高考数学考前必备第一层级基础小题练习题

 第二篇高效复习　分层设计(攻关篇)第一层级　基础小题练通(自主检测——全面得分)[编排设计]专项1　集合与常用逻辑用语命|题|分|析高考对本部分内容的考查主要是集合间的基本关系和运算、充分条件与必要条件、含有量词的命题的真假判断以及含有一个量词的命题的否定，多数与函数、不等式、复数等知识相结合，难度一般，属于送分题，故复习时不必做过多的探究，只要掌握以下知识点，就能保证不失分，得满分。练基础　自主悟通题组对点练考点一  集合1.(2021·银川市质量检测)已知集合A＝{0,1,2,3,4}，集合B＝{x|≤1}，则A∩B＝(　　)A．{2}　　　B．{3}  C．{2,3}　　D．{2,3,4}解析　由≤1，得0≤3－x≤1，解得2≤x≤3，所以B＝{x|2≤x≤3}。又A＝{0,1,2,3,4}，所以A∩B＝{2,3}。故选C。答案　C2．已知集合A＝{0,1,2,4}，B＝{x|x＝2n，n∈A}，则A∩B＝(　　)A．{1,2}　　B．{1,4}  C．{2,4}　　D．{1,2,4}解析　由题意，得B＝{1,2,4,16}，所以A∩B＝{1,2,4}。故选D。答案　D3．已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x－4)<0}，B＝{x|log2(x－1)<2}，则A∩(∁UB)＝(　　)A．{x|1<x<4}  B．{x|0<x≤1}C．{x|0<x<4}  D．∅解析　A＝{x|x(x－4)<0}＝{x|0<x<4}，B＝{x|log2(x－1)<2}＝{x|0<x－1<4}＝{x|1<x<5}，故∁UB＝{x|x≤1或x≥5}，所以A∩＝{x|0<x≤1}。故选B。答案　B4．已知集合A＝{x|y＝ln(x－1)}，B＝{x|y＝}，则(　　)A．A＝B   B．A⊆BC．A∩B＝∅   D．A∪B＝R解析　由题意知集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|x≥1}，所以A⊆B。答案　B5．若集合A，B，U满足：ABU，则U＝(　　)A．A∪(∁UB)   B．B∪(∁UA)C．A∩(∁UB)   D．B∩(∁UA)解析　由题意，ABU，作出Venn图如图所示，所以B∪()＝U。故选B。答案　B6．某班有50名学生，在A，B，C三门选修课中每人至少选一门，有部分学生选两门，没有人三门都选。若该班18人没选A,24人没选B,16人没选C，则该班选两门课的学生人数是________。解析　设有x人同时选A和C，有y人同时选A和B，有z人同时选B和C，由该班18人没选A,24人没选B,16人没选C，可得有(32－x－y)人只选A，(26－y－z)人只选B，(34－x－z)人只选C，所以(32－x－y)＋(26－y－z)＋(34－x－z)＋x＋y＋z＝50，解得x＋y＋z＝42，故该班选两门课的学生人数为42。答案　427．已知集合A＝[1，＋∞)，B＝，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是________；若A∩B＝B，则实数a的取值范围是________。解析　若A∩B≠∅，则解得a≥1。若A∩B＝B，则B⊆A。当B＝∅时，a>2a－1，即a<；当B≠∅时，解得a≥2，即a的取值范围是∪[2，＋∞)。答案　[1，＋∞)　∪[2，＋∞)在进行集合运算时，要尽可能地利用数形结合的思想使抽象问题直观化。(1)用列举法表示的集合进行交、并、补的运算，常采用Venn图法解决，此时要搞清Venn图中的各部分区域表示的实际意义。(2)用描述法表示的数集进行运算，常采用数轴分析法解决，此时要注意“端点”能否取到。(3)若给定的集合是点集，画出图象，采用数形结合法求解。  考点二  常用逻辑用语1.已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则(　　)A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0解析　因为3x>0，所以3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，所以p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0。答案　B2．(2021·东北三校联考)命题p：∀x∈R，x3＋3x>0，则綈p是(　　)A．∃x0∈R，x＋3x0≥0   B．∃x0∈R，x＋3x0≤0C．∀x∈R，x3＋3x≥0   D．∀x∈R，x3＋3x≤0解析　全称命题的否定是特称命题，命题p：∀x∈R，x3＋3x>0是全称命题，所以綈p：∃x0∈R，x＋3x0≤0。故选B。答案　B3．设x∈R，则“x>1”是“x2＋1≥2x”的(　　)A．充要条件   B．充分不必要条件C．必要不充分条件   D．既不充分也不必要条件解析　由x2＋1≥2x得x∈R，所以“x>1”是“x2＋1≥2x”的充分不必要条件。故选B。答案　B4．(2021·南昌市一模)已知角α是△ABC的一个内角，则“sin α＝”是“cos α＝”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析　因为角α是△ABC的一个内角，所以α∈(0，π)。由sin α＝可得α＝或α＝，此时cos α＝±。由cos α＝可得α＝，此时sin α＝。所以“sin α＝”是“cos α＝”的必要不充分条件。故选B。答案　B5．已知命题p：函数f(x)＝1－loga(x－2)(a>0，a≠1)的图象恒过点(2,1)；命题q：若定义在R上的函数g(x－1)为偶函数，则函数g(x)的图象关于直线x＝1对称。则下列命题是真命题的是(　　)A．p∧q   B．p∨qC．(綈p)∧(綈q)   D．p∧(綈q)解析　对于命题p：因为y＝loga(x－2)(a>0，a≠1)的图象过定点(3,0)，所以函数f(x)＝1－loga(x－2)(a>0，a≠1)的图象恒过点(3,1)，故p为假命题，綈p为真命题。对于命题q：定义在R上的函数g(x－1)为偶函数，则函数g(x－1)的图象的对称轴为直线x＝0，而将函数g(x－1)的图象向左平移1个单位长度得到g(x)的图象，所以g(x)的图象关于直线x＝－1对称，故q为假命题，綈q为真命题。综上可知，p∧q，p∨q，p∧(綈q)为假命题，(綈p)∧(綈q)为真命题，所以A，B，D均错误，C正确。故选C。答案　C6．(2021·沈阳市质量监测)若“∃x∈，2x2－λx－1<0”是假命题，则实数λ的取值范围为________。解析　若“∃x∈，2x2－λx－1<0”是假命题，则“∀x∈，2x2－λx－1≥0”是真命题，分离参数得λ≤＝2x－。因为y＝2x－在上单调递增，所以ymin＝2×－＝－1，所以λ≤－1。答案　(－∞，－1]7．若“(x－a)(x－a＋2)≤0”是“1≤x≤2”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________。解析　由(x－a)(x－a＋2)≤0得，a－2≤x≤a。根据“(x－a)(x－a＋2)≤0”是“1≤x≤2”的必要不充分条件，可知[1,2][a－2，a]，所以且这两个不等式中的“等号”不能同时取到，解得2≤a≤3。故所求实数a的取值范围是[2,3]。答案　[2,3]8．设有下列三个命题：①过空间中任意三点有且仅有一个平面。②若空间两条直线不相交，则这两条直线平行。③若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l。则上述命题中所有真命题的序号是________。解析　对于①，当A，B，C三点不共线时，过A，B，C三点有且仅有一个平面；当A，B，C三点共线时，过A，B，C的平面有无数个，所以①是假命题。对于②，若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以②是假命题。对于③，若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l，所以③是真命题。综上可知，真命题的序号是③。答案　③(1)充分条件与必要条件的三种判定方法定义法正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件) 集合法利用集合间的包含关系，例如p：A，q：B，若A⊆B，则p是q的充分条件(q是p的必要条件)；若A＝B，则p是q的充要条件等价法将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题(2)全称命题、特称(存在性)命题及其否定①全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为特称(存在性)命题：綈p：∃x0∈M，綈p(x0)。②特称(存在性)命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题：綈p：∀x∈M，綈p(x)。 练真题　明确考向回 味 高 考1．(2021·新高考全国Ⅰ卷)设集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝(　　)A．{2}   B．{2,3}C．{3,4}   D．{2,3,4}解析　因为A＝{x|－2<x<4}，B＝{2,3,4,5}，所以A∩B＝{2,3}。故选B。答案　B 2．(2021·全国甲卷)设集合M＝{x|0<x<4}，N＝，则M∩N＝(　　)A．   B. C.{x|4≤x<5}   D.{x|0<x≤5}解析　M∩N＝。答案　B3．(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝(　　)A．∅　　　 B．S  C．T　 　　 D．Z解析　解法一：在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以T∩S＝T。故选C。解法二：S＝{…，－3，－1,1,3,5，…}，T＝{…，－3,1,5，…}，观察可知，T⊆S，所以T∩S＝T。故选C。答案　C4．(2020·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　)A．2　　　　B．3  C．4　　　　D．6解析　由题意得，A∩B＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，所以A∩B中元素的个数为4。故选C。答案　C5．(2021·全国乙卷)已知命题p：∃x∈R，sin x<1，命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是(　　)A．p∧q   B．綈p∧qC．p∧綈q   D．綈(p∧q)解析　由正弦函数的图象及性质可知，存在x∈R，使得sin x<1，所以命题p为真命题。对任意的x∈R，均有e|x|≥e0＝1成立，故命题q为真命题，所以命题p∧q为真命题。故选A。答案　A6．