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第六章 重点突破训练：概率初步重点问题举例-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练（北师大版）
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第六章 重点突破训练：概率初步重点问题举例
典例体系（本专题38题24页）
考点1：求事件的频率
典例：（2020·湖北利川初三学业考试）已知，投掷一枚均匀的硬币，落地时正面或反面向上的可能性相同．有甲、乙两人做投硬币实验，他们分别投硬币100次，结果“正面向上”的次数为：甲60次、乙40次．
(1)求甲、乙做投硬币实验“正面向上”的频率各是多少？
(2)若甲、乙同时做第101次投硬币实验，求“正面都向上”的概率．
【答案】（1）甲的频率，乙的频率；（2）
【解析】解：（1）甲的频率=，
乙的频率=．
（2）两人同时投硬币实验一次，结果向上的有正正，正反，反正，反反4种，其中正面都向上的1种，所以P（正面都向上）．
方法或规律点拨
（1）本题考查了频率的计算，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握频率的计算公式．
（2）本题考查了概率的意义和计算，解决本题的关键将出现的结果的可能性都要列出．
巩固练习
1．（2020·贵州紫云初三期末）小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了60次实验，实验的结果如下：
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
7
9
6
8
20
10
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率．
（2）小颖说：“根据实验，一次实验中出现5点朝上的概率最大”；小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次”，小颖和小红的说法正确吗？为什么？
（3）小颖和小红各投掷一枚骰子，用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率．
【答案】（1）0.1；（2）小颖的说法是错误的，理由见解析（3）列表见详解；
【解析】解：（1）“3点朝上”的频率：6÷60=0.1
“5点朝上”的频率：20÷60=．
（2）小颖的说法是错误的，因为“5点朝上”的频率最大并不能说明5点朝上的概率最大，频率不等于概率；
小红的说法是错误的，因为事件发生具有随机性，故“点朝上”的次数不一定是100次．
（3）列表如下：
共有36种情况，点数之和为3的倍数的情况有12种．
故P（点数之和为3的倍数）==．
2．（2020·陕西富平初一期末）某批乒乓球的质量检验结果如下：
抽取的乒乓球数
50
100
150
200
350
400
450
500
优等品的频数
40
96
126
176
322
364
405
450
优等品的频率
0.80
0.96
0.84
0.92
0.90
（1）求的值；
（2）在图中画出这批乒乓球优等品频率的折线统计图；
（3）根据上表，在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是多少？
【答案】（1）a=0.88，b=0.91，c=0.9；（2）见解析；（3）0.9
【解析】解：（1），，；
（2）如图所示：
（3）由图知，当抽取的数量逐渐增多时，优等品的频率越稳定在0.9左右，
因此在这批乒乓球中任取一个，它是优等品的概率大约为0.9．
3．（2020·河南郏县初一期末）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购买元以上的商品就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪个区域就可以获得相应的奖品．如表所示是活动进行中的一组数据：
转动转盘的次数
落在“铅笔”区域的次数
落在“铅笔”区域的频率
（1）计算并完成表格：
（2）请估计很大时，频率将会接近多少？
（3）假如你去转动转盘一次，你获得洗衣粉的概率大约是多少？
（4）在该转盘中，标有铅笔区域的扇形圆心角大约是多少？（精确到）
【答案】（1）；；；；；；（2）；（3）；（4）
【解析】解：（1）
故答案为：；；；；；；
（2）由实验可得：当很大时，频率将会接近；
（3）由很大时，获得铅笔的频率将会接近；所以实验获得“洗衣粉”的概率约是；
（4）铅笔区域的扇形的圆心角的度数约为．
4．（2020·重庆南岸初一期末）疫情之后，各大商家为吸引顾客，纷纷采用多种促销手段．其中一个商场设立了一个购物满50元，可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在那个区域就可以得到相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数
100
200
500
1000
1500
2000
落在“抽纸”的次数
51
99
251
502
750
1002
落在“抽纸”的频率
（1）完成上表；
（2）请估计，当很大时，频率是多少？
（3）假如你去转动转盘一次，你获得“抽纸”的概率是多少？
【答案】（1）从左到右依次为0.51，0.495，0.502，0.502，0.5，0.501；（2）指针停止时指向“抽纸”的频率为0.5；（3）获得“抽纸”的概率为0.5．
【解析】解：（1）表格中的数据，从左到右依次为51÷100=0.51，99÷200=0.495，251÷500=0.502，502÷1000=0.502，750÷1500=0.5，1002÷2000=0.501.
（2）当转动转盘的次数很大时，指针停止时指向“抽纸”的频率为0.5；
（3）由（2）可知，获得“抽纸”的概率为0.5.
5．（2020·江苏赣榆初二期中）一粒木质中国象棋子“帅”，它的正面雕刻一个“帅”字，它的反面是平滑的．将它从定高度下掷，落地反弹后可能是“帅”字面朝上，也可能是“帅”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“帅”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如表：
试验次数
20
40
60
80
100
120
140
160
“帅”字面朝上频数
a
18
38
47
52
66
78
88
相应频率
0.7
0.45
0.63
0.59
0.52
0.55
0.56
b
（1）表中数据a＝ ；b＝ ；
（2）画出“帅”字面朝上的频率分布折线图；
（3）如图实验数据，实验继续进行下去，根据上表的这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？
【答案】（1）14，0.55；（2）图见解析；（3）0.55．
【解析】（1）a＝20×0.7＝14；b＝＝0.55；
故答案为：14，0.55；
（2）根据图表给出的数据画折线统计图如下：
（3）随着试验次数的增加“帅”字面朝上的频率逐渐稳定在0.55左右，利用这个频率来估计概率，得P（“帅”字朝上）＝0.55．
6．（2020·陕西中考真题）小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．
（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；
（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】解：（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，这10次中摸出红球的频率＝＝；
（2）画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的有2种情况，
∴两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率＝＝.
