第4章专题9 函数模型（二）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册常考题型专题练习（机构专用）

函数应用（二）

考向一  利用函数模型解决问题

1、某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用(　　)

(A)一次函数   (B)二次函数

(C)指数型函数 (D)对数型函数

【答案】D

【解析】由题意可知,函数模型对应的函数是个增函数,而且增长速度越来越慢,故应采用对数型函数来建立函数模型,故选D.

2.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系:y=at,有以下叙述:

①这个指数函数的底数是2;

②第5个月时,浮萍的面积就会超过30 m2;

③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月;

④浮萍每个月增加的面积都相等.

其中正确的是(　　)

(A)①   (B)①②    (C)②③④   (D)①②④

【答案】B

【解析】图象单调递增,底数大于1,又过点(2,4),所以a2=4,所以a=2(a>0),故①对;令t=5,得y=25=32>30,故②对;若浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过的时间是1.5个月,则有12=23.5,因为23.5=8≠12,故③错;由指数型函数模型的图象上升特征可知④错.故选B.

3、在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是(　　)

(A)y=2x-2 (B)y=(x2-1)

(C)y=log2x (D)y=lox

【答案】B

【解析】由题意可得表中数据y随x的变化趋势.函数在(0,+∞)上是增函数,且y的变化随x的增大越来越快.因为A中函数是线性增加的函数,C中函数是比线性增加还缓慢的函数,D中函数是减函数,所以排除A,C,D;所以B中函数y=(x2-1)符合题意.

4、“红豆生南国，春来发几枝？”下图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y的散点图，那么红豆的枝数与生长时间的关系用下列哪个函数模型拟合最好？(　　)

A．指数函数y＝2t B．对数函数y＝log2t

C．幂函数y＝t3 D．二次函数y＝2t2

【答案】A

【解析】根据已知所给的散点图，观察到图象在第一象限，且从左到右图象是上升的，并且增长速度越来越快，根据四个选项中函数的增长趋势可得，用指数函数模拟较好，故选A.

5、下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是(　　)

(1)这几年生活水平逐年得到提高；

(2)生活费收入指数增长最快的一年是2013年；

(3)生活价格指数上涨速度最快的一年是2014年；

(4)虽然2015年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】C

【解析】由图可知，生活费收入指数与生活价格指数在同一个时间点上的差值越来越大，说明生活水平逐年得到提高，故（1）正确；从折线段的倾斜程度，可知生活费收入指数增长最快的一年是2013年，故（2）正确，（3）错误；由图可知，（4）正确。

6、若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是(　　)

A．y＝0.957 6          B．y＝(0.957 6)100x

C．y＝ x              D．y＝1－0.042 4

【答案】A　[由题意可知y＝(95.76%)，即y＝0.9576.]

7、某汽车在同一时间内速度v(单位:km/h)与耗油量Q(单位:L)之间有近似的函数关系Q=0.002 5v2-0.175v+4.27,则车速为　　　　　 km/h时,汽车的耗油量最少. 

【答案】35

【解析】Q=0.002 5v2-0.175v+4.27=0.002 5(v2-70v)+4.27=0.002 5[(v-35)2-352]+4.27

=0.002 5(v-35)2+1.207 5.故v=35 km/h时,耗油量最少.

8、学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：

现有如下5个模拟函数：

①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x；⑤y＝＋1.74

请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号)．

【答案】④

【解析】画出散点图如图所示．

由图可知上述点大体在函数y＝log2x的图象上，故选择y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律．故填④.答案：④

9、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题 ．认识人口数量的变化规律 ，可以为制定一系列相关政策提供依据。早在 1978 年，英国经济学家马尔萨斯（ T.R.Malthas ，1766 — 1834） 就提出了自然状态下的人口增长模型，其中 t 表示经过的时间 ， 表示 t＝０时的人口数，r 表示人口的年平均增长率。下表是 1950～1959 年我国的人口数据资料

（1） 如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率 （ 精确到 0.0001），

用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型 ， 并检验所得模型与实际人口数据是否相符 ；

（2） 如果按上表的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到 13 亿？

   事实上，我国 1989年的人口数为 11.27亿，直到 2005年才突破13 亿。对由

函数模型所得的结果与实际情况不符 ， 你有何看法 ？

【解析】因为人口基数较大 ， 人口增长过快 ， 与我国经济发展水平产生了较大矛盾 ， 所以我国从 ２０ 世纪 ７０ 年代逐步实施了计划生育政策 ． 因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件 ， 自然就出现了依模型得到的结果

与实际不符的情况 ．

考向二  建立函数模型解决问题

1、某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到(　　)

A.300只 B.400只 C.600只 D.700只

【答案】A

【解析】将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)得,100=alog2(1+1),解得a=100,所以当x=7时,y=100log2(7+1)=300.

