广东省江门市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题（含答案）

内部资料·注意保存

试卷类型：B

江门市2020-2021学年高二下学期期末考试

数学

本试卷共4页，22小题，满分150分，测试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷与答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数的共轭复数是（ ）

A．   B．   C．   D．

2．“”是“曲线表示椭圆”的（ ）

A．充要条件        B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件      D．既不充分也不必要条件

3．已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，过的直线交于，两点，若的周长为则，椭圆的方程为（ ）

A．  B．  C．  D．

4．与直线关于轴对称的直线的方程为（ ）

A． B． C． D．

5．意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案．1691年他的弟弟约翰·伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式——双曲余弦函数：（为自然对数的底数）．当，时，记，，，则，，的大小关系为（ ）

A．  B．  C．  D．

6．已知双曲线的渐近线为，且过点，则该双曲线的标准方程为（ ）

A．  B．  C．  D．

7．棱长均为3的三棱锥，若空间一点满足且有，则的最小值为（ ）

A．    B．    C．    D．1

8．若，，…，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，，…，，点是抛物线的焦点．若，，则等于（ ）

A．2    B．    C．    D．4

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．已知，是两条不重合的直线，，，是三个两两不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）

A．若，，，则 B．若，，则

C．若，，则  D．若，，则

10．定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．以下关于共轭双曲线的结论正确的是（ ）

A．与共轭的双曲线是

B．互为共轭的双曲线渐近线不相同

C．互为共轭的双曲线的离心率为，则

D．互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上

11．如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ）

A．三棱锥的体积是

B．平面

C．平面与平面所成的二面角为60°

D．异面直线与所成角的范围是

12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）

A．是以为周期的函数    B．是奇函数

C．在上为增函数    D．在内有20个极值点

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．命题“，”的否定是______．

14．已知复数与都是纯虚数，则______．

15．过点的直线与圆相交于、两点，则的最小值为______．

16．如图，在直三棱柱中，，，已知和分别为和的中点，和分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段长度的取值范围为______．

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

已知抛物线的焦点为，并且经过点．

（1）求抛物线的方程；

（2）过原点作倾斜角为45°的直线交抛物线于，两点，求的面积．

18．（12分）

已知空间三点，，．

（1）求的面积；

（2）若向量，且，求向量的坐标．

19．（12分）

已知函数．

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）若在区间上的极小值为，求它在该区间上的最大值．

20．（12分）

如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，．点，分别在棱，上，且，．

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的余弦值．

21．（12分）

已知椭圆与有共同的焦点，且经过点．

（1）求椭圆的标准方程和离心率；

（2）设为椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，求的最大值．

22．（12分）

已知函数．

（1）若函数在定义域上的最大值为1，求实数的值；

（2）设函数，当时，对任意的恒成立，求满足条件的实数的最小整数值．

江门市2020-2021学年高二下学期期末考试

数学试题答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．解：（1）把点代入抛物线，

可得，解得

所以抛物线的方程为

（2）抛物线的焦点为，过原点作倾斜角为45的直线方程为

联立，

解得或．

不妨设，．

则的面积为，

所以所求的面积为2．

18．解：（1）设向量，的夹角为，

由已知，，

，，

，

∵，∴，

∴．

（2）∵，∴，，

∵，即，即，

∴，

即，或．

19．解：（1），切线的斜率为，

∴在处的切线方程为，即．

（2）令，得（舍去）或．

列表如下：

由上表在区间上的极小值为，得．

∴在区间上的最大值为．

20．（1）证明：在上取点，使，连结，．

∵，∴，

由平行线分线段成比例定理逆定理，

且．

∵，且是菱形，

∴且．

∴且，∴是平行四边形，

∴，又平面，平面，

∴平面．

20．解：∵是菱形，，

∴为等边三角形，取中点，连结，则．

∵平面，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系．

设，则，，，，

∴，，．

设平面的法向量为，

由，即，

令，得．

设平面的法向量为，

由，即，

令，得．

设二面角的大小为，由图可知为钝角，

∴．

∴二面角的余弦值为．

21．解：（1）由，可得，

设椭圆的标准方程：，且经过点．

∴，解得，

所以椭圆的标准方程：，

．

（2）由（1）可知：，∴，

方法一

设则，，

所以

因为，

所以当时，取得最大值，且的最大值为6．

方法二

设（为参数），

则，，

所以

，

因为

所以当时，取得最大值，即的最大值为6．

22．解：（1）由题意，函数的定义域为，，

①当时，，

函数在区间上单调递增，

此时，函数在定义域上无最大值；

②当时，令，得，

由，得，由，得，

此时，函数的单调递增区间为，单调减区间为．

所以函数，得．

（2）只需对任意的恒成立．

设，

，

∵，∴，且单调递增，

∵，，

∴一定存在唯一的，使得，

即，，

且当时，，即；

当时，，即．

所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

∴，

∵，∴在上单调递增，

∴，则，

因此的最小整数值为．