7．（2020·江苏江都初二期中）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球的次数m
23
31
60
130
203
251
摸到黑球的频率
0.23
0.21
0.30
0.26
0.253
（1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ；（精确到0.01）
（2）估算袋中白球的个数．
【答案】（1）0.25；（2）3个．
【解析】解：（1）251÷1000＝0.251；
∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近，
∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25；
（2）设袋中白球为x个，
＝0.25，解得x＝3．
答：估计袋中有3个白球，
故答案为：（1）0.25；（2）3个．
8．（2020·福建清流初一期末）在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共40只，这些球除颜色外其余完全相同，为了估计红球和黑球的个数，七（4）班的数学学习小组做了摸球实验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据：
摸球的次数
50
100
300
500
800
1000
2000
摸到红球的次数
14
95
155
241
298
602
摸到红球的概率
0.28
0.33
0.317
0.31
0.301
0.301
（1）求数据表中 ，
（2）请估计：当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近 (精确到0．1)
（3）试估算盒子里红球的数量为 个．
【答案】（1）；（2）0.3；（3）12
【解析】解：（1）a=100×0.33=33，b=298÷1000=0.298；
故答案为：33，0.298；
（2）当次数n足够大时，摸到红球的频率将会接近0.3，
故答案为：0.3；
（3）40×0.3=12（个），
答：盒子里红球的数量为12个；
故答案为：12．
考点3：用频率估计概率的综合应用
典例：（2020·泰兴市马甸初级中学初三二模）在一个不透明的袋子中装有除颜色外都相同的红球和黄球，两种颜色的球一共有10个，每次摸出其中一个球，记下颜色后，放回搅匀．一个同学进行了反复试验，下面是做该试验获得的数据．
（1）a= ，画出摸到红球的频率的折线统计图；
（2）从这个袋子中任意摸一个球，摸到黄球的概率估计值是多少？（精确到0.1）
（3）怎样改变袋中红球或黄球的个数，可以使得任意摸一次，摸到两种颜色球的概率相等？（写出一种方案即可）
【答案】（1）；（2）约为0.7；（3）添加4个红球或拿掉4个黄球（答案不唯一）
【解析】解：（1）348÷1200=0.29，即；
摸到红球的频率的折线统计图如图所示：
（2）由题意得：摸到红球概率的估计值为0.3，所以摸到黄球的概率估计值=1－0.3=0.7；
（3）由于袋子中有红球3个，黄球7个，可设添加x个红球，则，解得：x=4；
或设拿走y个黄球，则，解得：y=4．
所以添加4个红球或拿掉4个黄球（答案不唯一），可以使得任意摸一次，摸到两种颜色球的概率相等．
方法或规律点拨
此题考查了列表法或树状图法求概率．注意随机掷两次骰子，最后落回到圈A，需要两次和是4的倍数．
巩固练习
1．（2020·河北初三二模）为了能够帮助武汉疫情，某公司通过武汉市慈善总会二维码给武汉捐款，根据捐款情况制成不完整的扇形统计图（图1）、条形统计图（图2）．
图1 图2
（1）根据以上信息可知参加捐款总人数为______，______，捐款金额中位数为______，请补全条形统计图；
（2）若从捐款的人中，随机选一人代表公司去其它公司做捐款宣传，求选中捐款不低于元的人的概率；
（3）若其它公司有几人参与了捐款活动，把新捐款数与原捐款数合并成一组新数据，发现众数发生改变，请求出至少有几人参与捐款．
【答案】（1）50，32，150，条形统计图见解析；（2）；（3）4人．
【解析】解：（1）捐款总人数为；
捐款为100元人数为所占百分比为，
∴m=32；
本次捐款共50人参加，按捐款数从低到高排序，第25、26个数为150,150，
故中位数为，
补全条形统计图如下：
；
（2）；
（3）至少人参与捐款．
原数据众数为元，
若至少增加人，每人捐款元，
则新众数为元和元，
至少增加人．
2．（2020·福建泉州初三月考）随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯．由此催生了一批外卖点餐平台，已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该平台只给5千米范围内配送），为调査送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取80名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如下表：
送餐距离x（千米）
0x1
1x2
2x3
3x4
4x5
数量
12
20
24
16
8
（1）从这80名点外卖的用户中任取一名用户，该用户的送餐距离不超过3千米的概率为 ；
（2）以这80名用户送餐距离为样本，同一组数据取该小组数据的中间值（例如第二小组（1＜x ≤2）的中间值是1.5），试估计利用该平台点外卖用户的平均送餐距离；
（3）若该外卖平台给送餐员的送餐费用与送餐距离有关，不超过2千米时，每份3元；超过2千米但不超4千米时，每份5元；超过4千米时，每份9元． 以给这80名用户所需送餐费用的平均数为依据，若送餐员一天的目标收入不低于150元，试估计一天至少要送多少份外卖？
【答案】（1）；（2）估计利用该平台点外卖用户的平均送餐距离为2.35千米；（3）估计一天至少要送33份外卖．
【解析】（1）由表中数据，计算所求的概率为P=；
故答案为：；
（2）估计利用该平台点外卖用户的平均送餐距离为：
×（12×0.5+20×1.5+24×2.5+16×3.5+8×4.5）=2.35（千米）；
（3）送一份外卖的平均收入为：3×+5+9×=（元），
由150÷≈32.6，
所以估计一天至少要送33份外卖．
3．（2020·云南昆明初三月考）在一个不透明的盒中有m个黑球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.75左右，则m的值应是_______________；
（2）在（1）的条件下，用m个黑球和1个白球进行摸球游戏．先从盒中随机摸取一个球，再从剩下的球中再随机摸取一个球，求事件“先摸到黑球，再摸到白球”的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．
【答案】（1）3；（2）图见解析；
【解析】解：（1）：根据题意得=0.75，解得：m=3
经检验：m=3是分式方程的解m=3
故答案为3；
（2）画树状图如下：
从树状图可知，“先从盒子中随机取出一个球，再从剩下的球中再随机摸取一个球”共12种可能的结果，其中“先摸到黑球，再摸到白球”的结果有3种
∴P（先摸到黑球，再摸到白球）=．
4．（2020·福建省泉州第一中学初三其他）甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪80元，每销售一件产品提成1元；乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超过45件的部分每件提成8元，