(2021·浙江高考)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析　由a·c＝b·c，可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件。故选B。答案　B专项练通(一)　集合与常用逻辑用语　一、选择题1．已知集合A＝{y|y＝ln(x－1)}，B＝{x|x2－4≤0}，则A∩B＝(　　)A．{x|x≥－2} B．{x|1<x<2}C．{x|1<x≤2} D．{x|－2≤x≤2}解析　因为函数y＝ln(x－1)的值域为R，所以A＝R，又集合B＝[－2,2]，所以A∩B＝B＝[－2,2]。答案　D2．设命题p：所有正方形都是平行四边形，则綈p为(　　)A．所有正方形都不是平行四边形B．有的平行四边形不是正方形C．有的正方形不是平行四边形D．不是正方形的四边形不是平行四边形解析　全称命题的否定为特称命题，即“有的正方形不是平行四边形”。故选C。答案　C3．已知集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x＝n2－1，n∈A}，P＝A∩B，则P的子集共有(　　)A．2个 B．4个C．6个 D．8个解析　因为B＝{x|x＝n2－1，n∈A}＝{－1,0,3,8}，所以P＝A∩B＝{0,3}，所以P的子集共有22＝4(个)。故选B。答案　B4．(2021·西安五校联考)某班有50名学生，其中有45名学生喜欢乒乓球或羽毛球，32名学生喜欢乒乓球，26名学生喜欢羽毛球，则该班既喜欢乒乓球又喜欢羽毛球的学生数占该班学生总数的比例是(　　)A．38% B．26%C．19% D．15%解析　由题意可知，该班既喜欢乒乓球又喜欢羽毛球的学生数为32＋26－45＝13，故其占该班学生总数的比例为×100%＝26%。故选B。答案　B5．(2021·广州市综合测试)“a>b＋1”是“2a>2b”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析　若a>b＋1，则2a>2b＋1>2b，即2a>2b成立；若2a>2b，则a>b，但当1>a>b>0时，a<b＋1，所以“a>b＋1”是“2a>2b”的充分不必要条件。故选A。答案　A6．已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|0<x<c}，若A∪B＝B，则c的取值范围是(　　)A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,2] D．[2，＋∞)解析　因为A∪B＝B，所以A⊆B。又A＝{x|log2x<1}＝{x|0<x<2}，B＝{x|0<x<c}，所以c≥2，即c的取值范围是[2，＋∞)。答案　D7．已知命题p：∀x∈R，ex＋e－x≥2，命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0＝。则下列判断正确的是(　　)A．p∧q是真命题 B．(綈p)∧(綈q)是真命题C．p∧(綈q)是真命题 D．(綈p)∧q是真命题解析　因为∀x∈R，ex>0，e－x>0恒成立，所以ex＋e－x≥2＝2，当且仅当x＝0时，等号成立，故p为真命题；因为当x>0时，2x>1恒成立，所以q为假命题。则p∧(綈q)是真命题。故选C。答案　C8．已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0，命题q：“x3>8”是“|x|>2”的充要条件。则下列命题为真命题的是(　　)A．p∧q B．(綈p)∨qC．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)解析　由x>0，得x＋1>1，可得ln(x＋1)>0在(0，＋∞)上恒成立，故命题p为真命题；由x3>8得x>2，可得|x|>2，充分性成立，但当|x|>2，如x＝－3时，不能得出x3>8，必要性不成立，故命题q是假命题。由逻辑联结词连接的命题的真假判断得p∧(綈q)为真命题。答案　C9．(2021·南京市二模)设集合A，B是全集U的两个子集，则“A∩B＝∅”是“A⊆∁UB”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析　如图所示，集合A，B是全集U的两个子集，若A∩B＝∅，则A⊆∁UB；若A⊆，因为B∩()＝∅，所以A∩B＝∅。所以“A∩B＝∅”是“A⊆∁UB”的充要条件。故选C。答案　C10．(2021·北京高考)设函数f(x)的定义域为[0,1]，则“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析　前推后，一定成立。后推前，若f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)，找反例，开口向上对称轴为x＝的二次函数。故选A。答案　A11．(2021·福建省诊断性考试)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x∈Z|x2－4x＋m<0}。若A∩B＝{1,2}，则A∪B＝(　　)A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{0,1,2,3} D．{1,2,3,4}解析　解法一：设f(x)＝x2－4x＋m，因为A＝{1,2,4}，A∩B＝{1,2}，所以1∈B,2∈B,4∉B，故即所以0≤m<3，所以f(0)＝m≥0，f(3)＝9－12＋m<0,0∉B,3∈B。所以A∪B＝{1,2,3,4}。故选D。解法二：注意到A∩B＝{1,2}≠∅，由16－4m>0，得m<4，故B＝{x∈Z|2－<x<2＋}。因为A＝{1,2,4}，A∩B＝{1,2}，所以1∈B,2∈B，4∉B，可得解得0≤m<3。因为32－4×3＋m＝m－3<0，所以3∈B；又02－4×0＋m≥0，所以0∉B。所以A∪B＝{1,2,3,4}。故选D。解法三：因为A＝{1,2,4}，A∩B＝{1,2}，所以1∈B,2∈B,4∉B，又抛物线y＝x2－4x＋m的对称轴为直线x＝2，所以由1∈B知3∈B；由4∉B知0∉B。所以A∪B＝{1,2,3,4}。故选D。解法四：因为A＝{1,2,4}，故A∪B必含有元素4，故排除选项A，C，又A∩B＝{1,2}，所以1∈B，而曲线y＝x2－4x＋m的对称轴为直线x＝2，所以3∈B，所以A∪B＝{1,2,3,4}。故选D。答案　D12．(2021·湖北十一校联考)已知非空集合A，B满足以下两个条件：(1)A∪B＝{1,2,3,4}，A∩B＝∅；(2)A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素。则有序集合对(A，B)的个数为(　　)A．1 B．2C．3 D．4解析　若集合A中只有1个元素，则集合B中有3个元素，则1∉A,3∉B，即3∈A,1∈B，此时有1对有序集合对(A，B)；同理，若集合B中只有1个元素，则集合A中有3个元素，则3∈B,1∈A，此时有1对有序集合对(A，B)；若集合A中有2个元素，则集合B中有2个元素，则2∉A，且2∉B，不满足条件。所以满足条件的有序集合对(A，B)的个数为1＋1＝2。故选B。答案　B二、填空题13．设集合A＝{x∈R|0<x<2}，B＝{x∈R||x|<1}，则A∩B＝________，(∁RA)∪B＝________。解析　由B＝{x∈R||x|<1}可得B＝{x∈R|－1<x<1}，故A∩B＝{x|0<x<1}。由A＝{x∈R|0<x<2}得∁RA＝{x∈R|x≤0或x≥2}，故(∁RA)∪B＝{x|x<1或x≥2}。答案　{x|0<x<1}　{x|x<1或x≥2}14．(2021·长春市质量监测)根据事实1＝12；1＋3＝22；1＋3＋5＝32；1＋3＋5＋7＝42；…。写出一个含有量词的全称命题：______________________。解析　观察到从1开始加，连续的几个正奇数相加，就得几的平方，即任意从1开始的连续n个正奇数的和等于n的平方，所以可写为：∀n∈N*,1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2。答案　∀n∈N*,1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n215．设集合A＝{(x，y)|y＝x＋1，x∈R}，B＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，则满足C⊆(A∩B)的集合C的个数为________。解析　解法一：解方程组得或所以A∩B＝{(0,1)，(－1,0)}，即A∩B中有两个元素，因为C⊆(A∩B)，所以集合C的个数是4。解法二：在同一坐标系中作出直线y＝x＋1和圆x2＋y2＝1(图略)，由图可知，直线与圆有两个交点，即A∩B中有两个元素，因为C⊆(A∩B)，所以集合C的个数是4。答案　416．已知命题p：∀x∈[1,3]，x－1＋m－1<0，命题q：∃x∈R，mx2＋x－4＝0。若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围为________。解析　若“p且q”为真命题，则p，q均为真命题。因为p：∀x∈[1,3]，x－1＋m－1<0，所以m<1－x－1在x∈[1,3]恒成立，因为y＝1－x－1是增函数，所以当x＝1时有ymin＝0，所以m<0。因为q：∃x∈R，mx2＋x－4＝0，所以mx2＋x－4＝0有解，即m＝0或所以m≥－ 。因为p，q均为真命题，所以－≤m<0。答案　专项2　平面向量、复数命|题|分|析高考对本部分内容的考查主要有以下几方面：①平面向量的运算。包括向量的线性运算及几何意义，坐标运算，利用数量积运算解决模、夹角、垂直的问题，常与函数、不等式、三角函数、解析几何等知识进行简单的结合。②复数的运算。包括复数的概念、几何意义及四则运算。以上考点难度不高，属送分题，只要掌握基础知识就能得满分。练基础　自主悟通题组对点练考点一  平面向量1.下列命题正确的是(　　)A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若|a|>|b|，则a>bC．若a＝b，则a∥b D．若|a|＝0，则a＝0解析　对于A，当|a|＝|b|，即向量a，b的模相等时，方向不一定相同，故a＝b不一定成立；对于B，向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小，故B不正确；C显然正确；对于D，若|a|＝0，则a＝0，故D不正确。故选C。答案　C2．若D为△ABC的边AB的中点，则＝(　　)A．2－ B．2－C．2＋ D．2＋解析　解法一：因为D是AB的中点，所以＝2，所以＝＋＝＋2＝＋2(－)＝2－。故选A。解法二：因为D是AB的中点，所以＝(＋)，即2＝＋，所以＝2－。故选A。答案　A3．在△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且＝2，则＝(　　)A．－   B．－＋C．－   D．－＋解析　由题意可得＝－＝－(＋)＝－。故选B。答案　B4．已知向量a＝，b＝，则(　　)A．a∥(a－b) B．a⊥(a－b)C．(a－b)∥(a＋b) D．