2020届陕西省渭南高三二模数学试卷及答案

这是一份2020届陕西省渭南高三二模数学试卷及答案，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020届陕西省渭南高三二模数学试卷及答案 一、单选题1．已知集合，，则集合的子集个数为A．2 B．3 C．4 D．82．若，则A． B． C． D．3．已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是A． B．C． D．4．已知在等差数列中，，，则（       ）A．30 B．32 C．34 D．365．已知函数，则下列说法正确的是（       ）A．的最大值为2 B．的最小正周期为C．的图象关于直线对称 D．为奇函数6．2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧，某校教师志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.今欲随机安排甲、乙2位志愿者为1位小学生辅导功课共4次，每位志愿者至少辅导1次，每次由1位志愿者辅导，则甲恰好辅导2次的概率为（       ）A． B． C． D．7．在等比数列中，是关于的方程的两个实根，则（        ）A． B． C． D．8．函数的图象大致为（       ）A． B．C． D．9．已知中，角的对边为，且，，的面积为3，则A． B． C． D．10．棱长为的正四面体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（       ）A． B． C． D．11．已知函数满足和，且在时，，则关于的方程在上解的个数是（       ）A．2 B．3 C．4 D．512．已知P为双曲线上一点，为双曲线C的左、右焦点，若，且直线与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为（       ）A． B． C． D．二、填空题13．在某项测量中，测量结果，若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为______.14．已知,,且,则的取值范围是_____.15．已知平面向量，满足，，则在方向上的投影为______.16．若，则的值为______.三、解答题17．已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）当时，求的值域.18．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，A1D与AD1交于点E，AA1＝AD＝2AB＝4.（1）证明：AE⊥平面ECD．（2）求直线A1C与平面EAC所成角的正弦值.19．已知中，，，，点在上，且.（1）求点的轨迹的方程；（2）若，过点的直线与交于两点，与直线交于点，记，，的斜率分别为，求证：为定值.20．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）人数85205310250130155 （1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把捏认为潜伏期与息者年龄有关； 潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50）  10050岁以下55  总计  200 （3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？附：，其中．0.050.0250.0103.8415.0246.635 21．已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，如果方程有两个不等实根，求实数t的取值范围，并证明.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）曲线与直线交于，两点，若，求的值.23．已知函数.（1）解不等式.（2）若不等式有解，求实数的取值范围.
参考答案：1．C【解析】【详解】因为，所以，故其子集的个数是，应选答案C．2．D【解析】【详解】由题意可得 ：，且：，据此有：.本题选择D选项.3．A【解析】【详解】试题分析：因为与正相关，排除选项C、D，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B；故选A．考点：线性回归直线.4．B【解析】【分析】设等差数列的公差为，先求出，即得的值.【详解】设等差数列的公差为，由题得，，两式相减得.所以.故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5．C【解析】【分析】利用辅助角公式化简后可得 的最值、最小正周期、对称轴方程和奇偶性.【详解】，的最大值为，A错；的最小正周期为，B错；时，，取得最小值，的图象关于直线对称，C对；，不为奇函数，D错，故选：C．【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，考查了正弦函数的最值、周期性、奇偶性与对称性，属于中档题．6．C【解析】根据题意一共有种选择，甲恰好辅导2次有种选择，得到概率.【详解】根据题意：一共有种选择，甲恰好辅导2次有种选择.故.故选：.【点睛】本题考查了古典概率，意在考查学生的计算能力和应用能力.7．B【解析】【分析】结合根与系数关系，根据等比中项满足的性质，计算，代入，计算式子，即可．【详解】是关于x的方程的两实根，所以，由得，所以，即，所以.故选B【点睛】本道题考查了等比中项的性质，关键利用好该性质，计算结果，即可，难度中等．8．A【解析】【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项．【详解】时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足．故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．9．C【解析】【分析】由三角形面积公式可求b,再根据余弦定理可求c.【详解】因为,所以，由 ，可得，根据余弦定理，，所以 ，故选C.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题.10．A【解析】【分析】把正四面体补成正方体，两者的外接球是同一个，求出正方体的棱长，然后求出正方体的对角线长，就是球的直径，即可得到答案．【详解】如图，将正四面体补成正方体，设正方体的棱长为，则.所以正方体的棱长是2，正方体的对角线长为.棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则正方体的八个顶点也在同一球面上，正方体的对角线就是球的直径．则球的半径球的表面积为，故选：A 【点睛】本题主要考查几何体外接球的表面积的计算，解题的关键是求出几何体外接球的半径，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．D【解析】【分析】由题意可得，函数为偶函数，且是周期为2的周期函数，即求函数的图象与函数的图象在，上的交点个数，数形结合可得结论．【详解】由题意可得，函数为偶函数，且是周期为2的周期函数．方程在，上解的个数，即函数的图象与函数的图象在，上的交点个数，再根据当，时，，设.因为，数形结合可得，函数的图象与函数的图象在，内存在两个交点，画出函数在，上的图象，如图，故函数的图象与函数的图象在，上的交点个数为5.（在内有2个，在有1个，在有2个）故选：D．【点睛】本题主要考查函数的单调性、奇偶性的应用，考查函数零点与方程的根的关系，体现了转化以及数形结合的数学思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．