(1)请将两家公司各一名推销员的日工资y(单位：元)分别表示为日销售件数n的函数关系式；
(2)从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进行统计，得到如下条形图、若记甲公司该推销员的日工资为y1，乙公司该推销员的日工资为y2(单位：元)，将该频率视为概率，请回答下面问题：
某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．
【答案】（1）甲公司：y＝80＋n；乙公司：y＝；（2）选择去乙公司，理由见详解．
【解析】解：（1）由题意得，甲公司一名推销员的日工资y（单位：元）与销售件数n的关系式为：
y＝80＋n；
乙公司一名推销员的日工资y（单位：元）与销售件数n的关系式为：y=
即y＝；
（2）由频数分布直方图和甲公司日工资的函数关系式得
y1=（80+42）×＋（80+44）×＋（80+46）×＋（80+48）×＋（80+50）×
=122×＋124×＋126×＋128×＋130×
＝125（元）
由频数分布直方和乙公司日工资的函数关系式得
y2=120×+120×＋（8×46-240）×＋（8×48-240）×＋（8×50-240）×
=120×+120×＋128×＋144×＋160×
＝136（元），
∴仅从日均收入的角度考虑，选择去乙公司．
5．（2020·山东长清初一期末）如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD ，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个半径为1 m的圆后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似看成点），记录如下：
（1）当投掷的次数很大时，m：n的值越来越接近_________；
（2）若以小石子所落的有效区域里的次数为总数（即m＋n ），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率稳定在_________附近；
（3）如果你掷一次小石子（小石子投进封闭图形ABCD内），那么小石子落在圆内（含圆上）的概率约为_______；
（4）请你利用（2）中所得频率，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米（结果保留π）．
【答案】（1）0.5；（2）；（3）；（4），详见解析
【解析】解：（1）∵
∴m：n的值越来越接近；
（2）观察表格得：随着投随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率稳定在；
（3）由（1）m：n的值越来越接近可得：m：n=1：2
∴
∴小石子落在圆内（含圆上）的概率约为；
（4）∵
∴
∴
∴封闭图形面积为．
6．（2020·福建晋江初三学业考试）新冠肺炎疫情期间，为了减少外出聚集，“线上购物”受追捧．某电商平台在地区随机抽取了100位居民进行调研，获得了他们每个人近七天“线上购物”消费总金额（单位：元），整理得到如图所示频率统计表．
消费总金额
频率
0.11
0.24
0.2
0.1
0.04
0.01
（1）求的值，并求从“线上购物”消费总金额不低于500元的被调研居民的概率；
（2）若地区有100万居民，该平台为了促进消费，拟对消费总金额不超过平均水平一半的居民投放每人10元的电子补贴．假设每组中的数据用该组区间的2中点值代替，试根据上述频率统计表，估计该平台在地区拟投放的电子补贴总金额．
【答案】（1），0.05；（2）182万元
【解析】解：（1）由，得，
从“线上购物”消费总金额不低于500元的概率为
（2）根据题意，消费总金额平均水平：
（元），
估计不超过平均水平一半的概率为
所以估计投放电子补贴总金额为万元．
7．（2020·深圳市龙岗区龙岗街道新梓学校初一期中）在不透明箱里放有红、白、黄、蓝四种颜色球共16个，除颜色外都相同，其中白球5个，黄球4个．
（1）小军和小颖为争一个竞赛的名额，决定用摸球的方式来确定，从不透明箱里随机摸出1个球，是白球就小军去，是黄球，就小颖去．请问这个规则是否公平？并通过计算概率说明理由．
（2）现每次从箱中任意摸出一个球记下颜色，再放回箱中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到蓝球的频率稳定在25%，那么箱里大约有多少个红球？
【答案】（1）不公平；P（白球）=，P（黄球）= （2）3个
【解析】（1）∵有白球5个，黄球4个，总球数共16个，
∴摸到白球和黄球的概率分别为：P（白球）=，P（黄球）=，
∵＞，
∴这个规则不公平；
（2）16×（1---25%）=16×=3（个），
故箱里大约有3个红球．
8．（2020·浙江台州�初三其他）甲乙两人依次测量同一圆柱体工件的横截面直径（单位：），测得的数据分别如表1、表2．
表1：甲的测量数据
测量数据
9.8
9.9
10
10.1
10.3
频数
1
3
3
2
1
表2：乙的测量数据
测量数据
9.7
9.8
10
10.1
10.3
频数
1
2
3
2
2
（1）如果在这些测量数据中选择一个数据作为工件直径的估计值，应该是那个数据？请说明理由.
（2）如果甲再测量一次，求他测量出的数据恰好是估计值的概率；
（3）请直接判断甲乙两人谁的测量技术更好______（填甲或乙），你选择的统计量是_______．
【答案】（1）应该是10，理由见解析；（2）；（3）甲，方差．
【解析】解：(1)我选择10作为估算值，理由如下：
甲测量的数据的平均值为： ，
乙测量的数据的平均值为：，
甲乙测量数据的平均值都是10，
故我选择10作为工件直径的估计值；
(2)根据表一的数据，得到甲测量到10的频率为： ，
故用频率估算概率，得到甲再测量一次，求他测量出的数据恰好是估计值的概率为 ；
(3)甲测量技术好，理由如下：
甲测量数据的方差为：
甲测量数据的方差为：
因此甲的方差小于乙的方差，故甲测量的数据比较稳定，
故我觉得甲测量技术更好；
故答案为：甲，方差；
考点4：几何图形与概率
典例：（2020·福建宁德初一期末）为了缓解疫情对消费的冲击，某商场设置两种方案给顾客发放代金券，每位顾客均有一次获得代金券的机会．方案一：在一个装有 5 个红球、7 个黄球、8 个蓝球的不透明箱子中，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，摸到红球获得代金券；方案二：在如图所示的长方形转盘 ABCD 中，AC，BD 交于点 O，OA = OB = OC = OD ，△AOB 是等边三角形，任意转动指针 1 次，当指针停止转动时，指针指向区域①获得代金券．
（1）小明选择方案一，求他获得代金券的概率；
（2）你认为选择哪种方案更合算，并说明理由．
【答案】（1）；（2）方案二，理由见解析.
【解析】解：（1）若小明选择方案一，
则他获得代金券的概率为=；
（2）若选择方案二，
在矩形ABCD中，O为对角线交点，△AOB 是等边三角形，
则∠AOB=∠COD=60°，∠BOC=∠AOD=120°，
则指针指向区域①的概率为=，
故方案二更合算.
方法或规律点拨
本题考查了概率的求法，以及矩形和等边三角形的性质，解题的关键是利用图形的性质得到相应角的度数.