(a－b)⊥(a＋b)解析　因为a＝，b＝，所以a－b＝(2，－3)，a＋b＝(1,5)，则×(－3)－2×1≠0，所以a－b与a不平行，故A错误；×2＋(－3)×1＝0，所以a－b与a垂直，故B正确；5×2－(－3)×1≠0，所以a－b与a＋b不平行，故C错误；1×2＋5×(－3)≠0，所以a－b与a＋b不垂直，故D错误。故选B。答案　B5．(2021·长春市质量监测)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(2,1)，则|2a－b|＝(　　)A．　　 B．  C．2　　 D．2解析　解法一：由题意，得|a－b|2＝22＋12＝5，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝5－2a·b＝5，所以a·b＝0，所以|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，所以|2a－b|＝2。故选C。解法二：设＝a，＝b，则＝－＝a－b。由题意，得|a－b|＝＝，所以||2＋||2＝||2，所以OA⊥OB，所以·＝0，即a·b＝0，所以|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，所以|2a－b|＝2。故选C。答案　C6．(2021·太原市模拟考试)已知梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝2DC，点P在线段BC上，若＝＋λ，则实数λ＝(　　)A．　　　 B．  C．　　　 D．解析　如图，延长AD，BC交于点E，因为AB∥CD且AB＝2CD，所以点D是AE的中点，＝，由题知＝＋λ＝＋，因为B，P，E三点共线，所以＋＝1，解得λ＝。故选C。答案　C7．(2021·东北三校联考)已知菱形ABCD的边长为2，点E在BC上，且＝2，∠ABC＝120°，则·的值为(　　)A．　　　 B．－  C．　　　 D．－解析　解法一：(向量代换法)设||＝m，因为＝2，所以||＝2m，又2m＋m＝||＝2，所以m＝。因为菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝120°，所以||＝2，所以·＝(＋)·＝·＋·＝||||·cos 120°＋||||·cos 60°＝2×2×＋×2×＝－。故选B。解法二：(坐标法)连接AC，以AC，BD的交点O为坐标原点，OC，OD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(－，0)，B(0，－1)，C(，0)，D(0,1)，E，则＝，＝(0,2)，故·＝×0＋×2＝－。故选B。答案　B8．设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________。解析　将|a＋b|＝1两边平方得a2＋2a·b＋b2＝1。因为a2＝b2＝1，所以1＋2a·b＋1＝1，即2a·b＝－1。所以|a－b|＝＝＝＝。答案　9．(2021·青岛统一质量检测)已知非零向量a，b满足|b|＝2|a|，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角为________。解析　因为(a＋b)⊥a，所以(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，即a·b＝－a2，又|b|＝2|a|，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，又〈a，b〉∈[0°，180°]，所以a，b的夹角为120°。答案　120°10．(2021·天津高考)在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2＋|的值为________；(＋)·的最小值为________。解析　设BE＝x，x∈，因为△ABC是边长为1的等边三角形，DE⊥AB，所以∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝x，DC＝1－2x，因为DF∥AB，所以△DFC为边长为1－2x的等边三角形，DE⊥DF，所以(2＋)2＝42＋4·＋2＝4x2＋4x(1－2x)×cos 0°＋(1－2x)2＝1，所以|2＋|＝1，因为(＋)·＝(＋)·(＋)＝2＋·＝(x)2＋(1－2x)×(1－x)×cos 0°＝5x2－3x＋1＝52＋，所以当x＝时，(＋)·取得最小值，为。答案　1　处理平面向量问题一般可以从两个途径进行。切入点一：“恰当选择基底”。用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是进行数乘运算和利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算。切入点二：“坐标运算”。坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标。对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题、简单求解的目的。 考点二  复数1.若复数z满足(1＋i)z＝|2＋i|，则复数z的虚部是(　　)A．－　　 B．－i  C．　　　 D．i解析　设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则(1＋i)(x＋yi)＝x－y＋(x＋y)i＝，根据复数相等的充要条件，得解得所以复数z的虚部为－。故选A。答案　A2．(2021·南昌市一模)复数z满足zi＝2＋3i，则|z|＝(　　)A．　　　 B．  C．　　　D．3解析　因为zi＝2＋3i，所以z＝＝＝3－2i，所以|z|＝＝。故选C。答案　C3．若为实数，则实数a的值为(　　)A．2　　　　B．－  C．　　　 D．－2解析　＝＝＋i，因为为实数，所以＝0，解得a＝－。故选B。答案　B4．(2021·南通市调研)已知2＋i是关于x的方程x2＋ax＋5＝0的根，则实数a＝(　　)A．2－i　 　 B．－4  C．2　　　　D．4解析　由题意知(2＋i)2＋a(2＋i)＋5＝0，即8＋2a＋(4＋a)i＝0，则a＝－4。故选B。答案　B5．(2021·武汉市二模)复数z满足|z＋1－i|＝|z|，若z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0C．x＋y＋1＝0 D．x＋y－1＝0解析　解法一：因为复数z在复平面内对应的点为(x，y)，所以z＝x＋yi，所以z＋1－i＝(x＋1)＋(y－1)i，又|z＋1－i|＝|z|，所以＝，整理得x－y＋1＝0。故选A。解法二：因为复数z在复平面内对应的点为Z(x，y)，所以z＝x＋yi，则|z＋1－i|＝|z－(－1＋i)|，|z－(－1＋i)|的几何意义为点Z(x，y)到A(－1,1)的距离，|z|的几何意义为点Z(x，y)到原点O的距离，又|z＋1－i|＝|z|，即|ZA|＝|ZO|，所以点Z(x，y)的轨迹为线段AO的垂直平分线，又kAO＝－1，线段AO中点的坐标为，所以线段AO的垂直平分线的方程为y－＝x＋，即x－y＋1＝0。故选A。答案　A6．如果复数z满足|z＋3i|＋|z－3i|＝6，那么|z＋1＋i|的最小值是________。解析　解法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z＋3i|＋|z－3i|＝|x＋(y＋3)i|＋|x＋(y－3)i|＝6，即＋＝6，所以－3≤y≤3，所以＝6－，两边平方整理得＝3－y，两边平方整理得x＝0，所以|z＋1＋i|＝|1＋(y＋1)i|＝≥1，当且仅当y＝－1时，取“＝”，故|z＋1＋i|的最小值是1。解法二：由复数的几何意义知，|z＋3i|＋|z－3i|＝6表示复数z对应的点Z到点A(0，－3)，B(0,3)的距离之和为6，又|AB|＝6，所以点Z在线段AB上，|z＋1＋i|的几何意义为定点C(－1，－1)到动点Z的距离，可知最小值为点C到x＝0(－3≤y≤3)的距离，此时距离为1。答案　1(1)与复数的基本概念和性质有关的问题，应注意复数和实数的区别与联系，把复数问题实数化是解决复数问题的关键。(2)复数相等问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解。(3)复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i的幂的性质、运算法则来优化运算过程。(4)|z－z0|表示复平面内复数z与z0对应点的距离，熟练应用复数的几何意义是解决复数问题的一种重要技巧。 练真题　明确考向回 味 高 考1．(2021·全国甲卷)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(　　)A．－1－i B．－1＋iC．－＋i D．－－i解析　z＝＝＝＝－1＋i。答案　B2．(2021·全国乙卷)设2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，则z＝(　　)A．1－2i　　 B．1＋2i  C．1＋i　　　D．1－i解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，可得4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i。故选C。答案　C3．(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知z＝2－i，则z(＋i)＝(　　)A．6－2i B．4－2iC．6＋2i D．4＋2i解析　因为z＝2－i，所以z(＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i。故选C。答案　C4．(2021·浙江高考)已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a＝(　　)A．－1　　　 B．1  C．－3　　　 D．3解析　解法一：因为(1＋ai)i＝－a＋i＝3＋i，所以－a＝3，解得a＝－3。故选C。解法二：因为(1＋ai)i＝3＋i，所以1＋ai＝＝1－3i，所以a＝－3。故选C。答案　C5．(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　　)A．(－2,6) B．(－6,2)C．(－2,4) D．(－4,6)解析　设P(x，y)，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，＝(x，y)，＝(2,0)，所以·＝2x，由题意可得点C的横坐标为3，点F的横坐标为－1，所以－1<x<3，所以－2<·<6。答案　A6．(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝(　　)A．－　　 B．－  C．　　　 D．解析　由题意，得a·(a＋b)＝a2＋a·b＝25－6＝19，|a＋b|＝＝＝7，所以cos〈a，a＋b〉＝＝＝。