（通用版）中考数学一轮复习讲与练20《三角形的基本概念及全等三角形》精讲精练（教师版）

第二节　三角形的基本概念及全等三角形

　三角形三边关系

1.如图是边长为10 cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的是(　A　)

  ,A)  ,B)  ,C)  ,D)

2.如图①，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B＝30°，∠C＝100°，如图②.则下列说法正确的是(　C　)

　　图①　　　　　　　　　图②

A.点M在AB上

B.点M在BC的中点处

C.点M在BC上，且距点B较近，距点C较远

D.点M在BC上，且距点C较近，距点B较远

3.下列各组数中，能成为一个三角形的三条边长的是(　A　)

A.2，3，4    B.2，2，4    C.1，2，3     D.1，2，6

4.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的一个根，则这个三角形的周长是(　D　)

A.2或4    B.11或13     C.11       D.13

　三角形内外角关系

5.如图，平面上直线a，b分别过线段OK的两端点(数据如图)，则a，b相交所成的锐角是(　B　)

A.20°  B.30°  C.70°  D.80°

6.将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是(　C　)

A.45°  B.60°  C.75°  D.90°

7.如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点A出发后射向OB边.若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝90°－7°＝83°.当∠A<83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1＝∠2.若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A＝__76__°.

……若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值＝__6__°.

　三角形的四条重要线段

8.如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(　B　)

A.△ACD的外心  B.△ABC的外心  C.△ACD的内心  D.△ABC的内心

9.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点.若DE＝2，则BC＝(　C　)

A.2  B.3  C.4  D.5

10.如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离.于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM＝AC，BN＝BC，测得MN＝200 m，则A，B间的距离为__100__m.

　全等三角形

11.在△ABC中，∠ABC＝30°，AB边长为10，AC边的长度可以在3，5，7，9，11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是(　D　)

A.3个  B.4个   C.5个  D.6个

12.如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.

(1)求证：△ABC≌△DEF；

(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由.

解：(1)∵BF＝EC，

∴BF＋FC＝EC＋CF，即BC＝EF.

又AB＝DE，AC＝DF，

∴△ABC≌△DEF；

(2)AB∥DE，AC∥DF.

理由如下：∵△ABC≌△DEF，

∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.

∴AB∥DE，AC∥DF.

中考考点清单

　三角形的分类及三边关系

1.三角形的分类

(1)按角分类

(2)按边分类

2.三边关系：三角形任意两边之和__大于__第三边.任意两边之差小于第三边，如图，__a＋b__>c，|a－b|<__c__.

3.判断几条线段能否构成三角形：运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成一个三角形.

　三角形内角和定理及内外角关系

4.内角和定理：三角形的内角和等于__180°__.

5.内外角关系：三角形的一个外角__等于__与它不相邻的两个内角之和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

　三角形中的四条重要线段

6.

　全等三角形及其性质

7.定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

8.性质：

(1)全等三角形的对应边__相等__，对应角__相等__；

(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等，对应__周长__相等，对应面积__相等__.

　全等三角形的判定

全等三角形的证明及性质是河北中考的必考点，单独考查过，考查方式均为在解题过程中利用三角形全等的证明及性质得到相关结论.

涉及到的背景有：

(1)与三角形结合；

(2)与四边形结合；

(3)与圆结合.每年都在图形的平移、旋转及位似等图形变换的猜想证明题中考查，设问方式为证明线段之间的数量关系.

9.三角形全等的判定

　线段的垂直平分线

10.定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.

11.判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.

中考重难点突破　 　

　三角形三边之间的关系

【例1】若一个三角形的两边长分别是3，8，若第三边长是奇数，则第三边的长是(　A　)

A.5或7  B.7   C.9  D.7或9

【解析】先用三边关系确定好第三边的范围，再考虑奇数.

【答案】D

1.若一等腰三角形的两边长分别为2，4，则此等腰三角形的周长为__10__.