2、某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（     ）（参考数据：，，）

A． 2020年    B． 2021年    C． 2022年   D． 2023年

【答案】B

【解析】

由题意求满足最小n值，

由得

，开始超过200万元的年份是2017+5-1=2021,选B.
3、一个驾驶员喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,根据有关规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.2 mg/mL,那么这个驾驶员至少要经过　　　　　小时才能开车(结果精确到1小时,参考数据lg 2≈0.30,lg 3≈0.48). 

【答案】2

【解析】设经过n小时后才能开车,此时酒精含量为0.3(1-25%)n.

根据题意,有0.3(1-25%)n≤0.2,则有nlg=n(lg 3-2lg 2)≤lg =lg 2-lg 3,

将已知数据代入,得n(0.48-0.60)≤0.30-0.48,

∴n≥,故至少要经过2小时才能开车.

4、年月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳原有的质量），则经过年后，碳的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到年之间．（参考数据：）

【答案】       

【解析】

当时，    经过年后，碳的质量变为原来的

令，则   

    良渚古城存在的时期距今约在年到年之间

故答案为；

5、一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,

为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的.

(1)求每年砍伐面积的百分比;

(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?

(3)今后最多还能砍伐多少年?

【答案】(1)1-.(2)到今年为止,已砍伐了5年.(3)今后最多还能砍伐15年.

【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1),则a(1-x)10=a,即(1-x)10=,解得x=1-.

(2)设经过m年剩余面积为原来的,

则a(1-x)m=a,即,解得m=5,

故到今年为止,已砍伐了5年.

(3)设从今年开始,最多还能砍伐n年,

则n年后剩余面积为a(1-x)n.令a(1-x)n≥a,

即(1-x)n≥,

解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年.

6、大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q,研究中发现v与log3 成正比,且当Q=900时,v=1.

(1)求出v关于Q的函数解析式;

(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数;

(3)一条鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量的单位数应怎样变化?

【答案】(1)v关于Q的函数解析式为v=log3.

(2)一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时的耗氧量为2 700个单位.

(3)鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的9倍.

【解析】(1)设v=k·log3,

∵当Q=900时,v=1,∴1=k·log3,∴k=.

故v关于Q的函数解析式为v=log3.

(2)令v=1.5,则1.5=log3,解得Q=2 700.

故一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时的耗氧量为2 700个单位.

(3)设鲑鱼耗氧量为Q1,Q2时,游速分别为v1,v2,

由题意知v2-v1=1,即log3log3=1.

∴log3=1,∴=9,即Q2=9Q1.

故鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的9倍.

7、物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？

【解析】　先设定半衰期h，由题意知40－24＝(88－24)×，即＝，

解之，得h＝10，故原式可化简为

T－24＝(88－24)×，

当T＝32时，代入上式，得32－24＝(88－24)×，

即＝＝＝3，∴t＝30.

因此，需要30 min，可降温到32 ℃.

8、一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．

(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；

(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．

【解析】　(1)最初的质量为500 g.

经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；

经过2年，w＝500×0.92；

由此推知，t年后，w＝500×0.9t.

(2)由题意得500×0.9t＝250，即

0．9t＝0.5，两边同时取以10为底的对数，得

lg 0.9t＝lg 0.5，即tlg 0.9＝lg 0.5，所以t＝≈6.6.

即这种放射性元素的半衰期约为6.6年．

9、据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约只，并以平均每年的速度增加．

(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；

(2)写出（珍稀鸟类的个数）关于（经过的年数）的函数关系式；

(3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的倍或以上？（结果为整数）(参考数据：，)

【答案】（1）1166个；（2），（3）15年

【解析】解：(1)依题意，一年后这种鸟类的个数为

两年后这种鸟类的个数为

(2)由题意可知珍稀鸟类的现有个数约只，并以平均每年的速度增加

则所求的函数关系式为，

(3)令，得：两边取常用对数得：，即

考虑到，故，故

因为

所以

约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的倍或以上