第5章专题7 正余弦函数的性质-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册常考题型专题练习（机构专用）

正余弦函数的性质

考向一  正余弦函数的单调性与值域

1、函数的一个单调增区间是（    ）

A．        B．        C．         D．

【答案】C

【解析】由图象易得函数单调递增区间为，

当时，得为的一个单调递增区间．故选C.

2、下列关系式中正确的是（    ）

A．            B．

C．            D．

【答案】A

【解析】∵，，

由正弦函数的单调性得，即.

3、下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意得，函数的周期为，只有C,D满足题意，对于函数在上为增函数，函数在上为减函数，故选D.

4、设，，，则（    ）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】 ,

因为且是单调递减函数，所以，故选A

5、比较大小：______cos（）

【答案】＞

【解析】cos（π）＝cos（﹣4π）＝cos（）＝cos，

cos（π）＝cos（﹣4π）＝cos（）＝cos，

∵y＝cosx在（0，π）上为减函数，

∴coscos，

即cos（π）＞cos（π）．

故答案为：＞．

6、f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在区间上的最大值是，则ω＝________.

【答案】

【解析】函数f(x)的周期T＝，因此f(x)＝2sinωx在上是增函数，

∵0<ω<1，∴是的子集，∴f(x)在上是增函数，

∴＝，即2sin＝，∴ω＝，∴ω＝，故答案为.

7、函数在区间上为增函数，则的取值范围是________．

【答案】

【解析】因为在上是增函数，在上是减函数，所以只有时满足条件，故．

8、若(ω>0)在区间上是增函数，则ω的取值范围是________．

因为(ω>0)，所以，

因为在上是增函数，所以故.

9、若函数在区间上单调递减，则的取值范围是(    )

A．0≤≤ B．0≤≤ C．≤≤3 D．≤≤3

【答案】D

【解析】令ωx（k∈Z），则x

∵函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在区间上单调递减，

∴且

当满足题意，∴

故选：D．

10、函数的最大值是________．

解析：

依题意，，

因为，所以，

因此当时，.

11、已知函数y＝2cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是(　　)

A．2   B．3

C.＋2   D．2－

解析：选B　因为x∈，所以cos x∈，故y＝2cos x的值域为[－2,1]，所以b－a＝3.

12、求下列函数的值域：

（1），，；

（2），，．

【分析】直接根据三角函数的单调性来判定在定义域内函数的值域．

【解答】解：（1），，，根据正弦函数的单调性，．

（2），，，根据余弦函数的单调性，

．

考向二  正余弦函数的周期性

1、已知函数是定义在上的周期为的奇函数，且，则___________.

【答案】

【解析】∵函数是定义在上的周期为的奇函数，∴.

又∵，∴.

2、函数的周期为_______；的周期为_______

答案: ;

3、函数的周期为_______；的周期为_______

答案:;

4、函数的最小正周期是_____________.

【答案】

【解析】∵函数的周期为，∴函数的最小正周期，

5、已知函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期为4，则ω＝________.

【答案】　

【解析】　f(x)＝cos(ω>0)，由周期计算公式，可得T＝＝4，解得ω＝.

6、若函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则f 的值是________．

【答案】　

【解析】由题意，得＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin.因此f ＝sin＝sin＝.

7、求下列函数的周期；

（1），；（2），．

【分析】根据正弦型、余弦型函数的周期为，计算即可．

【解答】解：（1）函数，的周期是；

（2）函数，的周期是．

考向三  正余弦函数的奇偶性与对称性

1、函数，是(  )

A．最小正周期为的奇函数     B．最小正周期为的偶函数

C．最小正周期为的奇函数     D．最小正周期为的偶函数

【答案】A

【解析】设 则 故函数函数，是奇函数，由 故函数，是最小正周期为的奇函数.故选A.

2、函数  （    ）

A．是奇函数                               B．是偶函数   

C．既是奇函数，又是偶函数                 D．是非奇非偶函数

【答案】A

【解析】∵，∴,

∴是奇函数．

3、函数为偶函数，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】因为函数为偶函数，所以，

，

故答案为：

4、判断下列函数的奇偶性：

（1）

（2）

【答案】（1）奇函数；（2）偶函数

【解析】（1）依题意，，故函数为奇函数.

（2）令，函数的定义域为，且，故函数为偶函数.

5、判断下列函数的奇偶性.

(1)；

(2).

答案: (1)奇函数 (2)即是奇函数又是偶函数

6、判断下列函数的奇偶性

；

；

.

答案：(1)偶函数 (2)奇函数 (3)非奇非偶函数

7、若函数是偶函数，则（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

8、如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为____________.

【答案】 

【解析】∵函数y＝3cos（2x+）的图象关于点中心对称，

∴，得，k∈Z，由此得．

9、函数 的图象的一条对称轴方程是（    ）

A.     B．       C．       D．

【答案】A

10、函数图象的一条对称轴是直线求_____________. 

答案：

11、已知函数的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．

答案：由题意得∴，∴．

∵，∴.

考向四  正余弦函数性质的综合

1、已知函数f(x)＝sin ωx的图象关于点对称，且f(x)在上为增函数，则ω＝(　　)

A.   B．3

C.   D．6

解析：选A　因为函数f(x)＝sin ωx的图象关于点对称，所以π＝kπ(k∈Z)，即ω＝k(k∈Z)，①

又因为函数f(x)＝sin ωx在区间上为增函数，

所以≤且ω>0，所以0<ω≤2，②

由①②得ω＝.

2、在下列函数中，既是上的增函数，又是以为最小正周期的偶函数的是（ ）

A．y=sinx B．y=cos2x C． D．

【答案】C

【解析】逐一考查所给函数的性质：

A.y=sinx，函数在上是增函数，函数的最小正周期为，函数为奇函数；

B.y=cos2x，函数在上是减函数，函数的最小正周期为，函数为偶函数；

C.，函数在上是增函数，函数的最小正周期为，函数为偶函数；

D.，函数在上是不具有单调性，函数的最小正周期为，函数为偶函数.综上可得，只有选项C中的函数符合题意.故选C.

3、函数是　　

A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 

C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数

【答案】D

【解析】因为函数；

所以：；

故是偶函数；

当时，又因为：；

故其最小正周期不为；

故选D．

4、符合以下三个条件：①在上递减；②以为周期；③是奇函数．这样的函数是　　

A． B． C． D．

【分析】在上递减，可以排除，是奇函数可以排除、，从而可得结论．

【解答】解：在上递减，可以排除，是奇函数可以排除、．

故选：．

5、已知定义在正整数集上的函数和，则当，时，图象在图象上方的点的个数为　　

A．505 B．504 C．1010 D．1009

【答案】C

【解析】根据函数和的图象，他们的最小正周期为4，

由于当，时，对函数正好有505个正周期，

当定义在正整数集上图象在图象上方的点在第一个最小正周期内有两个正整数点为1和2．第二个正周期的整数点为5和6，，

所以在，时，有个整数点．

故选C．