（通用版）中考数学一轮复习讲与练31《点直线与圆的位置关系》精讲精练（教师版）

这是一份（通用版）中考数学一轮复习讲与练31《点直线与圆的位置关系》精讲精练（教师版），共15页。试卷主要包含了判定切线的方法有三种，切线的五个性质，三角形的外心，三角形的内心等内容，欢迎下载使用。
第二节　点、直线与圆的位置关系　切线的性质与判定1.如图，∠ACB＝60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为(　C　)A.2π  B.4π  C.2  D.42.如图，半圆O的直径AB＝4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P 点在上且不与A点重合，但Q点可与B点重合.发现：的长与的长之和为定值l，求l；思考：点M与AB的最大距离为________，此时点P，A间的距离为________；点M与AB的最小距离为________，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形的面积为________；探究：当半圆M与AB相切时，求的长.(结果保留π， cos35°＝，cos55°＝)  解：发现：如图①，连接OP，OQ，图①则OP＝OQ＝PQ＝2.∴∠POQ＝60°，∴的长＝＝，∴l＝π·4－＝；思考：；2；；－；探究：半圆M与AB相切，分两种情况：①如图②，当半圆M与AO切于点T时，连接PO，MO，TM.图②则MT⊥AO，OM⊥PQ.在Rt△POM中，sin∠POM＝＝，∴∠POM＝30°，OM＝.在Rt△TOM中，OT＝＝，∴cos∠AOM＝＝，即∠AOM＝35°，∴∠POA＝35°－30°＝5°，∴的长＝＝.②如图③，当半圆M与BO切于点S时，连接QO，MO，SM.图③由对称性，可得的长＝，由l＝，得的长＝－＝.综上所述，的长为或.      中考考点清单　点与圆的位置关系(设r为圆的半径，d为点到圆心的距离)1.位置关系,点在圆内,点在圆上,点在圆外数量(d与r)的大小关系,__d＜r__,__d＝r__,__d＞r__　直线与圆的位置关系(设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)2.位置关系,相离,相切,相交公共点个数,0,1,2公共点的名称,无,切点,交点数量关系,__d＞r__,__d＝r__,__d＜r__　切线的性质与判定3.判定切线的方法有三种：①利用切线的定义，即与圆有__唯一公共点__的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于__半径__的直线是圆的切线；③经过半径的外端点并且__垂直__于这条半径的直线是圆的切线.4.切线的五个性质：①切线与圆只有__一个__公共点；②切线到圆心的距离等于圆的__半径__；③切线垂直于经过切点的__半径__；④经过圆心垂直于切线的直线必过__切点__；⑤经过切点垂直于切线的直线必过__圆心__.　切线长定理5.经过圆外一点作圆的切线，这点与__切点__之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长.经圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线平分两条切线的__夹角__.　三角形的外心和内心6.三角形的外心：三角形外接圆的圆心，是三角形__三边垂直平分线__的交点，到__三角形三个顶点的距离__相等.7.三角形的内心：三角形内切圆的圆心，是三角形__三条角平分线__的交点，到__三角形三边的距离__相等.【方法点拨】1.判断直线与圆相切时：(1)直线与圆的公共点已知时，连半径证垂直；(2)直线与圆的公共点未知时，过圆心作直线的垂线证垂线段等于半径.2.利用切线的性质解决问题，通常连过切点的半径，构造直角三角形来解决.3.直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若a，b是Rt△ABC的两条直角边，c为斜边，则(1)直角三角形的外接圆半径R＝；(2)直角三角形的内切圆半径r＝.中考重难点突破　点与圆和直线与圆的位置关系【例1】⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是(　D　)A.相切　　　　　B.相交       C.相离  D.不能确定【解析】利用点与直线的位置关系判断.【答案】B1.在同一平面直角坐标系中有5个点：A(1，1)，B(－3，－1)，C(－3，1)，D(－2, －2)，E(0，－3).画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系.解：所画的⊙P如图所示；由图可知⊙P的半径为，连接PD.∵PD＝＝，∴点D在⊙P上.　切线的性质及判定【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E.过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE.(1)求证：直线DF与⊙O相切；(2)若AE＝7，BC＝6，求AC的长.解：(1)如图，连接AD，OD.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵DF⊥AB，∴∠BFD＝90°.∵OC＝OD，∴∠ACB＝∠ODC，∴∠ODA＝∠BDF.∵∠ADC＝∠ODC＋∠ODA＝90°，∴∠ODC＋∠BDF＝90°，∴∠ODF＝90°，∴直线DF与⊙O相切；(2)如图，连接CE.