD有交点，不妨设交点为Q（不与点D重合），连接CQ，是否存在点P，使得S△CPQ＝2S△DPQ，若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，点D是边长为4cm的正方形ABCO的边AB的中点，直线y＝x交BC于点E，连接DE并延长交x轴于点F．
（1）求出点E的坐标；
（2）求证：△ODE是直角三角形；
（3）过D作DH⊥x轴于点H，动点P以2cm/s的速度从点D出发，沿着D→H→F方向运动，设运动时间为t，当t为何值时，△PEH是等腰三角形？
14．【情景导入】（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点A，与x轴交于点B，与直线y＝8交于点C．求点C的坐标．
【尝试探究】（2）①在（1）的条件下，若P是直线y＝6上一点，且△PBC是等腰三角形，求点P的坐标．
②若确定点P的坐标为（2，6），直线AB可在平面内任意平移．当△PBC是等腰三角形时，求点C的坐标．
【延伸拓展】（3）在（1）的条件下，若△PBC为直角三角形，且∠BPC＝90°，连接AP，请直接写出sin∠PAC的最大值．
15．建立模型：
如图1，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD⊥ED于D，过C作CE⊥ED于E．则易证△ADB≌△BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”．它可以把倾斜的线段AB和直角∠ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用．
模型应用：
（1）如图2，点A（0，4），点B（3，0），△ABC是等腰直角三角形．
①若∠ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标；
②若AB为直角边，求点C的坐标；
（2）如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若△MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点C．
（1）求点C的坐标．
（2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时P的坐标．
（3）在直线AB上是否存在点M，使得△MOC的面积是△AOC面积的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
17．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y＝
…
﹣
﹣
﹣
﹣3
0
3
…
（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“×”；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x＝1时，函数取得最大值3；当x＝﹣1时，函数取得最小值﹣3．
③当x＜﹣1或x＞1时，y随x的增大而减小；当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大．
（3）已知函数y＝2x﹣1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式＞2x﹣1的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．
备战2021中考数学考点专题训练——专题十五：一次函数参考答案
1．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数y＝x+b的图象交于点C（﹣2，m）．
（1）求m和b的值；
（2）函数y＝x+b的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒．
①当△ACE的面积为12时，求t的值；
②在点E运动过程中，是否存在t的值，使△ACE为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵点C（﹣2，m）在直线y＝﹣x+2上，
∴m＝﹣（﹣2）+2＝2+2＝4，
∴点C（﹣2，4），
∵函数y＝x+b的图象过点C（﹣2，4），
∴4＝×（﹣2）+b，得b＝，
即m的值是4，b的值是；
（2）①∵函数y＝﹣x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴点A（2，0），点B（0，2），
∵函数y＝x+的图象与x轴交于点D，
∴点D的坐标为（﹣14，0），
∴AD＝16，
由题意可得，DE＝2t，则AE＝16﹣2t，
由，得，
则点C的坐标为（﹣2，4），
∵△ACE的面积为12，
∴＝12，
解得，t＝5
即当△ACE的面积为12时，t的值是5；
②当t＝4或t＝6时，△ACE是直角三角形，
理由：当∠ACE＝90°时，AC⊥CE，
∵点A（2，0），点B（0，2），点C（﹣2，4），点D（﹣14，0），
∴OA＝OB，AC＝4，
∴∠BAO＝45°，
