专题1.4 二元一次方程组章末重难点题型-2021-2022学年七年级数学下册举一反三系列（人教版）

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专题1.4 二元一次方程组章末重难点题型
【人教版】



【考点1 二元一次方程的定义】
【方法点拨】二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫
做二元一次方程．二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所
有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
【例1】（2020春•雨花区校级期中）下列等式：①2x+y＝4；②3xy＝7；③x2+2y＝0；④1x-2＝y；⑤2x+y+z＝1，二元一次方程的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-1】（2020春•三台县期中）如果5x3m﹣2n﹣2yn﹣m+11＝0是二元一次方程，则2m﹣n＝（　　）
A．﹣2 B．3 C．4 D．2
【变式1-2】（2020春•巴州区校级期中）若ax+4y＝3x﹣7是关于x，y的二元一次方程，则a的取值范围是（　　）
A．a≠﹣2 B．a≠0 C．a≠3 D．a≠﹣1
【变式1-3】（2020春•邗江区校级期中）若（a﹣1）x|a|﹣1+3y＝1是关于x、y的二元一次方程，则a＝（　　）
A．1 B．2 C．﹣2 D．2和﹣2
【考点2 二元一次方程的解】
【方法点拨】一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一
次方程有无数解．
【例2】（2020春•吴中区期末）已知x=1y=2是关于x、y的方程ax+by＝3的一组解，则2a+4b﹣1的值为（　　）
A．2 B．﹣5 C．5 D．4
【变式2-1】（2020春•衢州期末）若x=-2y=m是方程nx+6y＝4的一个解，则代数式3m﹣n+1的值是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
【变式2-2】（2020春•雨花区校级月考）已知x=ay=b是二元一次方程4x﹣7y＝8的一个解，则代数式17﹣8a+14b的值是　 　．
【变式2-3】（2020春•崇川区校级期中）已知关于x、y的二元一次方程（3a+2）x﹣（2a﹣3）y﹣11﹣10a＝0，无论a取何值，方程都有一个固定的解，则这个固定解为　 　．
【考点3 二元一次方程的整数解】
【方法点拨】在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一
个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
【例3】（2020春•天宁区校级期中）二元一次方程2x+3y＝8有多少个正整数解？（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式3-1】（2020春•雨花区校级月考）二元一次方程2x+y＝7的非负整数解有（　　）组．
A．2 B．3 C．5 D．4
【变式3-2】（2020•汉阳区校级期末）我们探究得方程x+y＝2的正整数解只有1组，方程x+y＝3的正整数解只有2组，方程x+y＝4的正整数解只有3组，……，那么方程x+y+z＝9的正整数解得组数是（　　）
A．27 B．28 C．29 D．30
【变式3-3】（2020春•江岸区期末）关于x、y的方程2x+ay＝7仅有一组正整数解，则满足条件的正整数a的值为 　．
【考点4 二元一次方程组的定义】
【方法点拨】二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方
程组．二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未
知数．③每个方程都是一次方程．
【例4】（2020春•南岗区校级月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　）
A．x+3y=52x-3y=7 B．m2+3n=1m6+23n=1
C．m+n=5mn=6 D．2x+3y=101x-5y=6
【变式4-1】（2020春•潍坊期中）在方程组2x-y=1y=3z+1，x=23y-x=1，x+y=03x-y=5，xy=1x+2y=3，1x+1y=1x+y=1 中，是二元一次方程组的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式4-2】（2020春•涪城区期末）若方程组y|m|+(2-n)xy=2(m-1)x=3是关于x，y的二元一次方程组，则mn＝　 　．
【变式4-3】（2020春•水磨沟区校级期中）方程组y-(a-1)x=5y|a|+(b-5)xy=3是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是　 　．
【考点5 解二元一次方程组】
【方法点拨】解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（代入消元法）．或者，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数，把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（加减消元法）．②解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．③将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．④把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