故选D。答案　D7．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________。解析　解法一：a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，因为(a－λb)⊥b，所以(a－λb)·b＝0，即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0，所以3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝。解法二：由(a－λb)⊥b可知，(a－λb)·b＝0，即a·b－λb2＝0，从而λ＝＝＝＝。答案　8．(2021·新高考全国Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝________。解析　解法一：由a＋b＋c＝0⇒(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝0，所以a·b＋b·c＋c·a＝－。解法二：由a＋b＝－c⇒a2＋b2＋2a·b＝c2⇒a·b＝－，由a＋c＝－b⇒a2＋c2＋2a·c＝b2⇒a·c＝－，由b＋c＝－a⇒b2＋c2＋2b·c＝a2⇒b·c＝－，所以a·b＋b·c＋c·a＝－。解法三：由题可得如图，a＝，b＝，c＝，即＋＋＝0，||＝1，||＝||＝2，＋＝＝－，所以a·b＋b·c＋c·a＝·＋·＋·＝·(＋)＋·＝－||2＋||2－||2＝－1＋－＝－。答案　－专项练通(二)　平面向量、复数一、选择题1.＝(　　)A．1 B．－1C．i D．－i解析　解法一：＝＝＝－i，故选D。解法二：利用i2＝－1进行替换，则＝＝＝＝－i，故选D。答案　D2．已知复数z＝(其中i为虚数单位)，则在复平面内对应的点在(　　)A．第一象限 B．第三象限C．直线y＝－x上 D．直线y＝x上解析　z＝＝＝＝－1－i，所以＝－1＋i，则在复平面内对应的点为(－1，)，所以在复平面内对应的点在第二象限，排除A，B；又(－1，)满足方程y＝－x，所以在复平面内对应的点在直线y＝－x上。故选C。答案　C3．(2021·银川市质量检测)在复平面内，与向量＝(1,2)对应的复数为z，则＝(　　)A．＋i B．－iC．－＋i D．－－i解析　因为在复平面内复数z对应的向量为＝(1,2)，所以z＝1＋2i，所以＝＝＝＋i。故选A。答案　A4．如图所示，在△ABC中，AD＝AB，BE＝BC，则＝(　　)A．－ B．－C．－ D．－解析　＝＋＝＋(－)＝－。故选D。答案　D5．(2021·昆明市三诊一模测试)已知点P是△ABC所在平面内一点，且＋＋＝0，则(　　)A．＝－＋B．＝＋C．＝－－D．＝－解析　取BC边的中点为D，连接PD，则＋＝2，又＋＋＝0，所以＝－(＋)＝－2，所以∥，＝－＝－(－)＝－。故选D。答案　D6．在Rt△ABC中，点D为斜边BC的中点，|AB|＝8，|AC|＝6，则·等于(　　)A．48 B．40C．32 D．16解析　因为点D为斜边BC的中点，所以＝(＋)，所以·＝(＋)·＝2＋·，又Rt△ABC中，AC⊥AB，所以·＝2＝||2＝32。故选C。答案　C7．(2021·东北三省四市联考)已知向量a＝(，1)，b是单位向量，若|a＋b|＝，则a与b的夹角为(　　)A． B．C． D．解析　因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝3，|a|＝＝2，|b|＝1，所以a·b＝－1。cos〈a，b〉＝＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝。故选C。答案　C8．(2021·长春市质量监测)四边形ABCD中，＝2，·＝0，||＝2，则·＝(　　)A．－1 B．1C．－2 D．2解析　解法一：由题意知，四边形ABCD为直角梯形，AB∥DC，AB⊥BC，||＝1，所以DC⊥BC，所以·＝0，所以·＝(＋＋)·＝·＋·＝||·||cos 0＋||·||cos π＝2－1＝1。故选B。解法二：因为·＝0，所以AB⊥BC，以BC，BA所在的直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0,0)，A(0,2)。设||＝t，则C(t,0)，D(t,1)，所以＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝1。故选B。答案　B9．设复数z＝a＋bi(a∈Z，b∈Z)，则满足|z－1|≤1的复数z有(　　)A．7个 B．5个C．4个 D．3个解析　由复数的几何意义可知，满足|z－1|≤1的复数z在复平面内对应的点表示到点(1,0)的距离不大于1的点。又a∈Z，b∈Z，所以满足条件的点的坐标分别是(0,0)，(1,0)，(2,0)，(1,1)，(1，－1)，共5个点。故选B。答案　B10．(2021·唐山市二模)设复数z满足|z－2i|＝1，在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是(　　)A．1 B．C． D．3解析　解法一：由题意可知，在复平面内复数z对应的点为复平面内一动点到定点(0,2)距离为1的点的集合，即以(0,2)为圆心，1为半径的圆，圆心(0,2)到原点的距离为2，所以圆上任一点到原点的距离的最大值为2＋1＝3。故选D。解法二：设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则x2＋(y－2)2＝1，所以－1≤y－2≤1，即1≤y≤3，所以x2＋y2＝4y－3≤9，所以≤3，即在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是3。故选D。答案　D11．已知等边△ABC的边长为2，P为△ABC所在平面内一点，且|－－|＝1，则||的最大值为(　　)A．4＋1 B．7C．5 D．2－1解析　如图，以AB，AC为邻边作菱形ABDC，连接AD，由向量加法的平行四边形法则，则＋＝，且||＝2×2×＝6，所以|－－|＝|－|＝||＝1，所以点P在以D为圆心、1为半径的圆上，所以||max＝||＋1＝6＋1＝7。故选B。答案　B12．(2021·南通市调研测试)已知点P是△ABC所在平面内一点，有下列四个等式：甲：＋＋＝0；乙：·(－)＝·(－)；丙：||＝||＝||；丁：·＝·＝·。如果只有一个等式不成立，则该等式为(　　)A．甲 B．乙C．丙 D．丁解析　由题意，甲：可设BC的中点为D，连接PD，因为＋＋＝0，所以＋＝2＝－，所以点P为△ABC的重心；乙：由·(－)＝·(－)，可得·＝·，则(－)·＝0，·＝0，即AC⊥BA，∠BAC＝90°，丙：由||＝||＝||可得P点为△ABC的外心；丁：由·＝·＝·可得·＝·＝·＝0，可得P点为△ABC的垂心。由题意只有一个等式不成立，则△ABC只能为正三角形。故选B。答案　B二、填空题13．(2021·全国甲卷)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb，若a⊥c，则k＝________。解析　c＝(3,1)＋(k,0)＝(3＋k,1)，a·c＝3(3＋k)＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－。答案　－14．已知复数z＝x＋4i(x∈R)(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限，且|z|＝5，则的共轭复数为________。解析　由题意知x<0，且x2＋42＝52，解得x＝－3，所以＝＝＝＋i，故其共轭复数为－i。答案　－i15．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2CD＝3，AD＝2，若EF在线段AB上运动，且EF＝1，则·的最小值为________。解析　如图所示，以A为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(3,0)，C，D(0,2)，不妨设E(t,0)，F(t＋1,0)(0≤t≤2)，则＝，＝，所以·＝·＝×＋4＝(t－1)2＋，所以·的最小值为，当且仅当t＝1时取得。答案　16．已知平面向量a，b是单位向量。若a·b＝0，且|c－a|＋|c－2b|＝，则|c＋2a|的取值范围是________。解析　由题意设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，因为|c－a|＋|c－2b|＝，即＋＝，所以由几何意义可得，点P(x，y)到点A(1,0)和点B(0,2)的距离之和为。又|AB|＝，所以点P在线段AB上，且直线AB的方程为y＝－2x＋2。因为|c＋2a|＝表示点P到点M(－2,0)的距离，又点M到直线AB的距离为＝，此时，点M到直线AB垂线的垂足在线段AB上，|MA|＝3，|MB|＝2，所以|c＋2a|的取值范围为。答案　专项3　不等式、合情推理、算法初步命|题|分|析1．不等式主要考查：①利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点。②一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围。③利用不等式解决实际问题。2．推理与证明主要考查：①以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现。②直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题。3．程序框图主要考查：程序框图、循环结构和算法思想，结合函数与数列考查逻辑思维能力。题型主要以选择题、填空题为主，考查求程序框图中的执行结果和确定控制条件，难度为中低档。练基础　自主悟通题组对点练考点一  不等式1.下列说法中正确的是(　　)A．若“a>b”是“a>c”的充分条件，则“b≥c”B．若“a>b”是“a>c”的充分条件，则“b≤c”C．若“a>b”是“a>c”的充要条件，则“b>c”D．若“a<b”是“a>c”的必要条件，则“b<c”解析　令A＝{a|a>b}，B＝{a|a>c}，C＝{a|a<b}。若“a>b”是“a>c”的充分条件，则有A⊆B，则b≥c，故A正确，B错误；若“a>b”是“a>c”的充要条件，则有A＝B，则b＝c，故C错误；若“a<b”是“a>c”的必要条件，则有B⊆C，这是不可能的，故D错误。故选A。答案　A2．已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，则下列选项中一定成立的是(　　)A．ab>ac B．c(b－a)<0C．cb2<ab2 D．ac(a－c)>0解析　因为a，b，c满足c<b<a，且ac<0，所以c<0<a，所以ab>ac，c(b－a)>0，A正确，B不正确；由于b2可能为0，故C不正确；由于ac<0，a－c>0，故ac(a－c)<0，所以D不正确。答案　A3．已知关于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪，则a＝(　　)A．