巩固练习
1．（2020·广西初三一模）汉代数学家赵爽在注解（周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边分别是2和3．现随机向该图形内掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内（非阴影区域）的概率为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】解：∵两直角边分别是2和3，
∴斜边即大正方形的边长为，小正方形边长为1，
∴S大正方形＝13，S小正方形＝1，
∴飞镖落在小正方形内（非阴影区域）的概率为；
故选D．
2．（2020·江苏昆山初三二模）如图所示的正方形网格，若向该网格中进行随机投掷飞镖试验，则飞镖扎在阴影区域（顶点均在格点上）的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵大正方形的面积=3×3=9，
阴影部分的面积=大正方形的面积-4个小直角三角形的面积，
∴阴影部分的面积占总面积的，
∴飞镖落在阴影区域（顶点都在格点上）的概率为．
故选：A．
3．（2020·深圳市龙岗区龙岗街道新梓学校初一期中）假如小猫在如图所示的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上，它最终停留在黑色方砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】观察这个图可知：黑色区域（4块）的面积占总面积（16块）的，故其概率为．
故选B．
4．（2020·内蒙古扎鲁特旗初三月考）下列图形：任取一个是中心对称图形的概率是 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】本题考查概率的计算和中心对称图形的概念,根据中心对称图形的概念可以判定①③④是中心对称图形,4个图形任取一个是中心对称的图形的概率为P=,因此本题正确选项是C.
5．（2020·盘锦市双台子区第一中学初三月考）一个游戏转盘上有红、黄、蓝三种颜色，其中红、黄、蓝所在区域的扇形圆心角度数分别为60°，90°，210°．则指针落在黄色区域的概率是_____．
【答案】．
【解析】解：∵黄扇形区域的圆心角为90°，
所以黄区域所占的面积比例为，
即指针停在黄区域的概率是，
故答案为：．
6．（2020·河北初三二模）如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是_____．
【答案】
【解析】解：黑色区域的面积＝3×3﹣×3×1﹣×2×2﹣×3×1＝4，
∴击中黑色区域的概率＝＝．
故答案是：．
7．（2020·辽宁沈河初一期末）如图，一个转盘被分成6等分，自由转动转盘一次，停止后，指针落在阴影区域的概率是_____．
【答案】
【解析】解：由图可知自由转动转盘一次，停止后，指针落在阴影区域的概率是＝，
故答案为：．
8．（2020·北京海淀北理工附中初三其他）如图所示，边长为的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为_______．
【答案】
【解析】解：正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率，
，
又∵S正方形=4，
∴S阴影=，
故答案为： ．
9．（2020·江苏秦淮初二期末）转动如图的转盘（转盘中各个扇形的面积都相等），当它停止转动时，指针指向标有数字______的区域的可能性最小．
【答案】2
【解析】解：根据转盘可知，圆面被等分成8份，“1”占了3份，
∴指针指向“1”的概率为：；
“2”占了2份，
∴指针指向“2”的概率为：；
“3”占了3份，
∴指针指向“3”的概率为：．
∵＜，
∴指针指向“2”的可能性最小，
故答案为：2．
10．（2020·辽宁新抚初三其他）如图，在正方形网格中，、在格点上，在网格的其它格点上任取一点，能使为直角三角形的概率是__________．
【答案】
【解析】令小正方形的边长为1，则，
如图，以AB为斜边时，易得△ABC，△ABD为直角三角形，
以AB为直角边时，
∵，，，
∴，
∴△ABE为直角三角形，
同理可得△ABF与△ABG为直角三角形，
∵在网格上任取一点C能构成△ABC的点有23个，
∴能使△ABC为直角三角形的概率是．
考点5：已知概率求个数
典例：（2020·江苏省泰兴市济川中学初二期中）一个不透明的袋子中装有1个白球、3个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．
(1) 从中任意摸出1个球，摸到 球的可能性大．
(2) 若现拿红球和黄球共7个球放入袋中，你认为怎样放才能让摸到红球和黄球的可能性相同？(直接回答，无需解题过程)
(3) 若从中摸出5个球，其中有个黄球，当= 时，“摸到白球”是必然事件?
【答案】(1)黄； (2)5个红球，2个黄球； (3)1．
【解析】解：（1）∵摸出白球的概率为，
摸出红球的概率为，
摸出黄球的概率为，
∴摸出黄球的可能性大，
故答案为：黄；
（2）∵摸到红球和黄球的可能性相同，
∴红球和黄球个数要相同，即各8个，
∴放入5个红球，2个黄球；
（3）根据题意可知，当摸到所有的白色球和红色球时，“摸到白球”是必然事件，
∴x＝5－1－3＝1，
故答案为：1．
方法或规律点拨
本题主要考查一元二次方程的应用，解答本题的关键在于利用图形得出平行于墙的一边长为（32-2x+2）米．
巩固练习
1．（2020·广东龙岗仙田外国语学校初一期中）在一个不透明的布袋中装有60个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.6左右，则布袋中黑球的个数可能有（ ）
A．24 B．36 C．40 D．90
【答案】D
【解析】设袋中有黑球x个，由题意得：=0.6，解得：x=90，
经检验，x=90是分式方程的解，
则布袋中黑球的个数可能有90个．故选D．
2．（2020·辽宁辽阳初三其他）在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中有红球5个，黄球4个，其余为白球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的概率为，则袋子中白球的个数为（ ）
A．12 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【解析】解：设袋子中球的总数为x个，
根据题意可得=，
解得x=12，
∴白球的个数为：12-5-4=3（个），
故选：D．
3．（2020·河南淮阳初三期末）在一个不透明的袋子中只装有n个白球和2个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是，那么n的值为___．
【答案】4．
【解析】根据题意得，
解得n＝4，
经检验：n＝4是分式方程的解，
故答案为：4．
4．（2020·广西初三二模）在一个不透明的袋中有2个红球，若干个白球，它们除颜色外其它都相同，若随机从袋中摸出一个球，摸到红球的概率是，则袋中有白球_________个.
【答案】6
【解析】解：设袋中有x个球.
根据题意得，
解得x=8（个），
8-2=6个，
∴袋中有8个白球.
故答案为：6.