【例5】（2020春•蔡甸区校级月考）用规定的方法解方程组：
（1）2x-3y=1y=x-4（用代入法）；
（2）4x-2y=53x-4y=15（用加减法）．
【变式5-1】（2020春•涧西区校级期中）解下列方程组：
（1）2x-5y=-12x+3y=7；
（2）x+y3+x-y2=63(x+y)-2(x-y)=28．
【变式5-2】（2020春•内乡县期中）用适当的方法解下列方程组：
（1）3x-13y=-16x+3y=2；
（2）2x-15+3y-24=23x+15-3y+24=0．
【变式5-3】（2020春•遂平县期中）解方程组：2x-15+0.3y-0.20.4=2①3x+15-0.03y+0.020.04=0②．
【考点6 二元一次方程组的解（同解方程组）】
【例6】（2020春•市中区校级月考）已知关于x，y的方程组3x+2y=16k5x-4y=-10k的解也满足方程4x﹣3y＝21，求k的值．
【变式6-1】（2020春•市中区校级月考）已知关于x，y的方程组2x-3y=3ax+by=-1和2ax+3by=33x+2y=11的解相同，求（3a+b）2020的值．
【变式6-2】（2020春•淮阳区期末）已知关于x，y的两个二元一次方程组2x+26=-5ymx=ny-4和3x=5y+36nx+my+8=0的解相同，求（m+2n）188的值．
【变式6-3】（2019春•覃塘区期中）已知关于x，y的二元一次方程组2x-3y=a+6x+2y=2a-8的解满足x﹣y＝a，求x2﹣y2的值．
【考点7 二元一次方程组的解（看错问题）】
【例7】（2020春•华亭市期末）在解关于x，y的方程组ax+by=2cx-7y=8时，老师告诉同学们正确的解是x=3y=-2，小明由于看错了系数c，因而得到的解为x=-2y=2，试求a+b+c的值．
【变式7-1】（2020春•房县期末）小红和小风两人在解关于x，y的方程组ax+3y=5bx+2y=8时，小红只因看错了系数a，得到方程组的解为x=-1y=2，小风只因看错了系数b，得到方程组的解为x=1y=4，求a，b的值和原方程组的解．
【变式7-2】（2020春•新洲区期中）甲、乙两人同时解方程组mx+y=5①2x-ny=13②甲解题看错了①中的m，解得x=72y=-2，乙解题时看错②中的n，解得x=3y=-7，试求原方程组的解．
【变式7-3】（2020春•邗江区期末）小明和小红同解同一个方程组时，小红不慎将一滴墨水滴在了题目上使得方程组的系数看不清了，显示如下▲x+■y=2(1)◆x-7y=8(2)，同桌的小明说：“我正确的求出这个方程组的解为x=3y=-2”，而小红说：“我求出的解是x=-2y=2，于是小红检查后发现，这是她看错了方程组中第二个方程中x的系数所致”，请你根据他们的对话，把原方程组还原出来．
【考点8 二元一次方程组的解（整体思想）】
【例8】（2020春•宛城区期中）已知关于x、y的二元一次方程组3x-my=5，2x+ny=6的解是x=1y=2，求关于a、b的二元一次方程组3(a+b)-m(a-b)=5，2(a+b)+n(a-b)=6的解．
【变式8-1】（2019秋•沙坪坝区校级月考）若关于m、n的二元一次方程组am-2n=132m+bn=14的解为m=4n=-1，求关于x、y的方程组a(2x+y)-2(x+2y)=132(2x+y)+b(x+2y)=14的解．
【变式8-2】（2020秋•鄠邑区期末）如果关于x、y的二元一次方程组3x-ay=162x+by=15的解是x=7y=1，不求a，b的值，你能否求关于x、y的二元一次方程组3(x+y)-a(x-y)=162(x+y)+b(x-y)=15的解？如果能，请求出方程组的解．
【变式8-3】（2020春•河口区期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想．
（1）解方程组3x-2y=-13x+2y=7，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为　 　；
（2）如何解方程组3(m+5)-2(n+3)=-13(m+5)+2(n+3)=7呢？我们可以把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为　 　；
由此请你解决下列问题：
若关于m，n的方程组am+bn=72m-bn=-2的值与3m+n=5am-bn=-1有相同的解，求a、b的值．
【考点9 二元一次方程的应用】
【例9】（2020春•天河区期末）把一根长为7m的钢管截断，从中得到两种不同规格的钢管，已知两种规格的钢管长分别为2m和1m，为了不造成浪费，不同的截法有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【变式9-1】（2020•黑龙江）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（　　）
A．12种 B．15种 C．16种 D．14种
【变式9-2】（2020春•回民区期末）陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还余418元．”王老师算了一下，说：“你肯定弄错了．”陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于5元的整数，那么笔记本的单价可能是（　　）元．
A．1元 B．2元 C．3元 D．4元
【变式9-3】（2020春•丽水期中）某商场计划用56000元从厂家购进60台新型电子产品，已知该厂家生产甲、乙、丙三种不同型号的电子产品，设甲、乙型设备应各买入x，y台，其中每台的价格、销售获利如下表：