2　　　　B．－2  C．－　　 D．解析　根据一元二次不等式与之对应方程的关系知－1，－是一元二次方程ax2＋(a－1)x－1＝0的两个根，所以－1×＝－，解得a＝－2。故选B。答案　B4．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)A．1＋ B．1＋C．3 D．4解析　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即a＝3。答案　C5．已知正数a，b的等比中项是2，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　)A．3　　　　B．4  C．5　　　　D．6解析　由正数a，b的等比中项是2，可得ab＝4，又m＝b＋，n＝a＋，所以m＋n＝a＋b＋＋≥2＋＝5，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故m＋n的最小值为5。答案　C6．已知P(a，b)为圆x2＋y2＝4上任意一点，则当＋取最小值时，a2的值为(　　)A．　　　 B．2  C．　　　 D．3解析　因为P(a，b)为圆x2＋y2＝4上任意一点，所以a2＋b2＝4。又a≠0，b≠0，所以＋＝·(a2＋b2)＝≥＝，当且仅当b2＝2a2＝时取等号，故a2＝。答案　C7．(2020·全国Ⅰ卷)若x，y满足约束条件则z＝x＋7y的最大值为________。解析　作出可行域，如图中阴影部分所示，由得故A(1,0)。作出直线x＋7y＝0，数形结合可知，当直线z＝x＋7y过点A时，z＝x＋7y取得最大值，为1。答案　18．已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________。解析　对任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，即≥3恒成立，即a≥－＋3。设g(x)＝x＋，x∈N*，则g(2)＝6，g(3)＝。因为g(2)>g(3)，所以g(x)min＝。所以－＋3≤－，所以a≥－，故a的取值范围是。答案　(1)明确解不等式的方法①一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0或<0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集；②含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解。(2)牢记三种常见的目标函数及其求法①截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值；②距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝|PM|2；③斜率型：形如z＝，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM。 考点二  合情推理1.下面四个推理中，不属于演绎推理的是(　　)A．因为函数y＝sin x(x∈R)的值域为[－1,1]，2x－1∈R，所以y＝sin(2x－1)(x∈R)的值域为[－1,1]B．昆虫都有6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿C．在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，将此结论放到空间中也是如此D．如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论解析　C中的推理属于合情推理中的类比推理，A，B，D中的推理都是演绎推理。故选C。答案　C2．设x，y，z均为正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三数(　　)A．都小于2B．都大于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2解析　因为x，y，z均为正实数，所以a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，所以a，b，c至少有一个不小于2。故选D。答案　D3．某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课程，要求每位同学都要选择其中的两门课程。已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同的课程。则以下说法错误的是(　　)A．丙有可能没有选素描B．丁有可能没有选素描C．乙、丁可能两门课程都相同D．这4个人里恰有2个人选了素描解析　因为甲选了素描，所以乙必定没有选素描。假设丙选了素描，则丁一定没有选素描；若丙没有选素描，则丁必定选了素描。综上，必定有且只有2个人选了素描，选项A，B，D判断正确。不妨设甲另一门选修课程为摄影，则素描与摄影乙同学均不选修，则对于素描与摄影可能出现如下两种情形：情形一甲乙丙丁素描√×√×摄影√××√ 情形二甲乙丙丁素描√××√摄影√×√×由以上两个表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此C不正确。答案　C4．在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径r＝。在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R＝________。解析　若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径R＝。理由如下：设三棱锥的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径，所以V＝S1R＋S2R＋S3R＋S4R＝SR，所以内切球的半径R＝。答案　5．将正奇数按如下所示的规律排列：13　5　79　11　13　15　1719　21　23　25　27　29　31…则数字2 019的位置为第________行，从左向右第________个数。解析　根据排列规律可知，第一行有1个奇数，第二行有3个奇数，第三行有5个奇数，…，第n行有(2n－1)个奇数，前n行总共有＝n2(个)奇数。由312＝961,322＝1 024,2 019是第1 010个奇数，可知数字2 019的位置为第32行，从左向右第49个数。答案　32　49 (1)破解归纳推理题的思维3步骤①发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)。②归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)。③检验结论：对所得的一般性命题进行检验，一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧。(2)破解类比推理题的3个关键①会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征。②会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想。③会检验，即检验猜想的正确性。要将类比推理运用于简单推理之中，在不断地推理中提高自己的观察、归纳、类比能力。 考点三  算法初步1.执行如图所示的程序框图，如果输入N＝4，则输出的p为(　　)A．6　　　　B．24  C．120　　　D．720解析　初始值，N＝4，k＝1，p＝1，进入循环，p＝1，k<N，k＝2；p＝2，k<N，k＝3；p＝6，k<N，k＝4；p＝24，k＝N，此时不满足循环条件，退出循环体。输出的p＝24。故选B。答案　B2．执行如图所示的程序框图，若输入p＝0.99，则输出的n＝(　　)A．6　　　　B．7  C．8　　　　D．9解析　模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算S＝＋＋＋…的值大于或等于0.99的最小整数。由题意，S＝＋＋＋…＋＝·＝1－≥0.99，可得2n≥100，解得n≥7，即当n＝8时，S的值不满足条件，退出循环。答案　C3．执行如图所示的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于(　　)A．2－　　B．2－  C．2－　　D．2－解析　执行程序框图，x＝1，s＝0，s＝0＋1＝1，x＝，不满足x<ε＝，所以s＝1＋＝2－，x＝，不满足x<ε＝，所以s＝1＋＋＝2－，x＝，不满足x<ε＝，所以s＝1＋＋＋＝2－，x＝，不满足x<ε＝，所以s＝1＋＋＋＋＝2－，x＝，不满足x<ε＝，所以s＝1＋＋＋＋＋＝2－，x＝，不满足x<ε＝，所以s＝1＋＋＋＋…＋＝2－，x＝，满足x<ε＝，输出s＝2－。故选C。答案　C4．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入(　　)A．A＝ B．A＝2＋C．A＝ D．A＝1＋解析　A＝，k＝1,1≤2成立，执行循环体；A＝，k＝2,2≤2成立，执行循环体；A＝，k＝3,3≤2不成立，结束循环，输出A。故空白框中应填入A＝。故选A。答案　A5．如图是一个算法的程序框图，若输入x的值为，则输出的y的值是________。解析　由题意得y＝2＋log2＝2－4＝－2。答案　－2 (1)求解程序框图的运行结果问题先要找出控制循环的变量及其初值、终值，然后看循环体，若循环次数较少，可依次列出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律。要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累加为限定条件的问题，需要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件。(2)对于程序框图的填充问题最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方法：创造参数的判断条件为“i>n”或“i<n”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件即可。 练真题　明确考向回 味 高 考1．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是(　　)A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝|sin x|＋C．y＝2x＋22－x D．y＝ln x＋解析　选项A：因为y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，所以当x＝－1时，y取得最小值，且ymin＝3，所以选项A不符合题意。选项B：因为y＝|sin x|＋≥2＝4，所以y≥4，当且仅当|sin x|＝，即|sin x|＝2时不等式取等号，但是根据正弦函数的有界性可知|sin x|＝2不可能成立，因此可知y>4，所以选项B不符合题意。