专题8 等式性质与不等式性质-2021-2022学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册）

专题8 等式性质与不等式性质

题组1 用不等式（组）表示不等关系

1.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总重量T应满足的关系为(　　)

A.T<40

B.T>40

C.T≤40

D.T≥40

【答案】C

2.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有(　　)

A. 5种

B. 6种

C. 7种

D. 8种

【答案】C

【解析】设购买单片软件和盒装磁盘分别为x片，y盒.则即①当x＝3时，7y≤32，y≤.∵y∈N*且y≥2，∴y可以取2,3,4，此时有3种选购方式；②当x＝4时，7y≤26，y≤，∵y∈N*

且y≥2，∴y可以取2,3，此时有2种选购方式；③当x＝5时，y≤，∵y∈N*且y≥2，∴y只能取2，此时有1种选购方式；④当x＝6时，y＝2，此时有1种选购方式.综上，共有7种选购方式.

3.将一根长的绳子截成两段，已知其中一段的长度为，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（    ）

A． B．或

C． D．

【答案】D

【解析】由题意，其中一段的长度为可知另一段绳子的长度为，

因为两段细子的长度之差不小于，可得，即.

故选D.

4.完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工人，瓦工人，则关于工资满足的不等关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由题意，可得，化简得.

故答案为: D.

5.某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人数不超过200人；每个工人年工作时间约计2 100 h；预计此产品明年销售量至少80 000袋；每袋需用4 h；每袋需用原料20 kg；年底库存原料600 t，明年可补充1 200 t.试根据这些数据预测明年的产量x(写出不等式(组)即可)为________.

【答案】

【解析】由题意可得

题组2 作差法比较大小

5.设a>b>c>0，x＝，y＝，z＝，则x，y，z的大小顺序是________.

【答案】z>y>x

【解析】方法一　∵a>b>c>0，∴y2－x2＝b2＋(c＋a)2－a2－(b＋c)2＝2c(a－b)>0，∴y2>x2，即y>x，

∵z2－y2＝c2＋(a＋b)2－b2－(c＋a)2＝2a(b－c)>0，∴z2>y2，即z>y，故z>y>x.

方法二　特值代换法，令a＝3，b＝2，c＝1，则x＝，y＝，z＝，

则x<y<z，故z>y>x.

6.规定AB＝A2＋B2，A⊖B＝A·B，A，B∈R.若M＝a－b，N＝a＋b，a，b∈R，判断MN与M⊖N的大小.

【答案】∵MN＝M2＋N2＝(a－b)2＋(a＋b)2＝2a2＋2b2，

M⊖N＝M·N＝(a－b)(a＋b)＝a2－b2，

∴MN－M⊖N＝2a2＋2b2－(a2－b2)＝a2＋3b2≥0，∴MN≥M⊖N.

7.已知，比较与的大小.

【答案】

【解析】

.

∵，，

∴，当且仅当时，取等号，

∴.

题组3 不等式的性质

8.若a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是(　　)

A.a2＋b2≥2ab

B.a＋b≥2

C.a2＋b2≥(a＋b)2

D.＋<(a≠b)

【答案】D

【解析】显然有a2＋b2≥2ab，a＋b≥2，又a2＋b2－(a＋b)2＝a2＋b2－ab＝(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥(a＋b)2，故选D.

9.已知x∈(b，a)且x≠0，∈，则实数a，b满足的一个条件可以是(　　)

A.a<b<0

B.a<0<b

C.a>0>b

D.a>b>0

【答案】D

【解析】因为x∈(b，a)且x≠0，∈，所以，a>b>0，故选D.

10.已知a，b，c均为实数，有下列说法：

①若a<b<0，则a2<b2；②若<c，则a<bc；

③若a>b，则c－2a<c－2b；④若a>b，则<.

其中，正确的结论是________.(填序号)

【答案】③

【解析】①用特殊值法检验.令a＝－2，b＝－1，有4>1，故①错误；②当b<0时，有a>bc，故②错误；③当a>b时，有－2a<－2b，从而c－2a<c－2b，故③正确；④当a>0，b<0时，显然有>，故④错误.综上，只有③正确.

11.若正数x、y满足，则的最小值等于（    ）

A．4 B．5 C．9 D．13

【答案】C

【解析】因为正数x、y满足，所以（），

所以，令，，

，

由对勾函数在上单调递减，在上单调递增，所以，

所以的最小值为9，此时．

故选：C．

12.若，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，故，则，当时取“=”，所以正确选项为A

13.若非零实数a，b满足，则下列不等式不一定成立的是（    ）

A． B． C．  D．

【答案】ABD

【解析】对于选项A，当，，，此时不成立；

对于选项B，当，，，此时不成立；

对于选项C，，所以成立；

选项D，当，此时不成立.

