第二十讲 基本不等式的应用2-【暑假辅导班】2022年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019） 试卷

第二十讲：基本不等式的应用2

【学习目标】

1．掌握对应的基本不等式求解最值；

2．通过分析实际问题，建立函数方程，通过基本不等式求解最优解.

【基础知识】

基本不等式：

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

【考点剖析】

考点一：实际应用问题（一）

例1．习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”.某市一乡镇响应号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他成本投入（如培育管理等人工费）为（单位：元）.已知这种水果的市场售价大约为10元，且供不应求.记该单株水果树获得的利润为（单位：元）.

（1）求的函数关系式；

（2）当投入的肥料费用为多少元时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少元？

变式训练1：今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产x(千部)手机，需另投入成本万元，且由市场调研知，海部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.

（1）求出2021年的利润(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式(利润销售额成本)；

（2）2021年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

变式训练2：在一块占地面积为1800平方米的矩形土地中间建三个矩形温室大棚，如图所示，三个大棚占地面积为s平方米，其中，大棚之间及四周路宽均为1米(图中白色部分为大棚，阴影部分为路).

（1）试用x和y表示s：

（2）若要使s的值最大，则x和y的值分别为多少？

变式训练3：在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知．通过市场分析，该中药材可以每吨50万元的价格全部售完．设基地种植该中药材年利润为万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元．

（1）求的值；

（2）求年利润的最大值（精确到万元），并求此时的年产量（精确到吨）．

考点二：实际应用问题（二）

例2．我们学习了二元基本不等式：设,,,当且仅当时，等号成立利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值.

（1）对于三元基本不等式请猜想：设________当且仅当时，等号成立（把横线补全）.

(2)利用（1）猜想的三元基本不等式证明：

设求证：

(3)利用（1）猜想的三元基本不等式求最值：

设求的最大值.

变式训练1：某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：

例：求的最小值．解：利用基本不等式，得到，于是，当且仅当时，取到最小值

（1）老师请你模仿例题，研究上的最小值；（提示：）

（2）研究上的最小值；

（3）求出当时，的最小值．

考点三：基本不等式求参

例3．若正数、满足，若不等式的恒成立，则的最大值等于（    ）

 A． B． C． D．

变式训练1：已知两个正实数满足，并且恒成立，则实数m的取值范围（    ）

 A．  B．

 C． D．

变式训练2：已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值为（    ）

 A．1 B．2 C．4 D．8

变式训练3：若关于x的不等式对于一切恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

 A． B． C． D．

【当堂小结】

1．知识清单：

(1)利用基本不等式求最值．

(2)利用基本不等式求解取值范围．

(3)实际应用问题，基本不等式求解最优解．

2．方法归纳：配凑法．

3．常见误区：忽略应用基本不等式求最值的条件(一正、二定、三相等)．

【过关检测】

1、已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ）

 A．10 B．9 C．8 D．7

2、若，且恒成立，则实数的取值范围是（    ）

 A．  B．

 C． D．

3、某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.

（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;

（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.

4、某果农种植一种水果，每年施肥和灌溉等需投入4万元.为了提高产量同时改善水果口味以赢得市场，计划在今年投入万元用于改良品种.根据其他果农种植经验发现，该水果年产量(万斤)与用于改良品种的资金投入(万元)之间的关系大致为：(，为常数)，若不改良品种，年产量为1万斤.该水果最初售价为每斤4.75元，改良品种后，售价每斤提高元.假设产量和价格不受其他因素的影响.

（1）设该果农种植该水果所获得的年利润为(万元)，试求关于资金投入(万元)的函数关系式；

（2）该果农一年内应当投入多少万元用于改良品种，才能使得年利润最大？最大利润为多少？

5、某地政府指导本地建扶贫车间､搭建就业平台，帮助贫困群众实现精准脱贫，实现困难群众就地就近就业.已知扶贫车间生产某种产品的年固定成本为8万元，每生产()万件，该产品需另投入流动成本万元.在年产量不足6万件时，；在年产量不小于6万件时，.每件产品的售价为6元.由于该扶货车间利用了扶贫政策及企业产业链优势，因此该种产品能在当年全部售完.

（1）写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式；

（2）当年产量为多少时，该扶贫车间的年利润最大？并求出最大年利润.

6、在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：

（1）已知正数、满足，求的最小值.

甲给出的解法是：由，得，

则，所以的最小值为

而乙却说这是错的.请你指出其中的问题，并给出正确解法；

（2）结合上述问题（1）的结构形式，试求函数的最小值.