选项C：因为y＝2x＋22－x≥2＝4，当且仅当2x＝22－x，即x＝2－x，即x＝1时不等式取等号，所以ymin＝4，所以选项C符合题意。选项D：当0<x<1时，ln x<0，y＝ln x＋<0，所以选项D不符合题意。综上，所给函数中最小值为4的是选项C中的函数。故选C。答案　C2．(2021·全国乙卷)若x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最小值为(　　)A．18　　　 B．10  C．6　　　　D．4解析　解法一：(数形结合法)作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y＝－3x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A时，直线y＝－3x＋z在y轴上的截距最小，即z最小。解方程组得即点A的坐标为(1,3)。从而z＝3x＋y的最小值为3×1＋3＝6。故选C。解法二：(代点比较法)画图易知，题设不等式组对应的可行域是封闭的三角形区域，所以只需要比较三角形区域三个顶点处的z的大小即可。易知直线x＋y＝4与y＝3的交点坐标为(1,3)，直线x＋y＝4与x－y＝2的交点坐标为(3,1)，直线x－y＝2与y＝3的交点坐标为(5,3)，将这三个顶点的坐标分别代入z＝3x＋y可得z的值分别为6,10,18，所以比较可知zmin＝6。故选C。解法三：(巧用不等式的性质)因为x＋y≥4，所以3x＋3y≥12　①。因为y≤3，所以－2y≥－6　②。由①＋②可得3x＋3y＋(－2y)≥12＋(－6)，即3x＋y≥6，当且仅当x＋y＝4且y＝3，即x＝1，y＝3时不等式取等号，易知此时不等式x－y≤2成立。故选C。答案　C3．(2021·浙江高考)若实数x，y满足约束条件则z＝x－y的最小值是(　　)A．－2　　　B．－  C．－　　　D．解析　作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y＝2x并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A时z取得最小值。由得所以A(－1,1)，zmin＝－1－＝－。故选B。答案　B4．(2020·天津高考)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________。解析　因为a>0，b>0，所以a＋b>0，又ab＝1，所以＋＋＝＋＝＋≥2＝4，当且仅当a＝2－，b＝2＋或a＝2＋，b＝2－时，等号成立。答案　45．(2020·江苏高考)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________。解析　解法一：由5x2y2＋y4＝1得x2＝－，则x2＋y2＝＋≥2 ＝，当且仅当＝，即y2＝时取等号，则x2＋y2的最小值是。解法二：4＝(5x2＋y2)·4y2≤2＝(x2＋y2)2，则x2＋y2≥，当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝，y2＝时取等号，则x2＋y2的最小值是。答案　专项练通(三)　不等式、合情推理、算法初步一、选择题1．若集合A＝{x|x2－2x－8<0}，B＝{x|x2－9≤0}，则集合A∪B＝(　　)A．(－2,3] B．(－4,3]C．[－3,2) D．[－3,4)解析　由x2－2x－8<0，得－2<x<4；由x2－9≤0，得－3≤x≤3。故A∪B＝[－3,4)。故选D。答案　D2．若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是(　　)A．ac2<bc2 B．<C．> D．a2>ab>b2解析　c＝0时，A不成立；－＝>0，B错误；－＝＝<0，C错误；由a<b<0，所以a2>ab>b2，D正确。答案　D3．若a<0，则关于x的不等式(ax－1)(x－2)>0的解集为(　　)A． B．C． D．解析　方程(ax－1)(x－2)＝0的两个根为x＝2和x＝，因为a<0，所以<2，故不等式(ax－1)·(x－2)>0的解集为。故选B。答案　B4．已知a>b，下列不等式一定成立的是(　　)A．< B．ln(a－b)>0C．|a|>|b| D．a3>b3解析　对于A，当a＝2，b＝－1时，>，故A不正确；对于B，当a＝2，b＝1时，ln(a－b)＝ln 1＝0，故B不正确；对于C，当a＝2，b＝－3时，|a|<|b|，故C不正确；对于D，因为函数y＝x3是R上的增函数，a>b，所以a3>b3，故D正确。故选D。答案　D5．若a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)A． B．4C． D．5解析　因为a＋b＝2，所以＝1。所以＋＝＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即b＝2a＝时，等号成立，故y＝＋的最小值为。答案　C6．(2021·湖南六校联考)手机屏幕面积与整机面积的比值叫做手机的“屏占比”，它是手机外观设计中的一个重要参数，其值通常在0～1(不含0,1)，设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该手机的“屏占比”和升级前相比(　　)A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小C．“屏占比”变大 D．变化不确定解析　根据题意，不妨设升级前该手机的手机屏幕面积为a，整机面积为b，b>a，则升级前的“屏占比”为，升级后的“屏占比”为，其中m为升级后增加的面积，因为－＝>0，所以升级后“屏占比”变大。故选C。答案　C7．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－300x＋80 000，为使每吨的平均处理成本最低，该厂的月处理量应为(　　)A．300吨 B．400吨C．500吨 D．600吨解析　由题意，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)的函数关系可近似地表示为y＝x2－300x＋80 000，所以每吨的平均处理成本s＝＝＝＋－300，其中300≤x≤600，则＋－300≥2－300＝400－300＝100，当且仅当＝，即x＝400时，每吨的平均处理成本最低。故选B。答案　B8．若a，b∈R，且2a－3b＋6＝0，则4a＋最小值为(　　)A．128 B．C．16 D．解析　已知a，b∈R，且2a－3b＋6＝0，所以2a－3b＝－6，则4a＋≥2＝2×＝2×＝。当且仅当即时等号成立。答案　D9．(2020·浙江高考)若实数x，y满足约束条件则z＝x＋2y的取值范围是(　　)A．(－∞，4] B．[4，＋∞)C．[5，＋∞) D．(－∞，＋∞)解析　画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线x＋2y＝0，平移该直线，易知当直线经过点A(2,1)时，z取得最小值，zmin＝2＋2×1＝4，再数形结合可得z＝x＋2y的取值范围是[4，＋∞)。答案　B10．已知实数x，y满足则的取值范围是(　　)A． B．C． D．解析　画出x，y满足的可行域如图阴影部分(含边界)所示，由解得B(2,0)，由解得C，可看作定点A(－1，－1)与可行域内的动点P(x，y)连线的斜率，当动点P在B处时，取最小值为，当动点P在C处时，取最大值为＝，故≤≤。答案　A11．将正奇数数列1,3,5,7,9，…依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：(1,3)，(5,7,9)，(11,13)，(15,17,19)，…，称(1,3)为第1组，(5,7,9)为第2组，依此类推，则原数列中的2 021位于分组序列中的(　　)A．第404组 B．第405组C．第808组 D．第809组解析　正奇数数列1,3,5,7,9，…的通项公式为an＝2n－1，则2 021为第1 011个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个为一组分组共有202组，余下2 021，故原数列中的2 021位于分组序列中第405组。答案　B12．某市学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A，B，C，D，E五个等级。某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如表所示。该班学生中，这两科等级均为A的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A的学生，其另外一科等级为B。则该班(　　) ABCDE物理1016910化学819720A．物理、化学等级都是B的学生至多有12人B．物理、化学等级都是B的学生至少有5人C．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至多有18人D．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至少有1人解析　记一个学生的物理和化学等级为(x，y)，其中x，y分别表示其物理与化学成绩的等级，则在该班36名学生中，物理和化学等级为(A，A)的共有5人，又物理等级为A的总共有10人，所以仅有物理等级为A的有5人，这5人的化学等级必为B，即物理和化学等级为(A，B)的共有5人。因为化学等级为A的总共有8人，所以仅有化学等级为A的有3人，这3人的物理等级必为B，即物理和化学等级为(B，A)的共有3人，除了以上学生之外，其他学生的物理、化学等级情况如表： BCDE物理1310化学149由此可以看出，物理和化学等级为(B，B)的学生最多有13人，A不正确；物理和化学等级为(B，B)的学生最少有36－5－5－3－19＝4(人)，B不正确；这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至多有19人，C不正确；这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至少有1人，因此D正确。综上所述，选D。答案　D二、填空题13．(2020·全国Ⅲ卷)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________。解析　根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示。结合图形可知，当直线y＝－x＋过点A(1,2)时，z取得最大值，且zmax＝3×1＋2×2＝7。答案　714.在《九章算术》中记载着一道关于“持金出关”的题目，大意是：“在古代出关要交税。一天，某人拿钱若干出关，第1关交所拿钱数的，第2关交所剩钱数的，第3关交所剩钱数的，…”。现以这则故事中蕴含的数学思想，设计如图所示的程序框图，则运行此程序，输出n的值为________。