甲型
乙型
丙型
价格（元/台）
1000
800
500
销售获利（元/台）
260
190
120
（1）购买丙型设备　 　台（用含x，y的代数式表示）；
（2）若商场同时购进三种不同型号的电子产品（每种型号至少有一台），恰好用了56000元，则商场有哪几种购进方案？
（3）在第（2）题的基础上，为了使销售时获利最多，应选择哪种购进方案？此时获利为多少？
【考点10 二元一次方程组的应用（配套问题）】
【例10】（2020春•卫辉市期中）某车间有工人56名，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓24个或螺母36个，应怎样分配工人，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套？
【变式10-1】（2019秋•东湖区期末）机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
【变式10-2】（2020春•新野县期末）实验室需要一批无盖的长方体模型，一张大纸板可以做成长方体的侧面30个，或长方体的底面25个，一个无盖的长方体由4个侧面和一个底面构成．现有26张大纸板，则用多少张做侧面，多少张做底面才可以使得刚好配套，没有剩余？
【变式10-3】用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）．
A方法：剪6个侧面；
B方法：剪4个侧面和5个底面．
现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．

（1）分别求裁剪出的侧面和底面的个数（用x的代数式表示）
（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
【考点11 二元一次方程组的应用（历史文献问题）】
【例11】（2020•藁城区期末）我国是最早认识方程组的国家．比欧洲早一千多年，在古代数学名著《九章算术》中就记载了利用算筹表示方程组和解方程组的问题，下面的表示的是方程组3x+2y+z=392x+3y+z=34x+2y+3z=26，那么算筹所表示的方程组的解是（　　）
A．x=1y=2 B．x=2y=3 C．x=4y=1 D．x=3y=3
【变式11-1】（2019•南昌二模）《孙子算经》有这样一道题：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？大意是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条长度多一尺，则木条长　 　尺．
【变式11-2】（2020春•武川县期中）“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雏兔同笼，上有二十五头，下有七十六足，问雏兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有25个头；从下面数，有76条腿，问笼中各有几只鸡和兔？
【变式11-3】（2020春•海州区期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十二两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两（袋
子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？（请用方程组解答）
【考点12 二元一次方程组的应用（几何图形问题）】
【例12】（2020春•临颍县期末）如图所示是由截面为同一种矩形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高10cm，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低40cm，则每块墙砖的截面面积是　 　．

【变式12-1】（2020春•西湖区校级期中）如图，在大长方形中放入6个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中大长方形的面积是（　　）

A．96 B．112 C．126 D．140
【变式12-2】（2020春•新乡期末）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为3mm的小正方形，则每个小长方形的面积为（　　）

A．120mm2 B．135mm2 C．108mm2 D．96mm2
【变式12-3】（2020春•崇川区校级期末）现有如图（1）的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a，宽为b．用3个如图（2）的全等图形和8个如图（1）的小长方形，拼成如图（3）的大长方形，若大长方形的宽为30cm，则图（3）中阴影部分面积与整个图形的面积之比为（　　）