12．A【解析】结合直线和圆的位置关系以及双曲线的定义求得的关系式，由此求得双曲线的渐近线方程.【详解】设直线与圆相切于点，则，取线段的中点，连接，由于，则，由于是的中点，所以，则，即有，由双曲线的定义可得，即，即，所以，化简得，所以双曲线的渐近线方程为.故选：A【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于中档题.13．0.8【解析】【分析】根据变量符合正态分布和在内的概率为0.4，由正态分布的对称性可知在内的取值概率也为0.4，根据互斥事件的概率得到要求的区间上的概率．【详解】服从正态分布，在内的概率为0.4，由正态分布的对称性可知在内的取值概率也为0.4，故答案为：0.8【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的基本性质，考查互斥事件的概率公式．14．【解析】【详解】试题分析：，所以当时，取最大值1；当 时，取最小值.因此的取值范围为. 【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了像本题的方法，即转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，即，表示线段，那么的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单.15．【解析】【分析】设的夹角为，化简已知得，即得解.【详解】设的夹角为，由题得所以.所以在方向上的投影为.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算，考查向量在方向上的投影，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．【解析】【分析】令得，1=；再令，化简即得解.【详解】令得，1=；令中得，，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查利用二项式定理求系数和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先化简得到，即得函数的最小正周期；（2）逐步求出的范围，再利用三角函数的图象求出函数的值域.【详解】（1）由题得，所以函数的最小正周期为；（2）由题得，所以，所以.所以函数的值域为.【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）证明AA1⊥CD，CD⊥AD，推出CD⊥平面AA1D1D，得到CD⊥AE.证明AE⊥ED.即可证明AE⊥平面ECD；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解直线A1C与平面EAC所成角的正弦值.【详解】（1）证明：因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是直四棱柱，所以AA1⊥平面ABCD，则AA1⊥CD.又CD⊥AD，AA1∩AD＝A，平面AA1D1D，所以CD⊥平面AA1D1D，所以CD⊥AE.因为AA1⊥AD，AA1＝AD，所以AA1D1D是正方形，所以AE⊥ED.又CD∩ED＝D，平面ECD.所以AE⊥平面ECD.（2）如图，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示的坐标系，A1D与AD1交于点E，AA1＝AD＝2AB＝4.A（0，0，0），A1（0，0，4），C（2，4，0），D（0，4，0），所以E（0，2，2），，，（2，4，﹣4），设平面EAC的法向量为（x，y，z），可得，即，不妨（﹣2，1，-1），所以直线A1C与平面EAC所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查空间直线平面的位置关系的证明，考查空间线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）结合题意，证明到，发现轨迹是椭圆，结合椭圆性质，即可．（2）设出直线MN的方程，代入椭圆方程，设出M，N坐标，利用坐标，计算，代入，即可．【详解】（1）如图三角形中，，所以，所以，所以点的轨迹是以，为焦点，长轴为4的椭圆（不包含实轴的端点），所以点的轨迹的方程为.注：答轨迹为椭圆，但方程错，给3分；不答轨迹，直接写出正确方程，得4分（未写出，这次不另外扣分）.   （2）如图，设，，可设直线方程为，则，由可得，，，，，，，，因为，所以为定值.【点睛】本道题考查了椭圆的性质和直线与椭圆位置关系，难度较大．20．（1）天；（2）列联表见解析，没有95%的把捏认为潜伏期与息者年龄有关.（3）潜伏期超过6天最有可能是8人.【解析】【分析】（1）根据频率直方表求平均值即可.（2）由题设写出列联表，根据卡方检验公式计算卡方值，比照参考值即可知是否有95%的把捏认为潜伏期与息者年龄有关；（3）由题意知潜伏期超过6天的人数，则，应用不等法求最大概率时的k值即可.【详解】（1）天.（2）由题设知：的频率为，的频率为，故200人中潜伏期在上有120人，在上有80人.列联表如下： 潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50）653510050岁以下5545100总计12080200 ∴，故没有95%的把捏认为潜伏期与息者年龄有关.（3）由患者潜伏期超过6天发生的概率，设潜伏期超过6天的人数为，则，∴且，，由题意，，即，化简得，解得，∴，即潜伏期超过6天最有可能是8人.21．（1）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；（2），证明见解析.【解析】（1）求出，对分类讨论，分别求出的解，即可得出结论；（2）由（1）得出有两解时的范围，以及关系，将，等价转化为证明，不妨设，令，则，即证，构造函数，只要证明对于任意恒成立即可.【详解】（1）的定义域为R，且.由，得；由，得.故当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）由（1）知当时，，且.当时，；当时，.当时，直线与的图像有两个交点，实数t的取值范围是.方程有两个不等实根，，，，，，即.要证，只需证，即证，不妨设.令，则，则要证，即证.令，则.令，则，在上单调递增，.，在上单调递增，，即成立，即成立..【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，涉及到函数单调性、极值、零点、不等式证明，构造函数函数是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.22．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将曲线的参数方程消去参数化成普通方程，再利用化成极坐标方程；（2）利用参数的几何意义可得，即可得答案；【详解】解：（1）由题，曲线的参数方程为（为参数），化为普通方程为：，所以曲线的极坐标方程：（2）直线的方程为，的参数方程为（为参数），然后将直线的参数方程代入曲线的普通方程，化简可得：，，所以，，故，解得.【点睛】本题考查普通方程、极坐标方程、参数方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.23．（1）；（2），，．【解析】【分析】（1）求出的分段函数的形式，问题转化为关于的不等式组，解出即可；（2）根据绝对值不等式的性质求出代数式的最小值，得到关于的不等式，解出即可．【详解】（1），或或， 解得：或或无解，综上，不等式的解集是． （2），（当时等号成立） 不等式有解，，，或，即或，实数的取值范围是，，．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.