∵AC为直径，∴∠AEC＝90°.设半径为r，则AC＝2r.在Rt△AEC中，CE2＝AC2－AE2＝4r2－49.在Rt△BCE中，BE＝2r－7，CE2＝BC2－BE2＝36－(2r－7)2＝－4r2＋28r－13，∴4r2－49＝－4r2＋28r－13，∴8r2－28r－36＝0，∴2r2－7r－9＝0，解得r＝4.5或r＝－1(舍去)，∴AC＝2r＝9，∴AC的长为9.2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P 点，若∠P＝40°，则∠D的度数为__115°__.　　3.如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC，BE.若AE＝6，OA＝5，则线段DC的长为__4__.4.如图所示，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.(1)求证：直线PB与⊙O相切；(2)PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC＝4，求弦CE的长.解：(1)过点O作OD⊥PB于点D，连接OC.∵AP与⊙O相切，∴OC⊥AP.又∵PO平分∠APB，∴OD＝OC，∴PB是⊙O的切线；(2)过点C作CF⊥PE于点F.在Rt△OCP中，OP＝＝5.∵S△OCP＝OC·CP＝OP·CF，∴CF＝.在Rt△COF中，OF＝＝，∴EF＝3＋＝.在Rt△CFE中，CE＝＝.    第二节　点、直线与圆的位置关系1.如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A(8，0)，与y轴分别交于点B(0，4)和点C(0，16)，则圆心M到坐标原点O的距离是(　D　)A.10  B.8  C.4  D.2　2.如图，已知等腰△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过D作⊙O的切线交BC于点E，若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是(　D　)A.3  B.4  C.  D.3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC，BC相切于点D，E.则AD为(　B　)A.2.5  B.1.6  C.1.5  D.14.如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD.已知PC＝PD＝BC.下列结论中，正确的个数为(　A　)①PD与⊙O相切；②四边形PCBD是菱形；③PO＝AB；④∠PDB＝120°.A.4个  B.3个    C.2个  D.1个5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是(　B　)A.1<r<4  B.2<r<4      C.1<r<8  D.2<r<86.已知：如图，半圆O的直径AB＝8，Rt△CDE中，∠D＝90°，CD＝8，A，B，D，E在同一条直线上，BD＝3，DE＝6.(1)半圆O向右平移__3或11__时，CD与半圆相切；(2)半圆O向右移8或__9＜x≤17__时，直线CE与半圆O只有1个交点.7.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACD＝∠B，AD⊥CD.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AD＝1，OA＝2，求AC的值.解：(1)连接OC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO，又∵∠ACD＝∠B，∴∠OCD＝∠OCA＋∠ACD＝∠OCA＋∠BCO＝∠ACB＝90°，即OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；(2)∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，又∵∠ACD＝∠B，∴△ACB∽△ADC，∴AC2＝AD·AB＝1×4＝4，∴AC＝2.8.如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是(　C　)A.6  B.2＋1      C.9  D.329.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB，BC均相切，则⊙O的半径为____.10.如图，AB是⊙O的直径，点C，D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.(1)求证：CE为⊙O的切线；(2)判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由.解：(1)连接OD.∵点C，D为半圆O的三等分点，∴∠BOC＝∠BOD，又∠BAD＝∠BOD，∴∠BOC＝∠BAD，∴AE∥OC.∵AD⊥EC，∴OC⊥EC，∴CE为⊙O的切线；(2)四边形AOCD是菱形.理由如下：∵点C，D为半圆O的三等分点，∴∠AOD＝∠COD＝60°.∵OA＝OD＝OC，∴△AOD和△COD都是等边三角形，∴OA＝AD＝DC＝OC＝OD，∴四边形AOCD是菱形.11.在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点.