A．15 B．16 C．17 D．18
【考点13 二元一次方程组的应用（行程问题）】
【例13】（2020春•西宁期末）甲，乙二人赛跑，如果乙比甲先跑8m，那么甲跑4s就能追上乙；如果甲让乙先跑1s，那么甲跑3s就能追上乙，设甲，乙每秒分别跑xm和ym，则可列出的方程组是（　　）
A．4x=4y+83x=3y+y B．4x+8=4y3x-3y=1
C．4x=4y+83x-1=3y D．4x-4y=83x-y=y
【变式13-1】（2020•绍兴）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km，它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（　　）
A．120km B．140km C．160km D．180km
【变式13-2】（2020春•广饶县期末）某体育场的环形跑道长400m，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和自行车，如果反向而行，他们每隔30s相遇一次．如果同向而行，那么每隔80s乙就追上甲一次．则甲的速度是　 　m/s．
【变式13-3】（2020秋•博野县期末）从少先队夏令营到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度通过平路，到学校共用了55分钟，回来时，通过平路速度不变，但以每小时6千米的速度上山，回到营地共花去了1小时10分钟，问夏令营到学校有多少千米？
【考点14 二元一次方程组的应用（工程问题）】
【例14】（2020春•邵阳校级月考）某市准备对一段长120m的河道进行清淤疏通，若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天；设甲工程队平均每天疏通河道x m，乙工程队平均每天疏通河道y m，则（x+y）的值为（　　）
A．20 B．15 C．10 D．5
【变式14-1】（2020春•九龙坡区校级期末）九龙坡区某工程公司积极参与“精美城市，幸福九龙坡建设，该工程公司下属的甲工程队、乙工程队别承包了杨家坪地区的A工程、B工程，甲工程队晴天需要14天完成，雨天工作效率下降30%，乙工程队晴天需15天完成，雨天工作效率下降20%，实际上两个工程队同时开工，同时完工．两工程队各工作了　 　 天．
【变式14-2】（2020春•扬州校级月考）甲、乙2个工人同时接受一批任务，上午工作的4小时中，甲先用了2.5小时改装机器以提高工效，因此，上午工作结束时，甲比乙少做40个零件；下午两人继续工作4小时后，全天总计甲反而比乙多做420个零件，问这一天甲、乙各做多少个零件？
【变式14-3】（2020春•邹平市期末）在《二元一次方程组》这一章的复习课上，王老师让同学们根据下列条件探索还能求出哪些量：在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建条335米长的公路，甲队每天修建20米，乙队每天修建25米，一共用15天完成．
（1）小红同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组x+y=？20x+25y=*请写出小红所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示　 　，y表示　 　；并写出该方程组中？处的数应是　 　，*处的数应是　 　；
（2）小芳同学的思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照小芳的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？
【考点15 二元一次方程组的应用（分段计费问题）】
【例15】（2019春•邵阳县期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：（水价计费＝自来水销售费用+污水处理费用）
自来水销售价格
污水处理价格
每户每月用水量
单价：元/吨
单价：元/吨
17吨及以下
a
0.80
超过17吨不超过30吨的部分
b
0.80
超过30吨的部分
6.00
0.80
已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．
（1）求a，b的值．
（2）小王家6月份交水费184元，则小王家6月份用水多少吨？
【变式15-1】（2019春•西湖区校级月考）为鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息，请解答：
自来水销售价格
每户每月用水量
单位：元/吨
15吨及以下
a
超过15吨但不超过25吨的部分
b
超过25吨的部分
5
（1）小王家今年3月份用水20吨，要交水费　 　元；（用a，b的代数式表示）
（2）小王家今年4月份用水21吨，交水费48元；邻居小李家4月份用水27吨，交水费70元，求a，b的值．
（3）在第（2）题的条件下，小王家5月份用水量与4月份用水量相同，却发现要比4月份多交9.6元钱水费，小李告诉小王说：“水价调整了，表中表示单位的a，b的值分别上调了整数角钱（没超过1元），其他都没变．”到底上调了多少角钱呢？请你帮小王求出符合条件的所有可能情况．
【变式15-2】（2020春•醴陵市期末）为建设资源节约型社会，醴陵市自2012年以来就对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180度及（含180度）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180度以上到450度时（含450度时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450度时的部分，执行市场调节价格．经统计，我市小军同学家今年2月份用电200度，电费为119元，3月份用电210度时，电费为125.4元．
（1）请根据小军家的用电量和电费情况，求出第一档的电价和第二档的电价分别是多少元/度．
（2）已知小军同学家今年4、5月份的家庭用电量分别为160度和230度，请问小军家4、5月份的电费分别为多少元？
【变式15-3】（2019•呼和浩特）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目
里程费
时长费
远途费
单价
1.8元/公里
0.3元/分钟
0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元．
小王与小张各自乘坐满滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．
（1）求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟；
（2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟，计算俩人各自的实际乘车时间．
【考点16 二元一次方程组的应用（方案设计问题）】
【例16】（2020春•江都区期末）某制纸厂生产A型、B型两种不同规格的纸，需用甲、乙两种不同的原料．若甲原料成本为0.5元/m3，乙原料成本为1元/kg，其它相关数据如下表所示：

