类型5题型2新运算型-2022年中考数学二轮复习重难题型突破试卷（教师版+学生版）

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类型二新运算型1.定义：形如a+bi的数称为复数（其中a和b为实数，i为虚数单位，规定i2=﹣1），a称为复数的实部，b称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如（1+3i）2=12+2×1×3i+（3i）2=1+6i+9i2=1+6i﹣9=﹣8+6i，因此，（1+3i）2的实部是﹣8，虚部是6．已知复数（3﹣mi）2的虚部是12，则实部是（　　）A．﹣6        B．6        C．5        D．﹣5【答案】C.解析：∵（3﹣mi）2=32﹣2×3×mi+（mi）2=9﹣6mi+m2i2=9+m2i2﹣6mi=9﹣m2﹣6mi，∴复数（3﹣mi）2的实部是9﹣m2，虚部是﹣6m，∴﹣6m=12，∴m=﹣2，∴9﹣m2=9﹣（﹣2）2=9﹣4=5．故选：C．2.对于有理数，规定新运算：x※y=ax+by+xy，其中a 、b是常数，等式右边的是通常的加法和乘法运算.已知：2※1=7,(-3)※3=3 ,则※b=          .【答案】.3.规定a*b=5a+2b﹣1，则（﹣4）*6的值为          .【答案】﹣9.4.对于有理数a，b，定义a*b＝3a+2b，则将［(x+y)*(x-y)］*3x化简，得     .【答案】21x+3y.5.定义一种新运算：a*b=,那么4*(-1)=       .【答案】2.6.规定一种新的运算：，则     ．【解答】解：把代入式子计算即可：．7.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接收方由密文→明文（解密）.已知加密规则为：明文对应密文， .例如：明文1，2，3，4对应的密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（    ）A．4，6，1，7   B．4，1，6，7   C．6，4，1，7   D．1，6，4，7【解答】解：根据对应关系，可以求得；代入得；在代入得；代入得．故选C．8.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图甲）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图乙）的对应点所具有的性质是(    )A．对应点连线与对称轴垂直         B．对应点连线被对称轴平分C．对应点连线被对称轴垂直平分     D．对应点连线互相平行【解答】：D9.定义为一次函数的特征数．（1）若特征数是的一次函数为正比例函数，求的值；（2）设点分别为抛物线与轴的交点，其中，且的面积为4，为原点，求图象过两点的一次函数的特征数．【解答】解：（1）特征数为的一次函数为，，．（2）抛物线与轴的交点为，与轴的交点为．若，则；若，则．当时，满足题设条件．此时抛物线为．它与轴的交点为，与轴的交点为，一次函数为或，特征数为或．10.设关于的一次函数与，则称函数（其中）为此两个函数的生成函数．（1）当时，求函数与的生成函数的值；（2）若函数与的图象的交点为，判断点P是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由．【解答】解：（1）当时，
（2）点在此两个函数的生成函数的图象上，
     设点的坐标为，
     ∵，
     ∴当时，，
     ，
     即点在此两个函数的生成图象上．11.阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．    解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；（3）是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：       把A（3,0）代入解析式求得所以设直线AB的解析式为：由求得B点的坐标为 把，代入中解得：，所以（2）因为C点坐标为(１,4)所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2，所以CD＝4-2＝2（平方单位）（3）假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则由S△PAB=S△CAB，得：化简得：，解得，将代入中，解得P点坐标为12.联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度数．探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长．【解答】解：①若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC，∵CD为等边三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°，∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=DB=AB，与已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC，②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC，③若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，∴∠APD=45°，故∠APB=90°；探究：解：∵BC=5，AB=3，∴AC=，①若PB=PC，设PA=x，则，∴，即PA=，②若PA=PC，则PA=2，③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能．故PA=2或． 12.如图，定义：若双曲线y＝(k＞0)与它的其中一条对称轴y＝x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线y＝(k＞0)的对径．（1）求双曲线y＝的对径；（2）若双曲线y＝(k＞0)的对径是10，求k的值；（3）仿照上述定义，定义双曲线y＝(k＜0)的对径．【解答】解：过A点作AC⊥x轴于C，如图，(1)解方程组，得，∴A点坐标为(1，1)，B点坐标为(－1，－1)，∴OC＝AC＝1，∴OA＝OC＝，∴AB＝2OA＝，∴双曲线y＝的对径是；(2)∵双曲线的对径为，即AB＝，OA＝，∴OA＝OC＝AC，∴OC＝AC＝5，∴点A坐标为(5，5)，把A(5，5)代入双曲线y＝ (k＞0)得k＝5×5＝25，即k的值为25；(3)若双曲线y＝(k＜0)与它的其中一条对称轴y＝－x相交于A、B两点，则线段AB的长称为双曲线y＝(k＞0)的对径．13.如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A，B重合），我们称∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角．（1）已知∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角．①若AB是⊙O的直径，则∠APB=      ；②若⊙O的半径是1，AB=，求∠APB的度数.（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心做一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．【解答】解：（1）①∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90°.         ②∵OA=OB=1, AB=，∴OA2+OB2=1+1=2=AB2∴△AOB是直角三角形∴∠AOB=90°.∴∠APB=∠AOB=45°                            图1                              图2（2）当P在优弧AB上时，如图1，这时∠MAN是△PAN的外角，因而∠APB=∠MAN-∠ANB；当P在劣弧AB上时，如图2，这时∠APB是△PAN的外角，因而∠APB=∠MAN+∠ANB；14.在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与x,y轴分别交于点A,B,则△OAB为此函数的坐标三角形．（1）求函数y＝x＋3的坐标三角形的三条边长；     （2）若函数y＝x＋b（b为常数）的坐标三角形周长为16, 求此三角形面积．【解答】解：(1) ∵ 直线y＝x＋3与x轴的交点坐标为（4,0），与y轴交点坐标为（0,3），                      ∴函数y＝x＋3的坐标三角形的三条边长分别为3,4,5.       (2) 直线y＝x＋b与x轴的交点坐标为（,0），与y轴交点坐标为（0,b），                             当b>0时,，得b =4，此时，坐标三角形面积为；                     当b<0时，，得b =－4，此时，坐标三角形面积为.                 综上，当函数y＝x＋b的坐标三角形周长为16时，面积为．   15.我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称         ，        ；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点），，，请你画出以格点为顶点，为勾股边且对角线相等的勾股四边形；          （3）如图2，将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连结，．求证：，即四边形是勾股四边形．【解答】解：（1）正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）（2）答案如图所示．或．      （3）证明：连结， ， ，即四边形是勾股四边形