广东省揭阳市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题（含答案）

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掲阳市2020－2021学年度高中二年级期末教学质量测试

数学

本试卷共5页，22题，满分150分，考试用时120分钟．

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的市县/区、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上．将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘點处”．

2.作答选择题时，选出毎小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．

4.考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知全集，集合，则（    ）

A.B.C.D.

2.设l是直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ）

A.若，则B.若，则

C.若，则D.若，则

3.复数（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（    ）

A.B.C.D.

4.2020年上半年，中国养猪企业受猪价高位的利好影响，大多收获史上最佳半年报业绩，部分企业半年报营业收入同比增长超过1倍．某养猪场抓住机遇，加大了生猪养殖规模，为了检测生猪的养殖情况，该养猪场对2000头生猪的体重（单位：kg）进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（    ）

A.这2000头生猪体重的众数为160kg

B.这2000头生猪体重的中位数落在区间[160，180）内

C.这2000头生猪中体重不低于200kg的有40头

D.这2000头生猪体重的平均数为152.8kg

5.已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线斜率分别为，若，则该双曲线的离心率为（    ）

A.5B.C.D.

6.设变量x，y满足约束条件，则的最大值是（    ）

A.3B.C.1D.8

7.已知函数（a＞0，且a≠1）过定点P，若点P在直线2mx＋ny－6＝0（mn＞0）上，则的最小值为（    ）

A.2B.C.8D.

8.已知y＝f（x）为R上的奇函数，y＝f（x＋1）为偶函数，若当时，，则f（2023）等于（    ）

A.－1B.1C.0D.2

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A.g（x）的图象关于直线对称 B.g（x）的图象关于点对称

C.g（x）在区间上单调递增 D.g（x）在区间上有两个零点

10.已知，则下列结论错误的是（    ）

A.B.

C.D.

11.下列命题中，真命题的是（    ）

A.

B.已知，则“”是“”的充要条件

C.命题P：“”的否命题为：“”

D.已知函数，且关于x的方程f（x）＝－x＋a恰有两个互异的实数解的充要条件是a＜1

12.如图点M是正方体中的侧面上的一个动点，则下列结论正确的是（    ）

A.若点M为线段的中点，则CM⊥

B.不存在点M到直线AD和直线的距离相等

C.若正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为

D.在线段上不存在点M，使异面直线与CD所成的角是30°

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知向量a，b都为单位向量，，则向量a，b的夹角为．

14.明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”，右图是来氏太极图，其大圆半径为5，大圆内部的同心小圆半径为2，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为．

15.已知函数，给出三个条件：①；②；③．从中选出一个能使数列成等比数列的条件，在这个条件下，数列的前n项和＝．

16.已知点P是地物线上的一个动点，则点P到直线和的距离之和的最小值为．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（10分）

已知函数．

（1）将f（x）的图象向右平移个单位得到g（x）的图象，求函数g（x）的解析式和最小正周期；

（2）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（A）＝1，a＝，b＝2，求△ABC的面积．

18.（12分）

已知等比数列各项都是正数，且；数列的前n项和满足．

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

19.（12分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAD为正三角形，四边形ABCD为梯形，二面角P－AD－C为直二面角，且AB∥DC，AB⊥AD，AD＝AB＝DC，F为PC的中点．

（1）求证：BF∥平面PAD；

（2）求直线PC与平面PAB所成的角的余弦值．

20.（12分）

为了研究历年销售额的变化趋势，一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据y（单位：十亿元），绘制如表：

根据以上数据绘制散点图，如图所示：

（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为销售额y关于x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及如表中的数据，建立y关于x的回归方程，并预测2021年天猫双十一销售额；（注：数据保留小数点后一位）

（3）把销售额不超过150（十亿元）的年份叫“平销年"，把销售额低于30（十亿元）的年份叫“试销年”，从2010年到2019年这十年的“平销年”中任取3个，表示取到“试销年”的个数，求的分布列和数学期望．

参考数据：

参考公式：

对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．

21.（12分）

已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分別为，离心率为，过左焦点作直线交椭圆E于A，B两点，的周长为8．