(1)如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝27°，求∠P的大小；(2)如图②，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝10°，求∠P的大小.解：(1)连接OC.∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°.∵∠CAB＝27°，∴∠COB＝2∠CAB＝54°，在Rt△OCP中，∠P＋∠COP＝90°，∴∠P＝90°－∠COP＝36°；(2)∵E为AC的中点，∴OD⊥AC，即∠AEO＝90°.在Rt△AOE中，∵∠EAO＝10°，∴∠AOE＝90°－∠EAO＝80°，∴∠ACD＝∠AOD＝40°.∵∠ACD是△ACP的一个外角，∴∠P＝∠ACD－∠CAP＝30°.12.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于D.以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D.(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AC＝3，∠B＝30°.①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积.(结果保留根号和π)解：(1)直线BC与⊙O相切.理由：连接OD.∵OA ＝ OD，∴∠OAD ＝∠ODA.∵∠BAC的平分线AD交BC边于D，∴∠CAD ＝∠OAD，∴∠CAD ＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB ＝∠C＝90°，即OD⊥BC.又∵直线BC过半径OD的外端，∴直线BC与⊙O相切；(2)①设OA＝OD＝r，在Rt△BDO中，∠B＝30°，∴OB＝2r.在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝6，∴3r＝6，解得r＝2；②在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴∠BOD＝60°，∴S扇形ODE＝π.S△BDO＝·OD·BD，由(1)知∠ODB＝∠ACB＝90°，∴△BOD∽△BAC，∴＝，即BD＝2，∴S△BDO＝·2·2＝2，∴所求图形面积为：S△BOD－S扇形ODE＝2－π.13.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF.(1)判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求CP的长.解：(1)AB是⊙O切线. 理由：连接DE，CF. ∵CD是直径，∴∠DEC＝∠DFC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠DEC＋∠ACE＝180°，∴DE∥AC,  ∴∠DEA＝∠EAC＝∠DCF.∵∠DFC＝90°，∴∠FCD＋∠CDF＝90°.∵∠ADF＝∠EAC＝∠DCF, ∴∠ADF＋∠CDF＝90°， ∴∠ADC＝90°，∴CD⊥AD,  ∴AB是⊙O切线；(2)由(1)可知，∠CPF＝∠CPA，∠FCP＝∠CAP，∴△PCF∽△PAC, ∴＝，  ∴PC2＝PF·PA.设PF＝a.则PC＝2a, ∴4a2＝a(a＋5), ∴a＝， ∴PC＝2a＝.14.如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C.(1)求证：CT为⊙O的切线；(2)若⊙O半径为2，CT＝，求AD的长.解：(1)连接OT.∵OA＝OT，∴∠OAT＝∠OTA.又∵AT平分∠BAD, ∴∠DAT＝∠OAT，∴∠DAT＝∠OTA，∴OT∥AC.又∵CT⊥AC，∴CT⊥OT，∴CT为⊙O的切线；(2)过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点，又∵CT⊥AC，∴OE∥CT，∴四边形OTCE为矩形.∵CT＝，∴OE＝.又∵OA＝2，∴AE＝＝＝1，∴AD＝2AE＝2.15.在图①和图②中，半圆O的直径AB＝2，点P(不与点A，B重合)为半圆上一点.将图形沿BP折叠，分别得到点A，O的对称点A′，O′.设∠ABP＝α.(1)当α＝15°时，过点A′作A′C∥AB，如图①，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由；(2)如图②，当α＝________°时，BA′与半圆O相切，当α＝________°时，点O′落在上；(3)当线段BO′与半圆O只有一个公共点B时，求α的取值范围.解：(1)A′C与半圆O相切.如图，分别过点A′，O作A′H⊥AB于点H，OD⊥A′C于点D.∵A′C∥AB，∴A′H＝OD.∵α＝15°，∴∠A′BH＝30°，∴OD＝A′H＝A′B＝AB＝1.∴A′C与半圆O相切；(2)45；30；(3)∵点P，A不重合，∴α＞0°.由(2)知，当α增大到30°时，点O′在半圆上，∴当0°＜α＜30°，点O′在半圆内，线段BO′与半圆只有一个公共点B.由(2)知，α增大到45°时，BA′与半圆相切，即线段BO′与半圆只有一个公共点B.当α继续增大时，点P逐渐靠近点B，但点P，B不重合，∴α＜90°.∴当45°≤α＜90°时，线段BO′与半圆只有一公共点B.综上所述，α的取值范围是0°＜α＜30°或45°≤α＜90°.