5．（2020·辽宁铁东初三三模）在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有3个红球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则白球的个数约为_________个．
【答案】9
【解析】设白球的个数约为a，根据题意得，
解得：a＝9，
经检验：a＝9是分式方程的解，
故答案为：9．
第六章 重点突破训练：概率初步重点问题举例
典例体系（本专题38题24页）
考点1：求事件的频率
典例：（2020·湖北利川初三学业考试）已知，投掷一枚均匀的硬币，落地时正面或反面向上的可能性相同．有甲、乙两人做投硬币实验，他们分别投硬币100次，结果“正面向上”的次数为：甲60次、乙40次．
(1)求甲、乙做投硬币实验“正面向上”的频率各是多少？
(2)若甲、乙同时做第101次投硬币实验，求“正面都向上”的概率．
【答案】（1）甲的频率，乙的频率；（2）
【解析】解：（1）甲的频率=，
乙的频率=．
（2）两人同时投硬币实验一次，结果向上的有正正，正反，反正，反反4种，其中正面都向上的1种，所以P（正面都向上）．
方法或规律点拨
（1）本题考查了频率的计算，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握频率的计算公式．
（2）本题考查了概率的意义和计算，解决本题的关键将出现的结果的可能性都要列出．
巩固练习
1．（2020·贵州紫云初三期末）小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了60次实验，实验的结果如下：
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
7
9
6
8
20
10
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率．
（2）小颖说：“根据实验，一次实验中出现5点朝上的概率最大”；小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次”，小颖和小红的说法正确吗？为什么？
（3）小颖和小红各投掷一枚骰子，用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率．
【答案】（1）0.1；（2）小颖的说法是错误的，理由见解析（3）列表见详解；
【解析】解：（1）“3点朝上”的频率：6÷60=0.1
“5点朝上”的频率：20÷60=．
（2）小颖的说法是错误的，因为“5点朝上”的频率最大并不能说明5点朝上的概率最大，频率不等于概率；
小红的说法是错误的，因为事件发生具有随机性，故“点朝上”的次数不一定是100次．
（3）列表如下：
共有36种情况，点数之和为3的倍数的情况有12种．
故P（点数之和为3的倍数）==．
2．（2020·陕西富平初一期末）某批乒乓球的质量检验结果如下：
抽取的乒乓球数
50
100
150
200
350
400
450
500
优等品的频数
40
96
126
176
322
364
405
450
优等品的频率
0.80
0.96
0.84
0.92
0.90
（1）求的值；
（2）在图中画出这批乒乓球优等品频率的折线统计图；
（3）根据上表，在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是多少？
【答案】（1）a=0.88，b=0.91，c=0.9；（2）见解析；（3）0.9
【解析】解：（1），，；
（2）如图所示：
（3）由图知，当抽取的数量逐渐增多时，优等品的频率越稳定在0.9左右，
因此在这批乒乓球中任取一个，它是优等品的概率大约为0.9．
3．（2020·河南郏县初一期末）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购买元以上的商品就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪个区域就可以获得相应的奖品．如表所示是活动进行中的一组数据：
转动转盘的次数
落在“铅笔”区域的次数
落在“铅笔”区域的频率
（1）计算并完成表格：
（2）请估计很大时，频率将会接近多少？
（3）假如你去转动转盘一次，你获得洗衣粉的概率大约是多少？
（4）在该转盘中，标有铅笔区域的扇形圆心角大约是多少？（精确到）
【答案】（1）；；；；；；（2）；（3）；（4）
【解析】解：（1）
故答案为：；；；；；；
（2）由实验可得：当很大时，频率将会接近；
（3）由很大时，获得铅笔的频率将会接近；所以实验获得“洗衣粉”的概率约是；
（4）铅笔区域的扇形的圆心角的度数约为．
4．（2020·重庆南岸初一期末）疫情之后，各大商家为吸引顾客，纷纷采用多种促销手段．其中一个商场设立了一个购物满50元，可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在那个区域就可以得到相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数
100
200
500
1000
1500
2000
落在“抽纸”的次数
51
99
251
502
750
1002
落在“抽纸”的频率
（1）完成上表；
（2）请估计，当很大时，频率是多少？
（3）假如你去转动转盘一次，你获得“抽纸”的概率是多少？
【答案】（1）从左到右依次为0.51，0.495，0.502，0.502，0.5，0.501；（2）指针停止时指向“抽纸”的频率为0.5；（3）获得“抽纸”的概率为0.5．
【解析】解：（1）表格中的数据，从左到右依次为51÷100=0.51，99÷200=0.495，251÷500=0.502，502÷1000=0.502，750÷1500=0.5，1002÷2000=0.501.
（2）当转动转盘的次数很大时，指针停止时指向“抽纸”的频率为0.5；
（3）由（2）可知，获得“抽纸”的概率为0.5.
5．（2020·江苏赣榆初二期中）一粒木质中国象棋子“帅”，它的正面雕刻一个“帅”字，它的反面是平滑的．将它从定高度下掷，落地反弹后可能是“帅”字面朝上，也可能是“帅”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“帅”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如表：
试验次数
20
40
60
80
100
120
140
160
“帅”字面朝上频数
a
18
38
47
52
66
78
88
相应频率
0.7
0.45
0.63
0.59
0.52
0.55
0.56
b
（1）表中数据a＝ ；b＝ ；
（2）画出“帅”字面朝上的频率分布折线图；
（3）如图实验数据，实验继续进行下去，根据上表的这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？
【答案】（1）14，0.55；（2）图见解析；（3）0.55．
【解析】（1）a＝20×0.7＝14；b＝＝0.55；
故答案为：14，0.55；
（2）根据图表给出的数据画折线统计图如下：
（3）随着试验次数的增加“帅”字面朝上的频率逐渐稳定在0.55左右，利用这个频率来估计概率，得P（“帅”字朝上）＝0.55．
6．（2020·陕西中考真题）小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．
（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；
（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】解：（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，这10次中摸出红球的频率＝＝；
（2）画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的有2种情况，
∴两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率＝＝.