解析　当S＝0时，满足进行循环的条件，S＝36，n＝2；当S＝36时，满足进行循环的条件，S＝48，n＝3；当S＝48时，满足进行循环的条件，S＝54，n＝4；当S＝54时，满足进行循环的条件，S＝57.6，n＝5；当S＝57.6时，满足进行循环的条件，S＝60，n＝6；当S＝60时，不满足进行循环的条件，故输出的n＝6。答案　615．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>0的解集为(1,2)，若f(x)的最大值小于1，则a的取值范围是________。解析　由题意知a<0，可知f(x)＝a(x－1)·(x－2)＝ax2－3ax＋2a，所以f(x)max＝f ＝－<1，所以a>－4，故－4<a<0。答案　(－4,0)16．已知x>0，y>0，且x＋2y＝xy，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则xy的最小值为________，实数m的取值范围为________。解析　因为x>0，y>0，x＋2y＝xy，所以＋＝1，所以1＝＋≥2，所以xy≥8，当且仅当x＝4，y＝2时取等号，所以x＋2y＝xy≥8，所以m2＋2m<8，解得－4<m<2。答案　8　(－4,2)专项4　排列、组合与二项式定理命|题|分|析1．排列、组合在高中数学中占有特殊的位置，是高考的必考内容，很少单独命题，主要考查利用排列、组合知识计算古典概型。2．二项式定理以求二项展开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主，题目难度一般。练基础　自主悟通题组对点练考点一  排列与组合1.(2021·兰州市诊断考试)2019年9月1日兰州地铁1号线启用新列车运行图，进一步增加上线列车数量、缩短列车运行间隔、延长运营时间。两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢，两人进入车厢的方法共有(　　)A．15种　　 B．30种  C．36种　　 D．64种解析　设这两位同学分别为甲、乙，由题意，可分为两步：笫一步，甲同学从这6节车厢中选择一节进入有6种选法，第二步，乙同学从这6节车厢中选择一节进入有6种选法，所以两人进入车厢的方法共有6×6＝36(种)，故选C。答案　C2．树立劳动观念对人的健康成长至关重要。某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有(　　)A．8种　　　B．9种  C．12种　　 D．14种解析　解法一：分为两类：①只有一名女生，选法有CC＝8(种)；②有2名女生，选法有CC＝6(种)。所以至少有一名女生的选法共有8＋6＝14(种)。故选D。解法二：从6人中选出4人参加校园植树活动的选法有C＝15(种)，其中全是男生的选法有C＝1(种)，所以至少有一名女生的选法共有15－1＝14(种)。故选D。答案　D3．7人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是(　　)A．3 600　 　B．1 440  C．4 820　 　D．4 800解析　解法一：由题意，分两步：第一步，先安排甲、乙以外的5人，不同的排法有A＝120(种)；第二步，在6个空中任选2个空排甲、乙，不同的排法有A＝30(种)。由分步乘法计数原理得，满足条件的不同排法有120×30＝3 600(种)。故选A。解法二：7人并排站成一行的不同排法有A＝5 040(种)，其中甲、乙两人相邻的不同排法有2A＝1 440(种)，所以甲、乙两人必须不相邻的不同排法有5 040－1 440＝3 600(种)。故选A。答案　A4．为了庆祝中国共产党百年华诞，某学校举办党历教育主题活动，准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为(　　)A．360　　 　B．520  C．720　　 　D．600解析　当甲、乙两人中有一人参加时，有CCA＝480(种)发言顺序；当甲、乙两人同时参加时，有CAA＝120(种)发言顺序，则不同的发言顺序的种数为480＋120＝600。故选D。答案　D5．永定土楼，位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩。2008年7月，永定土楼成功列入世界遗产名录。它历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧。土楼具体有圆楼、方楼、五角楼、八角楼、日字形楼、回字形楼、吊脚楼等类型。现某大学建筑系学生要重点对这七种类型的土楼依次进行调查研究。要求调查顺序中，圆楼要排在第一个或最后一个，方楼、五角楼相邻，则不同的排法种数为(　　)A．480　　 　B．240  C．384　　 　D．1 440解析　解决本题分三步，第一步，由于方楼、五角楼相邻，故先将二者捆绑看成一个整体，有A种排法；第二步，圆楼要排在第一个或最后一个，有A种排法；第三步，其余5种(八角楼、日字形楼、回字形楼、吊脚楼、方楼＋五角楼)全排列，有A种排法。故不同的排法种数为A·A·A＝2×2×5×4×3×2＝480。故选A。答案　A6．为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A，B，C三个农业扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶。经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择A，B，C三个扶贫项目的意向如下表：扶贫项目ABC贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选择一个，且每个项目至多有两个贫困户选择，则不同的选法种数为________。解析　甲、乙、丙、丁四个贫困户按照自己已登记的意向选择共有CCCC＝24(种)选法。这些选法中有“甲、乙、丙、丁四个贫困户全选择了A”“三个贫困户选择了A或B”不符合要求，其中，若甲、乙、丙、丁四个贫困户全选择了A，则有1种选法；若甲、乙、丙选择了A，则丁只能选择C，有1种选法；若乙、丙、丁选择了A，则甲只能选择B，有1种选法；若甲、丙、丁选择了A，则乙只能选择B，有1种选法；若甲、乙、丁选择了A，则丙能选择B或C，有2种选法；若甲、乙、丙选择了B，则丁能选择A或C，有2种选法。所以符合条件的选法有24－1－1－1－1－2－2＝16(种)。答案　16 　　　　求解有限制条件排列问题的主要方法(1)直接法：①分类法：选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数；②分步法：选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数。(2)捆绑法：相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列。(3)插空法：不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列后的空中。(4)除法：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列数。(5)间接法：对于分类过多的问题，一般利用正难则反、等价转化的方法。 考点二  二项式定理1.的展开式中的常数项为(　　)A．－45　　 B．1  C．45　　　 D．90解析　的展开式的通项为Tr＋1＝＝(－1)rCxr－2，令r－2＝0，可得r＝2，所以的展开式中的常数项为(－1)2C＝45。答案　C2．若n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是(　　)A．－462　　B．462  C．792　　　D．－792解析　因为n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，所以n为偶数，展开式共有13项，则n＝12。12的展开式的通项为Tk＋1＝(－1)kC·x12－2k，令12－2k＝2，即k＝5。所以展开式中含x2项的系数是(－1)5C＝－792。答案　D3．(2021·东北三校联考)(x＋2)(1－2x)5的展开式中含x2项的系数是(　　)A．70　　　 B．80  C．－50　　 D．－70解析　(x＋2)(1－2x)5＝x·(1－2x)5＋2·(1－2x)5，(1－2x)5的展开式的通项Tr＋1＝C·15－r·(－2x)r，即Tr＋1＝C·15－r·(－2)r·xr。在x·(1－2x)5中，当r＝1时，可得x·C·15－1·(－2)1·x1＝－10x2；在2·(1－2x)5中，当r＝2时，可得2·C·15－2·(－2)2·x2＝80x2。所以(x＋2)(1－2x)5的展开式中含x2项的系数为－10＋80＝70。故选A。答案　A4．(2021·郑州市质量预测)(x＋y)5的展开式中，x3y3的系数为(　　)A．3　　　　B．5  C．15　　　 D．20解析　(x＋y)5＝x(x＋y)5－(x＋y)5，(x＋y)5的展开式的通项为Cx5－ryr(r＝0,1,2,3,4,5)，所以x(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为C＝10，·(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为C＝5，所以(x＋y)5的展开式中，x3y3的系数为10－5＝5。故选B。答案　B5．(2021·苏北适应性考试)今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过82 021天后是(　　)A．星期二　 B．星期三  C．星期四　 D．星期五解析　82 021＝(1＋7)2 021＝C70＋C7＋C72＋…＋C72 021，则82 021除以7的余数为1，所以是星期四。答案　C6.5的展开式中整理后的常数项为________。解析　当x>0时，5＝10的通项为Tr＋1＝C()10－rr＝Cx5－r，令5－r＝0，解得r＝5。所以常数项为C＝252。同样当x<0时，可得常数项为252。答案　2527．若x10－x5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a5＝________。解析　x10－x5＝[(x－1)＋1]10－[(x－1)＋1]5，则a5＝C－1＝252－1＝251。答案　251 二项式通项与展开式的应用：(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定项或指定项的系数等。(2)展开式的应用：①求解与二项式系数有关的求值问题，常采用赋值法。②证明整除问题(或求余数)，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断。③有关组合式的求值证明问题，常采用构造法。 练真题　明确考向回 味 高 考1．(2020·北京高考)在(－2)5的展开式中，x2的系数为(　　)A．－5　　　B．5  C．－10　　 D．