故选：ABD.

题组4 利用不等式的性质判断或证明

14.已知a>6，求证：－<－.

【答案】方法一　要证－<－，

只需证＋<＋，

只需证<，

只需证2a－9＋2<2a－9＋2，

只需证<，只需证(a－3)(a－6)<(a－5)(a－4)，只需证18<20，因为18<20显然成立，所以不等式－<－成立.

方法二　要证－<－，只需证<，

因为a>6，所以a－3>0，a－4>0，a－5>0，a－6>0，

又因为a－3>a－5，所以>，

同样有>，则＋>＋，

所以－<－.

15.已知a，b为正实数，且2c>a＋b，求证：c－<a<c＋.

【答案】证明　要证c－<a<c＋，只需证－<a－c<，即证|a－c|<，两边平方得a2－2ac＋c2<c2－ab，即证a2＋ab<2ac，因为2c>a＋b，a为正实数，所以a2＋ab<2ac成立，所以原不等式成立.

16.已知a，b都是正数，并且a≠b，求证：a5＋b5>a2b3＋a3b2.

【答案】证明　(a5＋b5)－(a2b3＋a3b2)＝(a5－a3b2)＋(b5－a2b3)＝a3(a2－b2)－b3(a2－b2)

＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a＋b)·(a－b)2(a2＋ab＋b2).

∵a，b都是正数，∴a＋b>0，a2＋ab＋b2>0.

又∵a≠b，∴(a－b)2>0，∴(a＋b)(a－b)2(a2＋ab＋b2)>0，

∴a5＋b5>a2b3＋a3b2.

17.已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1）；

（2）．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】（1）   

当且仅当时取等号

，即：

（2），当且仅当时取等号

又，，（当且仅当时等号同时成立）

又   

题组5 利用性质比较大小

18.a∈R，且a2＋a<0，那么－a，－a3，a2的大小关系是(　　 )

A.a2>－a3>－a

B. －a>a2>－a3

C. －a3>a2>－a

D.a2>－a>－a3

【答案】B

【解析】因为a2＋a<0，所以a(a＋1)<0，所以－1<a<0，根据不等式的性质可知－a>a2>－a3，故选B.

19.若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是(　　)

A.a1b1＋a2b2

B.a1a2＋b1b2

C.a1b2＋a2b1

D.

【答案】A

【解析】方法一　特殊值法

令a1＝，a2＝，b1＝，b2＝，

则a1b1＋a2b2＝＝，a1a2＋b1b2＝＝，

a1b2＋a2b1＝＝，

∵>>，∴最大的数应是a1b1＋a2b2.

方法二　作差法

∵a1＋a2＝1＝b1＋b2且0<a1<a2,0<b1<b2，

∴a2＝1－a1>a1，b2＝1－b1>b1，∴0<a1<，0<b1<.

又a1b1＋a2b2＝a1b1＋(1－a1)(1－b1)＝2a1b1＋1－a1－b1，

a1a2＋b1b2＝a1(1－a1)＋b1(1－b1)＝a1＋b1－－，

a1b2＋a2b1＝a1(1－b1)＋b1(1－a1)＝a1＋b1－2a1b1，

∴(a1b2＋a2b1)－(a1a2＋b1b2)＝＋－2a1b1＝(a1－b1)2≥0，

∴a1b2＋a2b1≥a1a2＋b1b2.

∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝4a1b1＋1－2a1－2b1

＝1－2a1＋2b1(2a1－1)＝(2a1－1)(2b1－1)＝4>0，

∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.

∵(a1b1＋a2b2)－＝2a1b1＋－a1－b1＝b1(2a1－1)－(2a1－1)＝(2a1－1)

＝2>0，

∴a1b1＋a2b2>.

综上可知，最大的数应为a1b1＋a2b2.

题组6 利用不等式的性质求范围

20．已知，，则的取值范围是________.

【答案】

【解析】由，则，又由，得，

则.

故答案为：.

21．已知，，则的取值范围是______

【答案】

【解析】令

则,

,
又①
,
②
①+②得.
故答案为

22．已知实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围为________．

【答案】(－∞，－1)

【解析】

若a<0，则b2<1<b，产生矛盾，所以a>0，则b2>1>b，解得b∈(－∞，－1)．

23．若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________.

【答案】.

【解析】解：

当且仅当，即且时取等号.

恒成立，则解得即

故答案为：