∴∠CAE＝45°，
∴∠CEA＝45°，
∴CA＝CE＝4，
∴AE＝8，
∵AE＝16﹣2t，
∴8＝16﹣2t，
解得，t＝4；
当∠CEA＝90°时，
∵AC＝4，∠CAE＝45°，
∴AE＝4，
∵AE＝16﹣2t，
∴4＝16﹣2t，
解得，t＝6；
由上可得，当t＝4或t＝6时，△ACE是直角三角形．
2．如图1，对于平面直角坐标系xOy中的点A和点P，若将点P绕点A顺时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“垂链点”．
（1）△PAQ是 三角形；
（2）已知点A的坐标为（0，0），点P关于点A的“垂链点”为点Q．
①若点P的坐标为（2，0），则点Q的坐标为 ；
②若点Q的坐标为（﹣2，1），则点P的坐标为 ；
（3）如图2，已知点D的坐标为（3，0），点C在直线y＝2x上，若点C关于点D的“垂链点”在坐标轴上，试求点C的坐标．
【答案】解：（1）∵将点P绕点A顺时针旋转90°后得到点Q，
∴∠PAQ＝90°，PA＝QA，
∴△PAQ是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角；
（2）A的坐标为（0，0），即点A是原点，
根据旋转的性质得：①∵点P的坐标为（2，0），∴点Q（0，﹣2），
②∵若点Q的坐标为（﹣2，1），∴点P的坐标为：（﹣1，﹣2），
故答案为：（0，﹣2），（﹣1，﹣2），；
（3）①当点C在第一象限时，
则点C关于点D的“垂链点”在x轴上，点CD⊥x轴，
故点C（3，6）；
②当点C在第三象限时，如下图：
设点C（m，2m），点C′（0，n），
点C的“垂链点”C′在y轴上，
过点C作CH⊥x轴于点H，
∵∠CDH+∠HCD＝90°，∠OC′D+∠CDH＝90°，
∴∠HDC＝∠OC′D，
∵∠DHC＝∠DOC′＝90°，DC＝C′D，
∴△CDH≌△DC′O（AAS），
则CH＝DO，即：﹣2m＝3，解得：m＝﹣，
故点C（﹣，﹣3），
综上，点C坐标（3，6）或（﹣，﹣3）．
3．如图，在平面内，点Q为线段AB上任意一点，对于该平面内任意的点P，若满足PQ小于等于AB，则称点P为线段AB的“限距点”．
（1）在平面直角坐标系xOy中，若点A（﹣1，0），B（1，0）．
①在的点C（0，2），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣）中，是线段AB的“限距点”的是 ；
②点P是直线y＝x+上一点，若点P是线段AB的“限距点”，请求出点P横坐标xP的取值范围．
（2）在平面直角坐标系xOy中，若点A（t，1），B（t，﹣1）．若直线y＝x+上存在线段AB的“限距点”，请直接写出t的取值范围
【答案】解：（1）①当C（0，2）时，C到AB的最短距离2，∵AB＝2，
∴C不是线段AB的“限距点”；
当D（﹣2，﹣2）时，D到AB的最短距离2，∵AB＝2，
∴D不是线段AB的“限距点”；
当E（0，﹣）时，E到AB的最短距离，∵AB＝2，
∴E是线段AB的“限距点”；
故答案为E；
②如图：以（1，0）为圆心，2为半径做圆，以（﹣1，0）为圆心，2为半径做圆，
两圆与直线y＝x+的交点为P，
∴；
（2）如图，以A（t，1）为圆心，2为半径做圆，以B（t，﹣1）为圆心，2为半径做圆，
两圆与直线y＝x+的交点为P，
∴．
4．如图，直线y＝﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，直线y＝x+3交y轴于点C，两直线相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）如图2，过点A作AE∥y轴交直线y＝x+3于点E，连接AC，BE．求证：四边形ACBE是菱形；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段BC上，点G在线段AB上，连接CG，FG，当CG＝FG，且∠CGF＝∠ABC时，求点G的坐标．
【答案】解：（1）根据题意可得：，
解得：
∴点D坐标（2，4）
（2）∵直线y＝﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，
∴点B（0，8），点A（4，0），
∵直线y＝x+3交y轴于点C，
∴点C（0，3），
∵AE∥y轴交直线y＝x+3于点E，
∴点E（4，5）
∵点B（0，8），点A（4，0），点C（0，3），点E（4，5），
∴BC＝5，AE＝5，AC＝＝5，BE＝＝5，
∴BC＝AE＝AC＝BE，
∴四边形ACBE是菱形；
（3）∵BC＝AC，
∴∠ABC＝∠CAB，
∵∠CGF＝∠ABC，∠AGF＝∠ABC+∠BFG＝∠AGC+∠CGF
∴∠AGC＝∠BFG，且FG＝CG，∠ABC＝∠CAB，
∴△ACG≌△BGF（AAS）
∴BG＝AC＝5，
设点G（a，﹣2a+8），
∴（﹣2a+8﹣8）2+（a﹣0）2＝52，
∴a＝±，
∵点G在线段AB上
∴a＝，
∴点G（，8﹣2）
5．直线y＝﹣x+6与x轴相交于点B，与y轴相交于点A．
（1）求直线AB与坐标轴围成的面积；
（2）在x轴上一动点P，使△ABP是等腰三角形；请直接写出所有P点的坐标，并求出如图所示AP＝PB时点P的坐标；
