博野县实验中学2020-2021学年度第二学期期中考试高一数学试卷

博野县实验中学2020-2021学年度第二学期期中考试高一数学试卷

1. 复数，则

A. 7 B. 1 C. 5 D.

2. 在边长为1的等边三角形ABC中，的值为

A. 1 B. 2 C.  D.

3. 平面向量与的夹角为，，，则等于

A.  B.  C. 4 D. 12

4. 在中，已知、、，则BC边的中线AD的长是

A.  B.  C.  D.

5. 在不等边三角形中，a是最大的边，若，则角A的取值范围为

A.  B.  C.  D.

6. 已知复数R在复平面内对应的点在虚轴上，则

A. 或 B. ，且 C.  D. 或

7. 如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①②平面③平面④平面⑤平面其中正确的个数是
    

A.  B.  C.  D.

8. 两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是

A. 7 B. 17 C. 5或12 D. 7或17

9. 圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的

A. 母线长是20 B. 表面积是
C. 高是 D. 体积是

10. 一个正方体纸盒展开后如下图，在原正方体纸盒中有下列结论：

①②AB与CM成的角;③EF与MN是异面直线;④

其中正确的是
 

A. ① B. ② C. ③ D. ④

11. 如图，在▱OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且，若，其中m，，则
     

A.  B.  C.  D.

12. 在中，a，b，c为三个内角A，B，C的对边，若，则角

A.  B.  C.  D.

13. 中，，，则__________.
14. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为1cm，2cm，高为，则该圆台的母线长为__________.
15. 如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路线的长是__________。
    
    
     

16. 如图，AB，CD分别表示甲、乙两楼，，，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C处的仰角，测得乙楼底部D处的俯角，已知甲楼高，则乙楼高__________

17. 如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，若，试以，表示和
     

18. 已知向量，
    若，求k的值;
    若，求
    
    
    
    
    
    
     
19. 为绘制海底地貌图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得，，，，A，B两点的距离为海里.
    求的面积;
    求C，D 之间的距离.
     

20. 如图，在正方体中，S是的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点.
    求证：直线平面
    平面平面
    
    
     

21. 已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A是锐角，且
    求
    若，的面积为，求a的值.
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知某圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，球O内切于该圆锥.
    求该圆锥的高;
    求内切球O的体积.
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查复数的模与共轭复数，是基础题.
求出共轭复数，然后求模长

【解答】

解：因为，
所以，则，

故答案选： C

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查利用向量的数量积求向量的模，是基础题.
对平方再开根号即可求出模长.

【解答】

解：

故选 D

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的模的运算，考查向量的数量积，属于基础题.
根据向量的数量积公式得，又，代入已知条件即可求出答案.

【解答】

解：，，
，，
 

故答案选：

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查中点坐标公式、向量的坐标表示以及向量的模.
利用中点坐标公式求出D点坐标，求出向量的坐标，然后由向量的模长公式即可求解.

【解答】

解：由题意得 BC中点为，
则，

答案

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了余弦定理，属于基础题.
由得，然后利用余弦定理即可求解，再根据不等边三角形中，a是最大的边即可求解.

【解答】

解：，，，
是最大的边，是最大的角．
又三角形不是等边三角形，，

故选

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查复数的几何意义，是基础题.
根据题意可得复数z的实部为0，虚部不为0，列方程求解即可.

【解答】
由题意，得，得或，

且，即，，
故，
故选

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查线面平行的判定定理及运用，考查直线与平面的位置关系，属于基础题．
通过直线与平面平行的判定定理，即可判断①②③正确；由线面的位置关系，即可得到直线与平面相交，故④⑤错误．

【解答】

解：由题意知，OM是的中位线，，故①正确;
平面PCD，平面PCD，平面PCD，故②正确;
同理可得平面PDA，故③正确;
OM与平面PBA和平面PBC都相交，故④⑤不正确.
故共有3个结论正确.
故选

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了两个平行平面间的距离计算问题，易错点在于只考虑一种情况，从而漏解，属于中档题.
根据球的半径和两个截面圆的面积求出球心到两截面的距离，再分析出两个截面所存在的位置分别求出两个平行平面间的距离．

【解答】

解：由题意，得两截面圆的半径分别为5，12，
则球心到两截面的距离分别为，，
如图①所示，若两个平行平面在球心同侧，则；
如图②所示，若两个平行平面在球心两侧，则

故答案为

9.【答案】ABD
 

【解析】

【分析】

本题考查圆台的几何性质，表面积与体积，是基础题.
根据底面半径与展开图圆心角求得母线长与高，求得表面积与体积.

