第三篇第1讲解客观题的六种方法 2022版高考数学复习讲义



第三篇　考场技巧·思想引领
第1讲　解客观题的六种方法
数学客观题，包括单项选择题、多项选择题与填空题三个题型，共占80分，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．其中选择题要充分利用题干和选项两方面提供的信息，尽量缩短解题时间，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．
题型特点
常用方法
(1)知识面广，切入点多，综合性较强；
(2)概念性强，灵活性大，技巧性较强；
(3)立意新颖，构思精巧，迷惑性较强．
解题的原则是“小”题“巧”解，“小”题“快”解，主要分直接法和间接法两大类．具体的方法有：直接法、特例法、数形结合法、排除法、构造法和估算法等．
直接法
直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的方法．
【典例1】(1)(2021·佛山二模)复数的虚部为(　　)
A．－1 B．1 C．－i D．i
【解析】选B.＝＝＝i，故其虚部为1.
(2)(2021·烟台二模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C的右支上，AF1与C交于点B，若F2A·F2B＝0，且|F2A|＝|F2B|，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选B.由F2A·F2B＝0且|F2A|＝|F2B|知：
△ABF2为等腰直角三角形且∠AF2B＝、∠BAF2＝，即|AB|＝|F2A|＝|F2B|，
因为
所以|AB|＝4a，故|F2A|＝|F2B|＝2a，
则|F1A|＝2(＋1)a，
而在△AF1F2中，|F1F2|2＝|F2A|2＋|F1A|2－
2|F2A||F1A|cos ∠BAF2，
所以4c2＝8a2＋4(3＋2)a2－8(＋1)a2，则c2＝3a2，
故e＝＝.
　
直接法的使用范围及注意事项
(1)涉及概念、性质的辨析或简单的运算题目多采用直接法；
(2)在计算过程中，要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解选择题、填空题的关键．
　
(多选题)已知双曲线C：－＝1的离心率为，F1，F2分别为C的左右焦点，点P在C上，且＝6，则(　　)
A．b＝7 B．＝10
C．＝ D．∠F1PF2＝
【解析】选BCD.由题意有＝，
可得b＝3，可知选项A不正确，而c＝＝7，
因为c＝7>|PF2|＝6，所以点P在C的右支上，由双曲线的定义有：
|PF1|－|PF2|＝|PF1|－6＝2a＝4，解得|PF1|＝10，故选项B正确，
在△PF1F2中，有cos ∠POF1＋cos ∠POF2＝＋＝0，
解得|OP|＝，
cos ∠F1PF2＝＝－，
所以∠F1PF2＝，故选项C，D正确．
特例法
从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特殊位置，进行判断．特例法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可以使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．
【典例2】(1)在矩形ABCD中，其中AB＝3，AD＝1，AB上的点E满足＋2＝0，F为AD上任意一点，则·＝(　　)
A．1 B．3
C．－1 D．－3
【解析】选D.(直接法)如图，

因为＋2＝0，
所以＝，
设＝λ， 则＝＋λ＝－＋λ，
所以·＝·(－＋λ)
＝－||2＋λ·＝－3＋0＝－3.
(特例法)该题中，“F为AD上任意一点”，且选项均为定值，不妨取点A为F.
因为＋2＝0，
所以＝.
故·＝·(－)＝－2
＝－×32＝－3.
(2)在△ABC中，内角A，B，C成等差数列，则sin2A＋sin2C－sinA sin C＝________．
【解析】(方法一：直接法)由内角A，B，C成等差数列，知：2B＝A＋C，而A＋B＋C＝π，
所以B＝，而由余弦定理知：
b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac，
结合正弦定理得：
sin2B＝sin2A＋sin2C－sinA sin C＝.
(方法二：特例法)该题中只有“内角A，B，C成等差数列”的限制条件，故可取特殊的三角形——等边三角形代入求值．
不妨取A＝B＝C＝，
则sin2A＋sin2C－sinA sin C＝sin2＋sin2－sinsin ＝.
(也可以取A＝，B＝，C＝代入求值．)
答案：
　
特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：
第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；
第二，若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．

　设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于(　　)
A．20 B．15
C．9 D．6
【解析】选C.若四边形ABCD为矩形，建系如图，由＝3，＝2，知M(6，3)，N(4，4)，所以＝(6，3)，＝(2，－1)，所以·＝6×2＋3×(－1)＝9.

数形结合法
对于一些含有几何背景的问题，往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断解决相应的问题．如Veen图、三角函数线、函数图象以及方程的曲线等，都是常用的图形．
【典例3】已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　)
A．1 B．2
C． D．
【解析】选C.如图，设＝a，＝b，

则||＝||＝1，⊥，
设＝c，
则a－c＝，b－c＝，
(a－c)·(b－c)＝0，即·＝0.
所以⊥.
点C在以AB为直径的圆上，圆的直径长是||＝，|c|＝||，
||的最大值是圆的直径，长为.
　
数形结合法解题技巧
正确把握各种式子中的变量与几何图形之间的对应关系，利用几何图形的直观性及相关结论求解结果．

1．设直线l：3x＋2y－6＝0，P(m，n)为直线l上动点，则(m－1)2＋n2的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选A.(m－1)2＋n2表示点P(m，n)到点A(1，0)距离的平方，

该距离的最小值为点A(1，0)到直线l的距离，即＝，
则(m－1)2＋n2的最小值为.
2．(2021·河南联考)已知函数f(x)＝若f(x)的图象上有且仅有2个不同的点关于直线y＝－的对称点在直线kx－y－3＝0上，则实数k的取值是________．
【解析】直线kx－y－3＝0关于直线y＝－对称的直线l的方程为kx＋y＝0，对应的函数为y＝－kx，其图象与函数y＝f(x)的图象有2个交点．
对于一次函数y＝－kx，当x＝0时，y＝0，由f(x)≠0知不符合题意．
当x≠0时，令－kx＝f(x)，可得－k＝，此时，
令g(x)＝＝
当x>0时，g(x)为增函数，g(x)∈R，
当x0)，
当x>e时h′(x)0，ln x0＝1－x0，

所以x0＝1，此时1＝e1－a，所以a＝1，
当a>1时，可看作g(x)＝ex－1－1的图象向右平移，此时g(x)与h(x)必有2个交点，当a1.
方法二(分离参数)：由题意，方程ex－a－－1＝0有两个不同的解，
即e－a＝有两个不同的解，
所以直线y＝e－a与g(x)＝的图象有两个交点．
g′(x)＝
＝.
记h(x)＝ln x＋x－1.显然该函数在(0，＋∞)上单调递增，且h(1)＝0，
所以00，
即g′(x)0)，
则p′(x)＝(x＋1)ex(x>0)，
显然p′(x)>0，所以p(x)单调递增，
所以t＝p(x)>p(0)＝0.
记q(t)＝(t>0)，则q′(t)＝.
当0e时，q′(t)