（3）直线y＝x+3与直线AB相交于点C，与x轴相交于点D；点Q是直线CD上一点，若△BQD的面积是△BCD的面积的两倍，求点Q的坐标．
【答案】解：（1）在当y＝﹣x+6中，令y＝0时，x＝8；当x＝0时，y＝6；
∴△AOB的面积＝6×6×＝24；
（2）如图，由（1）知A（0，6），B（8，0），
∴OA＝6，OB＝8，
∴AB＝10，
∵△ABP是等腰三角形；
∴当AB＝PB＝10时，OP＝18或2，
∴P（18，0）或（﹣2，0），
当AB＝AP时，OP＝OB＝8，
∴P（﹣8，0），
当AP＝PB时，
如图所示：设OP＝x，则AP＝BP＝8﹣x，
由AO2+OP2＝AP2，得：62+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝
此时P（，0）；
综上所述，点P的坐标为（18，0）或（﹣2，0）或（﹣8，0）或P（，0）；
（3）由y＝﹣x+6以及y＝x+3联立方程组求得x＝，y＝，
∴C（，），
∵△BQD的面积是△BCD的面积的两倍，
∴Q点的纵坐标为或﹣，
把y＝代入y＝x+3得x＝，
把y＝﹣代入y＝x+3得x＝﹣，
因此Q（，）或（﹣，﹣）．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x与直线l2：y＝kx+b相交于点A（a，3），直线交l2交y轴于点B（0，﹣5）
（1）求直线l2的解析式；
（2）将△OAB沿直线l2翻折得到△CAB（其中点O的对应点为点C），求证AC∥OB；
（3）在直线BC下方以BC为边作等腰直角三角形BCP，直接写出点P的坐标．
【答案】解：（1）∵直线l₁：y＝x与直线l₂：y＝kx+b相交于点A（a，3），
∴A（4，3），
∵直线交l₂交y轴于点B（0，﹣5），
∴y＝kx﹣5，
把A（4，3）代入得，3＝4k﹣5，
∴k＝2，
∴直线l₂的解析式为y＝2x﹣5；
（2）∵OA＝＝5，
∴OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵将△OAB沿直线l₂翻折得到△CAB，
∴∠OAB＝∠CAB，
∴∠OBA＝∠CAB，
∴AC∥OB；
（3）如图，过C作CM⊥OB于M，
则CM＝OD＝4，
∵BC＝OB＝5，
∴BM＝3，
∴OB＝2，
∴C（4，﹣2），
过P1作P1N⊥y轴于N，
∵△BCP是等腰直角三角形，
∴∠CBP1＝90°，
∴∠MCB＝∠NBP1，
∵BC＝BP1，
∴△BCM≌△P1BN（AAS），
∴BN＝CM＝4，
∴P1（3，﹣9）；
同理可得，P2（7，﹣6），P3（，﹣）．
7．一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，9），并与直线y＝x相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为3．
（1）求B点的坐标和k，b的值；
（2）点Q为直线y＝kx+b上一动点，当点Q运动到何位置时△OBQ的面积等于？请求出点Q的坐标；
（3）在y轴上是否存在点P使△PAB是等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）y＝x相交于点B，则点B（3，5），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：k＝﹣，b＝9；
（2）设点Q（m，﹣m+9），
则△OBQ的面积＝×OA×|xQ﹣xB|＝9×|m﹣3|＝，
解得：m＝0或6，
故点Q（0，9）或（6，1）；
（3）设点P（0，m），而点A、B的坐标分别为：（0，9）、（3，5），
则AB2＝25，AP2＝（m﹣9）2，BP2＝9+（m﹣5）2，
当AB＝AP时，25＝（m﹣9）2，解得：m＝14或4；
当AB＝BP时，同理可得：m＝9（舍去）或1；
当AP＝BP时，同理可得：m＝；
综上点P的坐标为：（0，4）或（0，14）或（0，1）或（0，）
8．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+3（k≠0）交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，过点C（0，2）作y轴的垂线CD交AB于点E，点P从E出发，沿着射线ED向右运动，设PE＝n．
（1）求直线AB的表达式；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求n的值；
（3）若以点P为直角顶点，PB为直角边在直线CD的上方作等腰Rt△BPM，试问随着点P的运动，点M是否也在直线上运动？如果在直线上运动，求出该直线的解析式；如果不在直线上运动，请说明理由．
【答案】解：将点A的坐标代入直线AB：y＝kx+3并解得：k＝﹣，
故AB的表达式为：y＝﹣x+3；
（2）当y＝2时，x＝，故点E（，2），则点P（n+，2），
而点A、B坐标分别为：（4，0）、（0，3），
则AP2＝（+n﹣4）2+4；BP2＝（n+）2+1，AB2＝25，
当AP＝BP时，（+n﹣4）2+4＝（n+）2+1，解得：n＝；