甲原料/m3
乙原料/kg
售价/元
每百张A型纸
1
2
4
每百张B型纸
1.2
3
5
（1）若生产这两种纸需用甲原料108m3、乙原料240kg，则这两种规格的纸各多少百张？
（2）若该厂生产A型纸a百张，则生产这种A型纸的利润是多少元（用含a的代数式表示）？（利润＝售价﹣成本）
（3）该厂发现，当制纸总量超过10000百张时，需额外支出8800元的设备维护费，现该厂接到一笔订单，要求生产A型纸的数量是B型纸数量的2倍，若该厂希望获得13200元的利润，则有哪几种生产方案？
【变式16-1】（2020春•越城区校级期中）雅安地震发生后，全国人民抗震救灾，众志成城，值地震发生一周年之际，某地政府又筹集了重建家园的必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨/辆）
5
8
10
汽车运费（元/辆）
400
500
600
（1）全部物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车　 　辆来运送．
（2）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（3）已知三种车的总辆数为14辆，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种运费最省？
【变式16-2】（2020春•安丘市期末）某生态柑橘园现有柑橘21吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨．
（1）1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运柑橘多少吨？
（2）若计划租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载．
①请帮柑橘园设计租车方案；
②若A型车每辆需租金120元/次，B型车每辆需租金100元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【变式16-3】（2020春•雨花区校级月考）中雅初一年级举行一次公益活动，用步行的方式募集善款，其中挑战型路线的起点是中雅站，并沿着规定的线路到达终点非遗馆站．甲、乙两组同学从起点同时出发，已知甲组的速度为6km/h，乙组的速度为5km/h，当甲组到达终点后，立即以3km/h的速度按原线路返回，并在途中的P站与乙组相遇，P站与非遗馆站之间的路程为1.5km．
（1）当甲组到达终点时，乙组离终点还有多少路程？
（2）同学们在挑战前共同购进了50个糖画，已知有3种类型的糖画，其中A种每个10
元，B种每个12元，C种每个15元，购进两种类型糖画共用去550元，请你研究一下
进货方案；
（3）在第（2）问条件下，同学们卖一个A可获利1.5元，卖一个B可获利2元，卖一个C可获利2.5元，在同时购进两种不同类型的糖画方案中，为了使得获利最多，你选哪种方案？

【考点17 二元一次方程（组）与一次函数】
【例17】（2020春•新泰市期末）如图，l1经过点（0，1.5）和（2，3），l2经过原点和点（2，3），以两条直线l1、l2的交点坐标为解的方程组是（　　）

A． B．
C． D．
【变式17-1】（2020春•河口区期末）如图，直线l1的函数表达式为y＝3x﹣2，且直线l1与x轴交于点D．直线l2与x轴交于点A，且经过点B（4，1），直线l1与l2交于点C（m，3）．
（1）求点D和点C的坐标；
（2）求直线l2的函数表达式；
（3）利用函数图象写出关于x，y的二元一次方程组y=3x-26x+7y=31的解．

【变式17-2】（2020春•济源期末）已知二元一次方程x+y＝3，通过列举法将方程的解写成表格的形式：
x
﹣1
m
32
3
4
y
4
3
32
0
n
如果将二元一次方程的解所包含的未知数x的值对应平面直角坐标系中一个点的横坐标，未知数y的值对应这个点的纵坐标，这样每一个二元一次方程的解，就可以对应平面直角坐标系中的一个点，例如：方程x+y＝3的解x=1y=2，对应的点是（1，2）；
（1）表格中的m＝　 　，n＝　 　；
（2）通过以上确定对应点坐标的方法，将表格中给出的五个解依次转化为对应点的坐标，在所给的平面直角坐标系中画出这五个点；
（3）观察这些点猜想方程x+y＝3的所有解的对应点所组成的图形是　 　，并写出它的两个特征：①　 　，②　 　；
（4）若点P（﹣2a，a﹣1）恰好落在x+y＝3的解对应的点组成的图形上，求a的值．

【变式17-3】（2019春•长沙县期末）【教材再现】人教版八年级下册第19章《一次函数》中“思考”：这两个函数的图象形状都是直线，
并且倾斜程度相同函数y＝﹣6x的图象经过原点，函数y＝﹣6x+5的图象与y轴交于点（0，5），即它可以看作直线y＝﹣6x向上平移5个单位长度而得到．

【结论应用】一次函数y＝x﹣3的图象可以看作正比例函数　 　的图象向　 　平移　 　个单位长度而得到；
【类比思考】如果将直线y＝﹣6x的图象向右平移5个单位长度，那么得到的直线的函数解析式是怎样的呢？
我们可以这样思考：在直线y＝﹣6x上任意取两点A（0，0）和B（1，﹣6），将点A（0，0）和B（1，﹣6）向右平移5个单位得到点C（5，0）和D（6，﹣6），连接CD，则直线CD就是直线AB向右平移5个单位长度后得到的直线，设直线CD的解析式为：y＝kx+b（k≠0），将C（5，0）和D（6，6）代入得到：5k+b=06k+b=-6．解得k=-6b=30，所以直线CD的解析式为：y＝﹣6x+30；
①将直线y＝﹣6x向左平移5个单位长度，则平移后得到的直线解析式为　 　．
②若先将直线y＝﹣6x向左平移4个单位长度后，再向上平移5个单位长度，得到直线l，则直线l的解析式为　 　；
【拓展应用】已知直线l：y＝2x+3与直线l’关于x轴对称，求直线l'的解析式．