7．（2020·江苏江都初二期中）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球的次数m
23
31
60
130
203
251
摸到黑球的频率
0.23
0.21
0.30
0.26
0.253
（1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ；（精确到0.01）
（2）估算袋中白球的个数．
【答案】（1）0.25；（2）3个．
【解析】解：（1）251÷1000＝0.251；
∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近，
∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25；
（2）设袋中白球为x个，
＝0.25，解得x＝3．
答：估计袋中有3个白球，
故答案为：（1）0.25；（2）3个．
8．（2020·福建清流初一期末）在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共40只，这些球除颜色外其余完全相同，为了估计红球和黑球的个数，七（4）班的数学学习小组做了摸球实验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据：
摸球的次数
50
100
300
500
800
1000
2000
摸到红球的次数
14
95
155
241
298
602
摸到红球的概率
0.28
0.33
0.317
0.31
0.301
0.301
（1）求数据表中 ，
（2）请估计：当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近 (精确到0．1)
（3）试估算盒子里红球的数量为 个．
【答案】（1）；（2）0.3；（3）12
【解析】解：（1）a=100×0.33=33，b=298÷1000=0.298；
故答案为：33，0.298；
（2）当次数n足够大时，摸到红球的频率将会接近0.3，
故答案为：0.3；
（3）40×0.3=12（个），
答：盒子里红球的数量为12个；
故答案为：12．
考点3：用频率估计概率的综合应用
典例：（2020·泰兴市马甸初级中学初三二模）在一个不透明的袋子中装有除颜色外都相同的红球和黄球，两种颜色的球一共有10个，每次摸出其中一个球，记下颜色后，放回搅匀．一个同学进行了反复试验，下面是做该试验获得的数据．
（1）a= ，画出摸到红球的频率的折线统计图；
（2）从这个袋子中任意摸一个球，摸到黄球的概率估计值是多少？（精确到0.1）
（3）怎样改变袋中红球或黄球的个数，可以使得任意摸一次，摸到两种颜色球的概率相等？（写出一种方案即可）
【答案】（1）；（2）约为0.7；（3）添加4个红球或拿掉4个黄球（答案不唯一）
【解析】解：（1）348÷1200=0.29，即；
摸到红球的频率的折线统计图如图所示：
（2）由题意得：摸到红球概率的估计值为0.3，所以摸到黄球的概率估计值=1－0.3=0.7；
（3）由于袋子中有红球3个，黄球7个，可设添加x个红球，则，解得：x=4；
或设拿走y个黄球，则，解得：y=4．
所以添加4个红球或拿掉4个黄球（答案不唯一），可以使得任意摸一次，摸到两种颜色球的概率相等．
方法或规律点拨
此题考查了列表法或树状图法求概率．注意随机掷两次骰子，最后落回到圈A，需要两次和是4的倍数．
巩固练习
1．（2020·河北初三二模）为了能够帮助武汉疫情，某公司通过武汉市慈善总会二维码给武汉捐款，根据捐款情况制成不完整的扇形统计图（图1）、条形统计图（图2）．
图1 图2
（1）根据以上信息可知参加捐款总人数为______，______，捐款金额中位数为______，请补全条形统计图；
（2）若从捐款的人中，随机选一人代表公司去其它公司做捐款宣传，求选中捐款不低于元的人的概率；
（3）若其它公司有几人参与了捐款活动，把新捐款数与原捐款数合并成一组新数据，发现众数发生改变，请求出至少有几人参与捐款．
【答案】（1）50，32，150，条形统计图见解析；（2）；（3）4人．
【解析】解：（1）捐款总人数为；
捐款为100元人数为所占百分比为，
∴m=32；
本次捐款共50人参加，按捐款数从低到高排序，第25、26个数为150,150，
故中位数为，
补全条形统计图如下：
；
（2）；
（3）至少人参与捐款．
原数据众数为元，
若至少增加人，每人捐款元，
则新众数为元和元，
至少增加人．
2．（2020·福建泉州初三月考）随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯．由此催生了一批外卖点餐平台，已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该平台只给5千米范围内配送），为调査送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取80名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如下表：
送餐距离x（千米）
0x1
1x2
2x3
3x4
4x5
数量
12
20
24
16
8
（1）从这80名点外卖的用户中任取一名用户，该用户的送餐距离不超过3千米的概率为 ；
（2）以这80名用户送餐距离为样本，同一组数据取该小组数据的中间值（例如第二小组（1＜x ≤2）的中间值是1.5），试估计利用该平台点外卖用户的平均送餐距离；
（3）若该外卖平台给送餐员的送餐费用与送餐距离有关，不超过2千米时，每份3元；超过2千米但不超4千米时，每份5元；超过4千米时，每份9元． 以给这80名用户所需送餐费用的平均数为依据，若送餐员一天的目标收入不低于150元，试估计一天至少要送多少份外卖？
【答案】（1）；（2）估计利用该平台点外卖用户的平均送餐距离为2.35千米；（3）估计一天至少要送33份外卖．
【解析】（1）由表中数据，计算所求的概率为P=；
故答案为：；
（2）估计利用该平台点外卖用户的平均送餐距离为：
×（12×0.5+20×1.5+24×2.5+16×3.5+8×4.5）=2.35（千米）；
（3）送一份外卖的平均收入为：3×+5+9×=（元），
由150÷≈32.6，
所以估计一天至少要送33份外卖．
3．（2020·云南昆明初三月考）在一个不透明的盒中有m个黑球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.75左右，则m的值应是_______________；
（2）在（1）的条件下，用m个黑球和1个白球进行摸球游戏．先从盒中随机摸取一个球，再从剩下的球中再随机摸取一个球，求事件“先摸到黑球，再摸到白球”的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．
【答案】（1）3；（2）图见解析；
【解析】解：（1）：根据题意得=0.75，解得：m=3
经检验：m=3是分式方程的解m=3
故答案为3；
（2）画树状图如下：
从树状图可知，“先从盒子中随机取出一个球，再从剩下的球中再随机摸取一个球”共12种可能的结果，其中“先摸到黑球，再摸到白球”的结果有3种
∴P（先摸到黑球，再摸到白球）=．
4．（2020·福建省泉州第一中学初三其他）甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪80元，每销售一件产品提成1元；乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超过45件的部分每件提成8元，