当AP＝AB时，同理可得：n＝+（不合题意值已舍去）；
当AB＝BP时，同理可得：n＝﹣+2；
故n＝或+或﹣+2；
（3）在直线上，理由：
如图，过点M作MH⊥CD于点H，
∵∠BPC+∠PBC＝90°，∠BPC+∠MPH＝90°，
∴∠CPB＝∠MPH，BP＝PM，∠MHP＝∠PCB＝90°
∴MHP△≌△PCB（AAS），
则CP＝MH＝n+，BC＝1＝PH，
故点M（n+，n+），
故点M在直线y＝x+1上．
9．如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（1，a）为坐标系中的一个动点．
（1）请直接写出直线l的表达式；
（2）求出△ABC的面积；
（3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．
【答案】解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，
故直线l的表达式为：；
（2）在Rt△ABC中，
由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2＝32+22＝13
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴S△ABC＝AB2＝；
（3）连接BP，PO，PA，则：
①若点P在第一象限时，如图1：
∵S△ABO＝3，S△APO＝a，S△BOP＝1，
∴S△ABP＝S△BOP+S△APO﹣S△ABO＝，
即，解得；
②若点P在第四象限时，如图2：
∵S△ABO＝3，S△APO＝﹣a，S△BOP＝1，
∴S△ABP＝S△AOB+S△APO﹣S△BOP＝，
即，解得a＝﹣3；
故：当△ABC与△ABP面积相等时，实数a的值为或﹣3．
10．如图，在平面直角坐系xOy中，直线y＝﹣2x+a与y轴交于点C（0，6），与x轴交于点B．
（1）求直线BC的解析式．
（2）直线AD与（1）中所求的直线相交于点D（﹣1，n），点A的坐标为（﹣3，0），
①求直线AD的解析式．
②点M是直线y＝﹣2x+a上的一点（不与点B重合），且点M的横坐标为m，求△ABM的面积S与m之间的关系式．
③是否存在平面直角坐标系一动点N，使以A、B、D、N四点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）将点C的坐标代入y＝﹣2x+a得：6＝0+a，
解得：a＝6，
故直线BC的表达式为y＝﹣2x+6①；
（2）①y＝﹣2x+6，令y＝0，则x＝3，即点B（3，0），
将点D的坐标代入①式并解得n＝（﹣2）（﹣1）+6＝8，故点D（﹣1，8）；
设直线AD的表达式为y＝kx+b，则，
解得，
故直线AD的表达式为y＝4x+12；
②点M在直线BC上，点M的横坐标为m，则点M（m，6﹣2m），
由点A、B的坐标得：AB＝3+3＝6，
S＝AB×|yM|＝×6×|6﹣2m|＝|18﹣6m|，
故S＝；
③点A、B、D的坐标分别为（﹣3，0）、（3，0）、（﹣1，8），设点N（s，t），
（Ⅰ）当AB是平行四边形的边时，
点A向右平移6个单位得到D，
同样点D（N）向右平移6个单位得到N（D），
即﹣1±6＝s，解得s＝﹣7或5，
故点N（﹣7，8）或（5，8）；
（Ⅱ）当AB是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：（﹣3+3）＝（﹣1+s），（0+0）＝（8+t），
解得：s＝1，t＝﹣8，故点N（1，﹣8）；
综上，点N的坐标为：（﹣7，8）或（5，8）或（1，﹣8）．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝x与一次函数y＝﹣x+7的图象交于点A，x轴上有一点P（a，0）．
（1）求点A的坐标；
（2）若△OAP为等腰三角形，则a＝ ；
（3）过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧）、分别交y＝x和y＝﹣x+7的图象于点B、C，连接OC．若BC＝OA，求△OBC的面积．
【答案】解：（1）联立y＝x与一次函数y＝﹣x+7并解得：x＝4，
故点A（4，3）；
（2）点A（4，3），则OA＝5，
①当OA＝PO时，
OA＝5＝PO，即a＝±5
②当OA＝AP时，
则点P（8，0），即a＝8；
③当AP＝OP时，如图所示，连接AP，过点A作AH⊥x轴于点H，
AP＝PO＝a，则PH＝4﹣a，则（4﹣a）2+9＝a2，
解得：a＝；
综上，a＝±5或8或；
故答案为：±5或8或；
（3）∵P（a，0），则点B、C的坐标分别为：（a，a）、（a，﹣a+7），
∴BC＝a+a﹣7＝×5＝7，解得：a＝8，故点P（8，0），即OP＝8；
△OBC的面积＝×BC×OP＝×7×8＝28．
12．已知：如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点C是点A关于y轴对称的点，过点C作y轴平行的射线CD，交直线AB与点D，点P是射线CD上的一个动点．
（1）求点A、B的坐标．
（2）如图2，将△ACP沿着AP翻折，当点C的对应点E落在直线AB上时，求点P的坐标．