　三角形内角和定理、外角与内角的关系

【例2】如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝(　　)

A.35°　　 　B.95°　　 　C.85°　　 　D.75°

【答案】C

2.如图，直线AB∥CD，∠A＝40°，∠D＝45°，则∠1的度数等于(　B　)

A.80°  B.85°  C.90°  D.95°

3.如图，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，AB∥CD，∠A＝50°，则∠B的大小是(　A　)

A.50°  B.60°  C.40°  D.30°

　全等三角形的性质与判定

【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.

(1)求证：△BCD≌△FCE；

(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数.

解：(1)∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，

∴CD＝CE，∠DCE＝90°.

又∵∠ACB＝90°，

∴∠BCD＝90°－∠ACD＝∠FCE.

在△BCD和△FCE中，

∴△BCD≌△FCE(SAS)；

(2)由(1)可知△BCD≌△FCE，

∴∠BDC＝∠E.

∵EF∥CD，∴∠E＝180°－∠DCE＝90°，

∴∠BDC＝90°.

4.如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有(　C　)

A.1个  B.2个    C.3个  D.4个

第二节　三角形的基本概念及全等三角形

1.下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是(　B　)

,A)  ,B),C)  ,D)

2.下列线段中，不能组成三角形的是(　B　)

A.长度分别为a＋1，a＋2，a＋3(a＞0)

B.长度之比为4∶6∶10

C.长度分别为30 mm，8 cm，10 cm

D.长度分别为3x，5x，7x

3.已知点O是△ABC内的一点，且点O到三边的距离相等，则点O是△ABC的(　D　)

A.三条中线的交点

B.三条高的交点

C.一条平分线的中点

D.三条角平分线的交点

4.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的(　D　)

A.三条高的交点

B.三条角平分线的交点

C.三条中线的交点

D.三条边的垂直平分线的交点

5.如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC＝(　C　)

A.118°  B.119°  C.120°  D.121°

6.将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为(　A　)

A.75°  B.65°  C.45°  D.30°

7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′(点B的对应点是点B′，点C的对应点是C′)，连接CC′，若∠CC′B′＝32°，则∠B的大小是(　C　)

A.32°  B.64°     C.77°  D.87°

8.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD(　D　)

A.∠B＝∠C  B.AD＝AE    C.BD＝CE  D.BE＝CD

9.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于(　A　)

A.15°  B.17.5°     C.20°  D.22.5°

10.在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC，AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O.若OD＝2 cm，OE＝4 cm，则线段AO的长度为__4__cm.

11.如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为点G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分面积是__4__.

12.如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB＝CE，AC＝CD，求证：∠B＝∠E.

证明：∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB.

又∵AB＝CE，AC＝CD，

∴△CAB≌△DCE(SAS)，

∴∠B＝∠E.

13.如图，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE＝CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F.若AB＝6，则BF的长为(　C　)

A.6  B.7  C.8  D.10

14.如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1＝60°，则下列结论错误的是(　D　)

A.∠2＝60°  B.∠3＝60°   C.∠4＝120°  D.∠5＝40°

15.如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为(　D　)

A.50°  B.51°  C.51.5°  D.52.5°

16.如图，在△ABC中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝__70__°.

17.已知：如图，AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，求AC的长等于____.

18.如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形.

(1)若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB＝AD＝2 cm，BC＝5 cm，如图，量得第四根木条CD＝5 cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由；

(2)若固定二根木条AB，BC不动，AB＝2 cm，BC＝5 cm，量得木条CD＝5 cm，∠B＝90°，写出木条AD的长度可能取到的一个值；(直接写出一个即可)

(3)若固定一根木条AB不动，AB＝2 cm，量得木条CD＝5 cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A，C，D能构成周长为30 cm的三角形，求出木条AD，BC的长度.

解：(1)相等.连接AC，

∵AB＝DA＝2，BC＝CD＝5，AC＝AC，

∴△ABC≌△ADC，∴∠B＝∠D；

(2)答案不唯一，只要满足－5≤AD≤＋5即可，如AD＝5 cm；

(3)设AD＝x cm，BC＝y cm，根据题意，得

当点C在点D的右侧时，

解得

当点C在点D的左侧时，

解得

∴5＋8<17，∴不合题意.

∴AD＝13 cm，BC＝10 cm.