2022年高考数学二轮专题复习《圆锥曲线综合问题》基础练习卷(2份，教师版+原卷版)

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一、选择题
直线y=eq \f(b,a)x＋3与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1的交点个数是( )
A.1 B.2 C.1或2 D.0
【答案解析】答案为：A；
解析：因为直线y=eq \f(b,a)x＋3与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1的一条渐近线y=eq \f(b,a)x平行，
所以它与双曲线只有1个交点.
如图，F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的两个分支分别交于点A，B.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A.4 B.eq \r(7) C.eq \f(2\r(3),3) D.eq \r(3)
【答案解析】答案为：B；
解析：∵△ABF2为等边三角形，∴|AB|=|AF2|=|BF2|，∠F1AF2=60°.
由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|=2a，∴|BF1|=2a.
又|BF2|－|BF1|=2a，∴|BF2|=4a.∴|AF2|=4a，|AF1|=6a.
在△AF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2=|AF1|2＋|AF2|2－2|AF2|·|AF1|cs 60°，
∴(2c)2=(6a)2＋(4a)2－2×4a×6a×eq \f(1,2)，即c2=7a2，∴e=eq \f(c,a)=eq \r(\f(c2,a2))=eq \r(7).故选B.
已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)，过点P(3,6)的直线l与C相交于A，B两点，
且AB的中点为N(12,15)，则双曲线C的离心率为( )
A.2 B.eq \f(3,2) C.eq \f(3\r(5),5) D.eq \f(\r(5),2)
【答案解析】答案为：B；
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AB的中点为N(12，15)，得x1＋x2=24，y1＋y2=30，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)－\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)－\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))两式相减得：eq \f(x1＋x2x1－x2,a2)=eq \f(y1＋y2y1－y2,b2)，
则eq \f(y1－y2,x1－x2)=eq \f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)=eq \f(4b2,5a2).由直线AB的斜率k=eq \f(15－6,12－3)=1，∴eq \f(4b2,5a2)=1，则eq \f(b2,a2)=eq \f(5,4)，
∴双曲线的离心率e=eq \f(c,a)=eq \r(1＋\f(b2,a2))=eq \f(3,2).
过双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)=1的左焦点作倾斜角为eq \f(π,6)的直线l，则直线l与双曲线C的交点情况是( )
A.没有交点
B.只有一个交点
C.有两个交点且都在左支上
D.有两个交点分别在左、右两支上
【答案解析】答案为：D；
解析：直线l的方程为y=eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\r(13)))，代入C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)=1，整理得23x2－8eq \r(13)x－160=0，
Δ=(－8eq \r(13))2＋4×23×160＞0，所以直线l与双曲线C有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右两支上.
已知直线l与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为( )
A.y=x－1 B.y=－2x＋5 C.y=－x＋3 D.y=2x－3
【答案解析】答案为：D；
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝4x1， ①,y\\al(2,2)＝4x2， ②))①－②得yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)=4(x1－x2)，
由题可知x1≠x2.∴eq \f(y1－y2,x1－x2)=eq \f(4,y1＋y2)=eq \f(4,2)=2，即kAB=2，∴直线l的方程为y－1=2(x－2)，
即2x－y－3=0.故选D.
过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为eq \f(10,3)，则|AB|=( )
A.eq \f(13,3) B.eq \f(14,3) C.5 D.eq \f(16,3)
【答案解析】答案为：D；
解析：过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|=p＋x1＋x2.∵p=2，∴|AB|=2＋eq \f(10,3)=eq \f(16,3).
已知点A(－2,3)在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)
【答案解析】答案为：D；
解析：易知p=4，直线AB的斜率存在，抛物线方程为y2=8x，与直线AB的方程y－3=k(x＋2)联立，消去x整理得ky2－8y＋16k＋24=0，由题意知Δ=64－4k(16k＋24)=0，解得k=－2或k=eq \f(1,2).因为直线与抛物线相切于第一象限，故舍去k=－2，故k=eq \f(1,2)，可得B(8,8)，又F(2,0)，故kBF=eq \f(8－0,8－2)=eq \f(4,3)，故选D.