10解析　由二项式定理得(－2)5的展开式的通项Tr＋1＝C()5－r(－2)r＝C(－2)rx，令＝2，得r＝1，所以T2＝C(－2)x2＝－10x2，所以x2的系数为－10。故选C。答案　C2．(2019·全国Ⅲ卷)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　)A．12　　　 B．16  C．20　　　 D．24解析　因为展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，所以x3的系数为C＋2C＝4＋8＝12。故选A。答案　A3．(2020·全国Ⅱ卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种。解析　由题意，分两步进行安排，第一步，将4名同学分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有C＝6种安排方法；第二步，将分好的3组安排到对应的3个小区，有A＝6种安排方法，所以不同的安排方法有6×6＝36(种)。答案　364．(2021·北京高考)4的展开式中常数项是________。解析　由二项式展开公式可得常数项为C·(x3)1·3＝－4。答案　－45．(2020·全国Ⅲ卷)6的展开式中常数项是________(用数字作答)。解析　6展开式的通项Tr＋1＝Cx2(6－r)x－r·2r＝2r·Cx12－3r。令12－3r＝0，得r＝4。故展开式中的常数项为C·24＝240。答案　2406．(2021·浙江高考)已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝________；a2＋a3＋a4＝________。解析　(x－1)3展开式的通项Tr＋1＝Cx3－r·(－1)r，(x＋1)4展开式的通项Tk＋1＝Cx4－k，则a1＝C＋C＝1＋4＝5；a2＝C(－1)1＋C＝3；a3＝C(－1)2＋C＝7；a4＝C(－1)3＋C＝0。所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10。答案　5　10专项练通(四)　排列、组合与二项式定理一、选择题1.7的展开式中x3的系数为(　　)A．168 B．84C．42 D．21解析　7的展开式的通项为Tr＋1＝Cx7－r·r＝(－2)rCx7－2r，令7－2r＝3，则r＝2，所以7的展开式中x3的系数为(－2)2C＝84。故选B。答案　B2．甲、乙、丙三名志愿者到某医院参加抗击新冠疫情活动，该医院有A，B两种类型的机器各一台，其中甲只会操作A种类型的机器，乙、丙两名志愿者两种类型的机器都会操作。现从甲、乙、丙三名志愿者中选派两人去操作该医院A，B两种类型的机器(每人操作一台机器)，则不同的选派方法一共有(　　)A．2种 B．4种C．6种 D．8种解析　分两种情况：第一种，选派的两人含有甲，则A种类型的机器由甲操作，B种类型的机器在乙、丙两人中任选一人操作的方法共有C＝2(种)；第二种，选派的两人不含甲，则不同的选派方法共有A＝2(种)。故不同的选派方法共有4种。故选B。答案　B3．(2021·昆明市教学质量检测)小华在学校里学习了二十四节气歌，打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗，他准备在立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒6个冬季节气与立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨6个春季节气中一共选出3个节气，若冬季节气和春季节气各至少选出1个，则小华选取节气的不同方法种数是(　　)A．90 B．180C．220 D．360解析　根据题意，选出的3个节气可以是2个冬季节气和1个春季节气，也可以是1个冬季节气和2个春季节气，对应的方法种数都是CC＝90，所以不同的方法种数为180。故选B。答案　B4．在二项式n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式的第4项为(　　)A．7x6 B．－7xC．x D．－x7解析　由二项式系数的性质，知n＝8，则Tr＋1＝C()8－rr＝rCx，所以展开式中第4项T4＝3Cx＝－7x。答案　B5．(3x3＋x4)8的展开式中x2的系数为(　　)A．－1 280 B．4 864C．－4 864 D．1 280解析　根据8的展开式的通项Tr＋1＝C28－r·r，可在第一个括号里取3x3，第二个括号里取C27，或者第一个括号里取x4，第二个括号里取C26·2，故含x2的项为3x3＋x4，化简得－1 280x2。故选A。答案　A6．(2021·南通市调研测试)(1－2x)n的二项展开式中，奇数项的系数和为(　　)A．2n B．2n－1C． D．解析　由题意可设(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝(－1)n　①；令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＝3n　②。①＋②，得a0＋a2＋a4＋…＝，即奇数项的系数和为。故选C。答案　C7．甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次(无并列名次)，已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五。据此推测5人的名次排列情况的种数为(　　)A．5 B．8C．14 D．21解析　当乙排第五时，丙的排名有3种可能，丁、戊两人全排列，有3×2×1＝6(种)情况；当乙排第二或第四时，丙的排名有2种可能，丁、戊两人全排列，有2×2×2×1＝8(种)情况。故5人的名次排列情况的种数为6＋8＝14。故选C。答案　C8．(2021·石家庄市质量检测)甲、乙、丙三人从红、黄、蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，每人帽子的颜色互不相同，乙比戴蓝帽的人个头高，丙和戴红帽的人身高不同，戴红帽的人比甲个头小，则甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为(　　)A．红、黄、蓝 B．黄、红、蓝C．蓝、红、黄 D．蓝、黄、红解析　因为丙和戴红帽的人身高不同，戴红帽的人比甲的个头小，所以丙和甲都不戴红帽，所以乙戴红帽，且乙比甲的个头小，又乙比戴蓝帽的人个头高，所以甲不戴蓝帽，又甲、乙、丙三人所戴帽子的颜色互不相同，所以甲戴黄帽，丙戴蓝帽。故选B。答案　B9．(2021·湖北十一校联考)已知等差数列{an}的第5项是6展开式中的常数项，则a2＋a8＝(　　)A．20 B．－20C．40 D．－40解析　6展开式中的常数项为Cx3·C·3·(2y)0＝－20，所以a5＝－20，所以a2＋a8＝2a5＝－40。故选D。答案　D10．已知正整数n≥7，若(1－x)n的展开式中不含x4的项，则n的值为(　　)A．7 B．8C．9 D．10解析　因为n≥7，所以展开式中含x4的项为xC(－x)3＋C(－x)5，即含x4的项的系数为－C＋C，又展开式中不含x4的项，所以－C＋C＝0，即C＝C，得n＝3＋5＝8。故选B。答案　B11．(2021·广州市综合测试)如图，洛书(古称龟书)，是阴阳五行术数之源。在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数。若从4个阴数和5个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为(　　)A．30 B．40C．44 D．70解析　由题意可知，阴数为2,4,6,8，阳数为1,3,5,7,9，若从这9个数中随机选取3个数，且选取的3个数之和为奇数，则这3个数可以为1个奇数和2个偶数或3个均为奇数，所以不同的选取方法有CC＋C＝30＋10＝40(种)。故选B。答案　B12．已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2的值为(　　)A．39 B．310C．311 D．312解析　对(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9两边同时求导，得9(x＋2)8＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7＋9a9x8。令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9＝310。令x＝－1，得a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9＝32。所以(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2＝(a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9)(a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9)＝310×32＝312。故选D。答案　D二、填空题13．某元宵灯谜竞猜节目，有6名守擂选手和6名复活选手，从复活选手中挑选1名选手为攻擂者，从守擂选手中挑选1名选手为守擂者，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有________种。解析　根据分步乘法计数原理，得不同构成方式共有CC＝36种。答案　3614．(2021·太原市模拟考试)在(1－x)＋(1－x)2＋(1－x)3＋(1－x)4＋(1－x)5＋(1－x)6的展开式中，x3的系数为________。解析　由题意可得原展开式中x3的系数等于(1－x)3，(1－x)4，(1－x)5，(1－x)6的展开式中x3的系数的和，所以原展开式中x3的系数为(－1)3C＋(－1)3C＋(－1)3C＋(－1)3C＝－35。答案　－3515．(2021·合肥市质量检测)在5的展开式中，x的偶次幂项系数之和是________。解析　5的展开式的通项Tr＋1＝Cx5－r(－1)r·(x－2)r＝C(－1)rx5－3r(r＝0,1,2,3,4,5)。当r＝1时，T1＋1＝C(－x2)＝－5x2，当r＝3时，T3＋1＝C(－x－4)＝－10x－4，当r＝5时，T5＋1＝C(－x－10)＝－x－10，则展开式中x的偶次幂项的系数和为－5－10－1＝－16。答案　－1616．“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台。该平台设有“阅读文章”“视听学习”等多个栏目。假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有________种。解析　先在4个视频中选择2个视频，有C种方法，再按一定顺序排列有A种方法，最后把2篇文章插入2个视频形成的3个空位中有A种方法，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有CAA＝72(种)。答案　72