(1)请将两家公司各一名推销员的日工资y(单位：元)分别表示为日销售件数n的函数关系式；
(2)从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进行统计，得到如下条形图、若记甲公司该推销员的日工资为y1，乙公司该推销员的日工资为y2(单位：元)，将该频率视为概率，请回答下面问题：
某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．
【答案】（1）甲公司：y＝80＋n；乙公司：y＝；（2）选择去乙公司，理由见详解．
【解析】解：（1）由题意得，甲公司一名推销员的日工资y（单位：元）与销售件数n的关系式为：
y＝80＋n；
乙公司一名推销员的日工资y（单位：元）与销售件数n的关系式为：y=
即y＝；
（2）由频数分布直方图和甲公司日工资的函数关系式得
y1=（80+42）×＋（80+44）×＋（80+46）×＋（80+48）×＋（80+50）×
=122×＋124×＋126×＋128×＋130×
＝125（元）
由频数分布直方和乙公司日工资的函数关系式得
y2=120×+120×＋（8×46-240）×＋（8×48-240）×＋（8×50-240）×
=120×+120×＋128×＋144×＋160×
＝136（元），
∴仅从日均收入的角度考虑，选择去乙公司．
5．（2020·山东长清初一期末）如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD ，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个半径为1 m的圆后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似看成点），记录如下：
（1）当投掷的次数很大时，m：n的值越来越接近_________；
（2）若以小石子所落的有效区域里的次数为总数（即m＋n ），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率稳定在_________附近；
（3）如果你掷一次小石子（小石子投进封闭图形ABCD内），那么小石子落在圆内（含圆上）的概率约为_______；
（4）请你利用（2）中所得频率，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米（结果保留π）．
【答案】（1）0.5；（2）；（3）；（4），详见解析
【解析】解：（1）∵
∴m：n的值越来越接近；
（2）观察表格得：随着投随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率稳定在；
（3）由（1）m：n的值越来越接近可得：m：n=1：2
∴
∴小石子落在圆内（含圆上）的概率约为；
（4）∵
∴
∴
∴封闭图形面积为．
6．（2020·福建晋江初三学业考试）新冠肺炎疫情期间，为了减少外出聚集，“线上购物”受追捧．某电商平台在地区随机抽取了100位居民进行调研，获得了他们每个人近七天“线上购物”消费总金额（单位：元），整理得到如图所示频率统计表．
消费总金额
频率
0.11
0.24
0.2
0.1
0.04
0.01
（1）求的值，并求从“线上购物”消费总金额不低于500元的被调研居民的概率；
（2）若地区有100万居民，该平台为了促进消费，拟对消费总金额不超过平均水平一半的居民投放每人10元的电子补贴．假设每组中的数据用该组区间的2中点值代替，试根据上述频率统计表，估计该平台在地区拟投放的电子补贴总金额．
【答案】（1），0.05；（2）182万元
【解析】解：（1）由，得，
从“线上购物”消费总金额不低于500元的概率为
（2）根据题意，消费总金额平均水平：
（元），
估计不超过平均水平一半的概率为
所以估计投放电子补贴总金额为万元．
7．（2020·深圳市龙岗区龙岗街道新梓学校初一期中）在不透明箱里放有红、白、黄、蓝四种颜色球共16个，除颜色外都相同，其中白球5个，黄球4个．
（1）小军和小颖为争一个竞赛的名额，决定用摸球的方式来确定，从不透明箱里随机摸出1个球，是白球就小军去，是黄球，就小颖去．请问这个规则是否公平？并通过计算概率说明理由．
（2）现每次从箱中任意摸出一个球记下颜色，再放回箱中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到蓝球的频率稳定在25%，那么箱里大约有多少个红球？
【答案】（1）不公平；P（白球）=，P（黄球）= （2）3个
【解析】（1）∵有白球5个，黄球4个，总球数共16个，
∴摸到白球和黄球的概率分别为：P（白球）=，P（黄球）=，
∵＞，
∴这个规则不公平；
（2）16×（1---25%）=16×=3（个），
故箱里大约有3个红球．
8．（2020·浙江台州�初三其他）甲乙两人依次测量同一圆柱体工件的横截面直径（单位：），测得的数据分别如表1、表2．
表1：甲的测量数据
测量数据
9.8
9.9
10
10.1
10.3
频数
1
3
3
2
1
表2：乙的测量数据
测量数据
9.7
9.8
10
10.1
10.3
频数
1
2
3
2
2
（1）如果在这些测量数据中选择一个数据作为工件直径的估计值，应该是那个数据？请说明理由.
（2）如果甲再测量一次，求他测量出的数据恰好是估计值的概率；
（3）请直接判断甲乙两人谁的测量技术更好______（填甲或乙），你选择的统计量是_______．
【答案】（1）应该是10，理由见解析；（2）；（3）甲，方差．
【解析】解：(1)我选择10作为估算值，理由如下：
甲测量的数据的平均值为： ，
乙测量的数据的平均值为：，
甲乙测量数据的平均值都是10，
故我选择10作为工件直径的估计值；
(2)根据表一的数据，得到甲测量到10的频率为： ，
故用频率估算概率，得到甲再测量一次，求他测量出的数据恰好是估计值的概率为 ；
(3)甲测量技术好，理由如下：
甲测量数据的方差为：
甲测量数据的方差为：
因此甲的方差小于乙的方差，故甲测量的数据比较稳定，
故我觉得甲测量技术更好；
故答案为：甲，方差；
考点4：几何图形与概率
典例：（2020·福建宁德初一期末）为了缓解疫情对消费的冲击，某商场设置两种方案给顾客发放代金券，每位顾客均有一次获得代金券的机会．方案一：在一个装有 5 个红球、7 个黄球、8 个蓝球的不透明箱子中，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，摸到红球获得代金券；方案二：在如图所示的长方形转盘 ABCD 中，AC，BD 交于点 O，OA = OB = OC = OD ，△AOB 是等边三角形，任意转动指针 1 次，当指针停止转动时，指针指向区域①获得代金券．
（1）小明选择方案一，求他获得代金券的概率；
（2）你认为选择哪种方案更合算，并说明理由．
【答案】（1）；（2）方案二，理由见解析.
【解析】解：（1）若小明选择方案一，
则他获得代金券的概率为=；
（2）若选择方案二，
在矩形ABCD中，O为对角线交点，△AOB 是等边三角形，
则∠AOB=∠COD=60°，∠BOC=∠AOD=120°，
则指针指向区域①的概率为=，
故方案二更合算.
方法或规律点拨
本题考查了概率的求法，以及矩形和等边三角形的性质，解题的关键是利用图形的性质得到相应角的度数.