【解答】

解：如图所示，

设圆台的上底面周长为C，因为扇环的圆心角为，所以，
又，所以，同理，
故圆台的母线，
高，
体积，
表面积，
故选

10.【答案】AC
 

【解析】

【分析】

本题考查正方体的几何性质，线线的位置关系，本题涉及到了直线间的几个常见位置关系如平行、垂直、异面，属于中档题．
将其还原成正方体，如图所示，依据图形、正方体的几何性质进行判断各线的位置关系．

【解答】

解：将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图，
 

由图知，，EF与MN是异面直线，，，只有①③正确.
故选

11.【答案】ABC
 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的线性运算问题，解题时应熟知平面向量的三角形合成法则，是中档题目．
由平面向量的线性运算得：，，，由此求得m，n的值即可．

【解答】

解：在平行四边形中，，，
因为E是AC中点，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以
，解得，
所以，，，
故选A、B、

12.【答案】BD
 

【解析】

【分析】

本题考察利用余弦定理解三角形，是基础题.
利用余弦定理与同角三角函数关系进行化简，求得B的正弦值，求出B角，注意不要漏掉解.

【解答】

解：根据余弦定理可知
，则或
故选

13.【答案】 6
 

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理，是基础题.
利用正弦定理化简即可.

【解答】

解：设的外接圆半径为 R，则
则
故答案为

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆台的结构特征是解答的关键．属于基础题.
根据圆台的上、下底面半径和高，求出圆台的母线长，可得答案.

【解答】

解：圆台的上、下底面半径分别为1cm，2cm，高为，圆台的轴截面是等腰梯形，该圆台的母线长即为等腰梯形的腰长：
故答案为
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

将圆柱侧面展开得到一个矩形，根据两点之间线段最短，求出对角线长即可．属于基础题.
此题考查了圆柱的侧面展开图和勾股定理，需要同学们有一定的空间思维能力．

【解答】

解：把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成平面图形矩形，
如图所示，连接，则即为蚂蚁爬行的最短距离.
，且，

蚂蚁爬行的最短路线的长为

16.【答案】 32
 

【解析】

【分析】

本题考查了三角形边角关系的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题.
根据题意结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出乙楼高度．

【解答】

解：如图，，垂足为E，则，

在中，，所以
故答案为
 

17.【答案】解：

 

【解析】考查用基底表示平面向量与向量的加减、数乘运算，属于基础题.
结合图像以，表示和即可.
 

18.【答案】解：因为向量，，，所以，
解得
若，则，解得或
因此或，
因此
或
 

【解析】本题考查向量垂直与平行的坐标表示，是基础题.
利用向量垂直的坐标表示求出对应的k；
利用向量平行的坐标表示求出对应的k，进而求出或，进而运用向量模的公式求解.
 

19.【答案】解：在中，
，由正弦定理可得，，，
则的面积平方海里
， ，
，
在中，由余弦定理得，，
即海里
 

【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理和解三角形的应用，属于中档题.
由正弦定理得，得，
由题意得，得，在中，由余弦定理即可得出结果.
 

20.【答案】证明：如图，连接SB，，G分别是BC，SC的中点，
又平面，平面
直线平面
连接SD，，G分别是DC，SC的中点，
又平面，平面，
平面
又平面，且平面EFG，平面EFG，，
平面平面

 

【解析】本题考查直线与平面平行的证明，平面与平面平行的证明，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题.
连接SB，由已知得，由此能证明直线平面；
连接SD，由已知得，从而平面，又直线平面，由此能证明平面平面
 

21.【答案】解：，由正弦定理得：，
，，又A为锐角，
由三角形面积公式得：，
由余弦定理得：，

 

【解析】本题考查正弦定理与余弦定理的综合应用，是基础题.
利用正弦定理化简即可求得
利用三角形面积公式求出bc，进而运用余弦定理求a的值.
 

22.【答案】解：作出该圆锥的轴截面如图所示：

依题意，，解得，
故，，
即该圆锥的高为
依题意，∽，
故，
设，则，
故，则，
故内切球O的体积
 

【解析】本题考查圆锥的内切球的体积求法，圆锥的高的求法，是中档题.
作出该圆锥的轴截面为等边三角形ABC，求解BC，然后求解圆锥的高．
通过，设，求出R，然后求解圆锥的内切球体积即可．