直线l：kx－y－k=0与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)=1的位置关系是( )
A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定
【答案解析】答案为：A
解析：∵kx－y－k=0，∴y=k(x－1)，即直线过定点(1,0)，
而(1,0)点在eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)=1的内部，故l与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)=1相交.
焦点在x轴上的椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为eq \f(b,3)，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
【答案解析】答案为：C.
解析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，
又由三角形面积公式得eq \f(1,2)×2c·b=eq \f(1,2)(2a＋2c)·eq \f(b,3)，得a=2c，即e=eq \f(c,a)=eq \f(1,2)，故选C.
已知点F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|=( )
A.4 B.6 C.8 D.12
【答案解析】答案为：A.
解析：由|PF1|＋|PF2|=4，
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs60°=|F1F2|2，得3|PF1|·|PF2|=12，
所以|PF1|·|PF2|=4，故选A.
已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线eq \f(x2,m)＋y2=1的离心率为( )
A.eq \f(\r(30),6) B.eq \r(7) C.eq \f(\r(30),6)或eq \r(7) D.eq \f(5,6)或eq \r(7)
【答案解析】答案为：C.
解析：由题意知m2=36，解得m=±6.当m=6时，该圆锥曲线表示椭圆，
此时a=eq \r(6)，b=1，c=eq \r(5)，则e=eq \f(\r(30),6)；
当m=－6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a=1，b=eq \r(6)，c=eq \r(7)，则e=eq \r(7).故选C.
已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若eq \(AP,\s\up7(―→))=2eq \(PB,\s\up7(―→))，则椭圆的离心率是( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
【答案解析】答案为：D；
∵eq \(AP,\s\up7(―→))=2eq \(PB,\s\up7(―→))，∴|eq \(AP,\s\up7(―→))|=2|eq \(PB,\s\up7(―→))|.又∵PO∥BF，∴eq \f(|PA|,|AB|)=eq \f(|AO|,|AF|)=eq \f(2,3)，即eq \f(a,a＋c)=eq \f(2,3)，∴e=eq \f(c,a)=eq \f(1,2).
二、填空题
已知抛物线C：y2=2px(p＞0)，直线l：y=eq \r(3)(x－1)，l与C交于A，B两点，
若|AB|=eq \f(16,3)，则p=________.
【答案解析】答案为：2.
解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,y＝\r(3)x－1，))消去y，得3x2－(2p＋6)x＋3=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2=eq \f(2p＋6,3)，x1x2=1，
所以|AB|=2eq \r(x1＋x22－4x1x2)=2 eq \r(\f(2p＋62,9)－4)=eq \f(16,3)，所以p=2.
已知P为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)上一点，F1，F2是其左、右焦点，∠F1PF2取最大值时，
cs∠F1PF2=eq \f(1,3)，则椭圆的离心率为________.
【答案解析】答案为：eq \f(\r(3),3).
解析：易知∠F1PF2取最大值时，点P为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1与y轴的交点，
由余弦定理及椭圆的定义得2a2－eq \f(2a2,3)=4c2，即a=eq \r(3)c，所以椭圆的离心率e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(3),3).
在平面直角坐标系中，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径作圆，
过点(eq \f(a2,c)，0)作圆的两切线互相垂直，则离心率e=__________.
【答案解析】答案为：eq \f(\r(2),2).
解析：如图，切线PA、PB互相垂直，半径OA垂直于PA，
所以△OAP是等腰直角三角形，故eq \f(a2,c)=eq \r(2)a，解得e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(2),2).
若直线y=2x＋b与椭圆eq \f(x2,4)＋y2=1无公共点，则b的取值范围为________.
【答案解析】答案为：(－∞，－eq \r(17))∪(eq \r(17)，＋∞).
解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x＋b，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得eq \f(x2,4)＋(2x＋b)2=1.
整理得17x2＋16bx＋4b2－4=0.Δ=(16b)2－4×17(4b2－4)eq \r(17)或b