（1）求椭圆E的方程；

（2）若直线：y＝k＋m（km＜0）与圆O：相切，且与椭圆E交于M，N两点，是否存在最小值？若存在，求出的最小值和此时直线的方程．

22.（12分）

已知函数．

（1）若f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为10，求此切线方程；

（2）当a＜0时，证明：．

揭阳市2020－2021学年度高中二年级期末教学质量测试

参考答案及评分标准 数学

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1—5ACBDD6－8DBA

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.AC10.BD11.ABC12.ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.14.15.16.3

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（10分）

解：（1）．………………2分

函数g（x）的最小正周期是．………………3分

（2），又角A为锐角，．……………5分

在△ABC中，．

∴由余弦定理得：．

即，解得c＝3或c＝－1（舍去）．………………8分

．

∴△ABC的面积为．………………10分

18.（12分）

解：（1）设等比数列的公比为q（q＞0）．

由，则，解得：g＝3或q＝－4.

．………………3分

∵数列的前n项和满足．①

当n＝1时，．

当n≥2时，．②

①－②得：，又适合．……6分

………………7分

（2）由（1）得：．………………8分

．…………9分

．…………11分

．………………12分

19.（12分）

（1）证明：如图所示，取PD的中点G，连接GF，AG．

∵F为PC的中点，．

又且CF＝AB．

∴四边形ABFG为平行四边形．∴BF∥AG．

又∵AG平面PAD，BF平面PAD，∴BF∥平面PAD．………………4分

（2）解：取AD的中点O，连接OP，由△PAD为正三角形，∴PO⊥AD．

取BC的中点E，连接OE，∵四边形ABCD为梯形，

∴OE∥AB．∴OE⊥AD．∴∠POE为二面角P－AD－C的平面角．………………6分

又二面角P－AD－C为直二面角，∴∠POE＝90°．PO⊥OE．………………7分

以O为坐标原点，OA，OE，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：

设AB＝2，则，A（1，0，0），B（1，2，0），C（－1，4，0），

故，．………………8分

设平面PAB的一个法向量为，则

则可取．………………9分

设直线PC与平面PAB所成的角为．

．………………10分

．

故直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为．……………………12分

20.（12分）

解：（1）由散点图可得，适宜作为销售额y关于x的回归方程类型．……1分

（2）令，则，根据题中数据可得：

，

，，

所以，因此y关于x的回归方程为．………………5分

当x＝12时，（十亿元）．

所以2021年天猫双十一销售额预计为386.8（十亿元）．………………6分

（3）由题意，2010年到2019年这十年的“平销年”的个数为7个，其中“试销年”为3个，

因此从2010年到2019年这十年的“平销年”中任取3个，取到“试销年”的个数能取的值为0，1，2，3.…………7分

则，．

因此的分布列如下：

………………11分

所以其数学期望为．…………12分

21.（12分）

解：（1）由的周长为8，由椭圆的定义可得4a＝8，即a＝2．

又椭圆的离心率为，得，故．

∴椭圆E的方程为．………………3分

（2）由直线：y＝kx＋m（km＜0）与圆O：相切，

则．①………………4分

设

由于点M在椭圆E上，则，可得．又

．

同理．………………6分

联立，得．

显然成立，则．…………7分

又km＜0，由①得：，………………8分

令，则，

当且仅当“”即“t＝3”时等号成立．………………9分

存在最小值，且．

的最小值为2………………10分

由，又km＜0，解得或．

∴所求直线的方程为或，

即或．…………12分

22.（12分）

解：（1），

．………………1分

∵f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为10，

，即，

解得：a＝2

．………………2

，切点坐标为（1，8）．…………3分

∴所求切线方程为：y－8＝10（x－1），即10x－y－2＝0.………………4分

（2），………………5分

∵a＜0，当时，；

当时，；当时，，

∴f（x）在上单调递增，在上单调递减．

∴当时，f（x）取得极大值，也是最大值，且．………………7分

，………………8分

令．………………9分

解，得t＝1；

解，得0＜t＜1；解，得t＞1

∴h（t）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）单调递减．………………10分

∴当t＝1时，h（t）取得极大值，也是最大值，且．

，即．

∴当a＜0时，．……………………12分

（注：其他解法，由评卷老师酌情给分）