（3）若直线OP与直线AD有交点，不妨设交点为Q（不与点D重合），连接CQ，是否存在点P，使得S△CPQ＝2S△DPQ，若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）一次函数y＝x+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，
则点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，4）；
（2）D的坐标为（3，8）AD＝10，
设CP＝y，DP＝8﹣y，EP＝y，ED＝4，
在直角三角形DEP中，由勾股定理得：y＝3，
点P的坐标（3，3）；
（3）设点P（3，m），
得S△CPQ＝×CP×（xQ﹣xP）＝m×（xQ﹣xP），
2S△DPQ＝PD×（xQ﹣xP）＝|8﹣m|，
即|8﹣m|＝m，
解得：m＝16或．
13．如图，在平面直角坐标系中，点D是边长为4cm的正方形ABCO的边AB的中点，直线y＝x交BC于点E，连接DE并延长交x轴于点F．
（1）求出点E的坐标；
（2）求证：△ODE是直角三角形；
（3）过D作DH⊥x轴于点H，动点P以2cm/s的速度从点D出发，沿着D→H→F方向运动，设运动时间为t，当t为何值时，△PEH是等腰三角形？
【答案】解：（1）D是边长为4cm的正方形ABCO的边AB的中点，则点D（2，4），
当x＝4时，y＝x＝，故点E（4，3）；
（2）点O、D、E的坐标分别为：（0，0）、（2，4）、（4，3），
则DO2＝20，OE2＝25，DE2＝5，
故OE2＝OD2+ED2，
故：△ODE是直角三角形；
（3）点E、H的坐标分别为：（4，3）、（2，0），
①当点P在HD上时，此时0＜t≤2，
点P（2，4﹣2t），则PH2＝（4﹣2t）2，PE2＝4+（1﹣2t）2，HE2＝13，
当PH＝PE时，（4﹣2t）2＝4+（1﹣2t）2，解得：t＝；
当PH＝HE时，同理可得：t＝（不合题意值已舍去）；
当PE＝HE时，同理可得：t＝2；
②当点P在HF上时，
由点D、E的坐标得，直线ED的表达式为：y＝﹣x+5，令y＝0，则x＝10，即点F（10，0），
则2＜t≤6；
PE2＝（2t﹣8）2+9，PH2＝（2t﹣6）2，EH2＝13；
当PE＝PH时，（2t﹣8）2+9＝（2t﹣6）2，解得：t＝；
当PE＝EH时，同理可得：t＝6（不合题意值已舍去）；
当PH＝EH时，同理可得：t＝（不合题意值已舍去）．
综上，当t＝或2或或或6或．
14．【情景导入】（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点A，与x轴交于点B，与直线y＝8交于点C．求点C的坐标．
【尝试探究】（2）①在（1）的条件下，若P是直线y＝6上一点，且△PBC是等腰三角形，求点P的坐标．
②若确定点P的坐标为（2，6），直线AB可在平面内任意平移．当△PBC是等腰三角形时，求点C的坐标．
【延伸拓展】（3）在（1）的条件下，若△PBC为直角三角形，且∠BPC＝90°，连接AP，请直接写出sin∠PAC的最大值．
【答案】解：（1）点A、B的坐标分别为：（0，﹣4）、（3，0），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：
直线AB的表达式为：y＝x﹣4，
当y＝8时，x＝9，故点C（9，8）；
（2）①设点P（m，6），而点B、C的坐标分别为：（3，0）、（9，8），
PB2＝（m﹣3）2+36，PC2＝（m﹣9）2+4，BC2＝100，
当PB＝PC时，（m﹣3）2+36＝（m﹣9）2+4，解得：m＝
当PB＝BC时，同理可得：m＝11或﹣5；
当PC＝BC时，同理可得：m＝9±4；
综上，P（9﹣4，6）或P（9+4，6）或P（11，6）或P（﹣5，6）或P（）；
②设直线平移了m个单位，则点B、C的坐标为：（3+m，0）、（9+m，8），而点P（2，6）；
PB2＝（m+1）2+36，PC2＝（m+7）2+4，BC2＝100，
当PB＝PC时，同理可得：m＝﹣；
当PB＝BC时，同理可得：m＝7或﹣9；
当PC＝BC时，同理可得：m＝﹣7；
综上，C（4+2，8）或C（2﹣，8）或C（16，8）或C（0，8）或C（，8）；
（3）如下图，点P在以BC的中点R（6，4）为圆心的圆上，
当直线AP（P′）与圆R相切时，sin∠PAC有最大值，
圆的半径为5，即HP′＝5，而AH＝10，
sin∠PAC＝＝．
15．建立模型：
如图1，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD⊥ED于D，过C作CE⊥ED于E．则易证△ADB≌△BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”．它可以把倾斜的线段AB和直角∠ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用．
模型应用：
（1）如图2，点A（0，4），点B（3，0），△ABC是等腰直角三角形．