巩固练习
1．（2020·广西初三一模）汉代数学家赵爽在注解（周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边分别是2和3．现随机向该图形内掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内（非阴影区域）的概率为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】解：∵两直角边分别是2和3，
∴斜边即大正方形的边长为，小正方形边长为1，
∴S大正方形＝13，S小正方形＝1，
∴飞镖落在小正方形内（非阴影区域）的概率为；
故选D．
2．（2020·江苏昆山初三二模）如图所示的正方形网格，若向该网格中进行随机投掷飞镖试验，则飞镖扎在阴影区域（顶点均在格点上）的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵大正方形的面积=3×3=9，
阴影部分的面积=大正方形的面积-4个小直角三角形的面积，
∴阴影部分的面积占总面积的，
∴飞镖落在阴影区域（顶点都在格点上）的概率为．
故选：A．
3．（2020·深圳市龙岗区龙岗街道新梓学校初一期中）假如小猫在如图所示的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上，它最终停留在黑色方砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】观察这个图可知：黑色区域（4块）的面积占总面积（16块）的，故其概率为．
故选B．
4．（2020·内蒙古扎鲁特旗初三月考）下列图形：任取一个是中心对称图形的概率是 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】本题考查概率的计算和中心对称图形的概念,根据中心对称图形的概念可以判定①③④是中心对称图形,4个图形任取一个是中心对称的图形的概率为P=,因此本题正确选项是C.
5．（2020·盘锦市双台子区第一中学初三月考）一个游戏转盘上有红、黄、蓝三种颜色，其中红、黄、蓝所在区域的扇形圆心角度数分别为60°，90°，210°．则指针落在黄色区域的概率是_____．
【答案】．
【解析】解：∵黄扇形区域的圆心角为90°，
所以黄区域所占的面积比例为，
即指针停在黄区域的概率是，
故答案为：．
6．（2020·河北初三二模）如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是_____．
【答案】
【解析】解：黑色区域的面积＝3×3﹣×3×1﹣×2×2﹣×3×1＝4，
∴击中黑色区域的概率＝＝．
故答案是：．
7．（2020·辽宁沈河初一期末）如图，一个转盘被分成6等分，自由转动转盘一次，停止后，指针落在阴影区域的概率是_____．
【答案】
【解析】解：由图可知自由转动转盘一次，停止后，指针落在阴影区域的概率是＝，
故答案为：．
8．（2020·北京海淀北理工附中初三其他）如图所示，边长为的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为_______．
【答案】
【解析】解：正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率，
，
又∵S正方形=4，
∴S阴影=，
故答案为： ．
9．（2020·江苏秦淮初二期末）转动如图的转盘（转盘中各个扇形的面积都相等），当它停止转动时，指针指向标有数字______的区域的可能性最小．
【答案】2
【解析】解：根据转盘可知，圆面被等分成8份，“1”占了3份，
∴指针指向“1”的概率为：；
“2”占了2份，
∴指针指向“2”的概率为：；
“3”占了3份，
∴指针指向“3”的概率为：．
∵＜，
∴指针指向“2”的可能性最小，
故答案为：2．
10．（2020·辽宁新抚初三其他）如图，在正方形网格中，、在格点上，在网格的其它格点上任取一点，能使为直角三角形的概率是__________．
【答案】
【解析】令小正方形的边长为1，则，
如图，以AB为斜边时，易得△ABC，△ABD为直角三角形，
以AB为直角边时，
∵，，，
∴，
∴△ABE为直角三角形，
同理可得△ABF与△ABG为直角三角形，
∵在网格上任取一点C能构成△ABC的点有23个，
∴能使△ABC为直角三角形的概率是．
考点5：已知概率求个数
典例：（2020·江苏省泰兴市济川中学初二期中）一个不透明的袋子中装有1个白球、3个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．
(1) 从中任意摸出1个球，摸到 球的可能性大．
(2) 若现拿红球和黄球共7个球放入袋中，你认为怎样放才能让摸到红球和黄球的可能性相同？(直接回答，无需解题过程)
(3) 若从中摸出5个球，其中有个黄球，当= 时，“摸到白球”是必然事件?
【答案】(1)黄； (2)5个红球，2个黄球； (3)1．
【解析】解：（1）∵摸出白球的概率为，
摸出红球的概率为，
摸出黄球的概率为，
∴摸出黄球的可能性大，
故答案为：黄；
（2）∵摸到红球和黄球的可能性相同，
∴红球和黄球个数要相同，即各8个，
∴放入5个红球，2个黄球；
（3）根据题意可知，当摸到所有的白色球和红色球时，“摸到白球”是必然事件，
∴x＝5－1－3＝1，
故答案为：1．
方法或规律点拨
本题主要考查一元二次方程的应用，解答本题的关键在于利用图形得出平行于墙的一边长为（32-2x+2）米．
巩固练习
1．（2020·广东龙岗仙田外国语学校初一期中）在一个不透明的布袋中装有60个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.6左右，则布袋中黑球的个数可能有（ ）
A．24 B．36 C．40 D．90
【答案】D
【解析】设袋中有黑球x个，由题意得：=0.6，解得：x=90，
经检验，x=90是分式方程的解，
则布袋中黑球的个数可能有90个．故选D．
2．（2020·辽宁辽阳初三其他）在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中有红球5个，黄球4个，其余为白球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的概率为，则袋子中白球的个数为（ ）
A．12 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【解析】解：设袋子中球的总数为x个，
根据题意可得=，
解得x=12，
∴白球的个数为：12-5-4=3（个），
故选：D．
3．（2020·河南淮阳初三期末）在一个不透明的袋子中只装有n个白球和2个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是，那么n的值为___．
【答案】4．
【解析】根据题意得，
解得n＝4，
经检验：n＝4是分式方程的解，
故答案为：4．
4．（2020·广西初三二模）在一个不透明的袋中有2个红球，若干个白球，它们除颜色外其它都相同，若随机从袋中摸出一个球，摸到红球的概率是，则袋中有白球_________个.
【答案】6
【解析】解：设袋中有x个球.
根据题意得，
解得x=8（个），
8-2=6个，
∴袋中有8个白球.
故答案为：6.
5．（2020·辽宁铁东初三三模）在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有3个红球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则白球的个数约为_________个．
【答案】9
【解析】设白球的个数约为a，根据题意得，
解得：a＝9，
经检验：a＝9是分式方程的解，
故答案为：9．
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