①若∠ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标；
②若AB为直角边，求点C的坐标；
（2）如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若△MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标．
【答案】解：（1）①过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠BDC＝90°＝∠AOB，
∴∠BCD+∠DCB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠DBC＝90°，
∴∠ABO＝BCD，
∵AB＝BC，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
DC＝OB＝3，BD＝OA＝4，故点C（7，3）；
②若AB为直角边，则除了①的情况以外，另外一个点C（C′）与①中的C关于点B对称，
故点C′（﹣1，﹣3）；
故点C的坐标为：（7，3）或（﹣1，﹣3）；
（2）如图2，当∠MGP＝90°时，MG＝PG，
过点P作PE⊥OM于E，过点G作GH⊥PE于H，
∴点E与点M重合，∴GF＝AB＝4
设G点坐标为（x，2x﹣6），6﹣（2x﹣6）＝4，得x＝4，
易得G点坐标（4，2）；
如图3，当∠MGP＝90°时，MG＝PG时，同理得G点坐标（，），
综上可知，满足条件的点G的坐标分别为（4，2）或（，）．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点C．
（1）求点C的坐标．
（2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时P的坐标．
（3）在直线AB上是否存在点M，使得△MOC的面积是△AOC面积的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）联立两直线解析式成方程组，得：，
解得：，
∴点C的坐标为（4，4）；
（2）设点P（m，0），而点C（4，4），点O（0，0）；
PC2＝（m﹣4）2+16，PO2＝m2，OC2＝32；
当PC＝PO时，（m﹣4）2+16＝m2，解得：m＝4；
当PC＝OC时，同理可得：m＝0（舍去）或8；
当PO＝OC时，同理可得：m＝；
故点P的坐标为：（4，0）或（8，0）或（，0）或（，0）；
（3）当y＝0时，有0＝﹣2x+12，
解得：x＝6，
∴点A的坐标为（6，0），
∴OA＝6，
∴S△OAC＝×6×4＝12．
设M（x，y）当M在x轴下方时，△MOC的面积是△AOC面积的2倍，
∴△MOA的面积等于△AOC的面积，|y|＝4
当y＝﹣4时，﹣4＝﹣2x+12，x＝8，
∴M（8，﹣4），
当M在x轴上方时，△MOC的面积是△AOC面积的2倍，
∴△MOA的面积等于△AOC的面积的3倍，|y|＝12；
当y＝12时，12＝﹣2x+12，x＝0，
∴M（0，12），
综上所述，M（8，﹣4）或（0，12）．
17．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y＝
…
﹣
﹣
﹣
﹣3
0
3
…
（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“×”；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x＝1时，函数取得最大值3；当x＝﹣1时，函数取得最小值﹣3．
③当x＜﹣1或x＞1时，y随x的增大而减小；当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大．
（3）已知函数y＝2x﹣1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式＞2x﹣1的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．
【答案】解：（1）补充完整下表为：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y＝
…
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣3
0
3
…
画出函数的图象如图：
；
（2）根据函数图象：
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴，说法错误；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x＝1时，函数取得最大值3；当x＝﹣1时，函数取得最小值﹣3，说法正确；
③当x＜﹣1或x＞1时，y随x的增大而减小；当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大，说法正确．
（3）由图象可知：不等式＞2x﹣1的解集为x＜﹣1或﹣0.3＜1.8．
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