专题1.5 不等式与不等式组章末重难点题型-2021-2022学年七年级数学下册举一反三系列（人教版）

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专题1.5 不等式与不等式组章末重难点题型
【人教版】


【考点1 不等式的定义】
【方法点拨】不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
【例1】（2020春•丛台区校级期中）式子①x﹣y＝2 ②x≤y③x+y④x2﹣3y⑤x≥0⑥12x≠3中，属于不等式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】利用不等式的定义进行解答即可．
【解答】解：①x﹣y＝2是二元一次方程；
②x≤y是不等式；
③x+y是代数式；
④x2﹣3y是代数式；
⑤x≥0是不等式；
⑥12x≠3是不等式；
属于不等式的共3个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了不等式定义，关键是掌握用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
【变式1-1】（2020春•巴州区校级期中）在下列数学表达式：①﹣2＜0，②2x﹣5≥0，③x＝1，④x2﹣x，⑤x≠﹣2，⑥x+2＜x﹣1中，是不等式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】利用不等式定义进行解答即可．
【解答】解：①﹣2＜0，②2x﹣5≥0，⑤x≠﹣2，⑥x+2＜x﹣1是不等式，共4个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了不等式定义，关键是掌握用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
【变式1-2】（2020春•叶集区期末）式子：①2＞0；②4x+y≤1；③x+3≠0；④y﹣7；⑤m﹣2.5＞3．其中不等式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．据此可得答案．
【解答】解：不等式有：①2＞0；②4x+y≤1；③x+3≠0；⑤m﹣2.5＞3，共有4个．
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式的定义，用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
【变式1-3】（2020春•毕节市期中）老师在黑板上写了下列式子：①x﹣1≥1；②﹣2＜0；③x≠3；④x+2；⑤x-12y＝0；⑥x+2y≤0．你认为其中是不等式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】主要依据不等式的定义﹣﹣﹣﹣﹣用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【解答】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，
所以：①x﹣1≥1；②﹣2＜0；③x≠3；⑥x+2y≤0．为不等式，共有4个．
故选：C．
【点评】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞＜≤≥≠．
【考点2 不等式的基本性质】
【方法点拨】不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
【例2】（2020春•开封期末）下列不等式的变形正确的是（　　）
A．若a＜b，且c≠0，则ac＜bc B．若a＞b，则1+a＜1+b
C．若ac2＜bc2，则a＜b D．若a＞b，则ac2＞bc2
【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可．
【解答】解：A．若a＜b，当c＜0时，ac＞bc，故本选项不符合题意；
B．若a＞b，则1+a＞1+b，故本选项不符合题意；
C．若ac2＜bc2，则a＜b，故本选项符合题意；
D．若a＞b，c＝0，则ac2＝bc2，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
【变式2-1】（2020春•江阴市期末）若a＜b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a+2c＜b+2c B．2c﹣a＜2c﹣b C．a+2c＞b+2c D．2ac＜2bc
【分析】根据不等式的性质分别进行判断即可．
【解答】解：A、∵a＜b，∴a+2c＜b+2c，原变形一定成立，故此选项符合题意；
B、∵a＜b，∴2c﹣a＞2c﹣b，原变形不成立，故此选项不符合题意；
C、∵a＜b，∴a+2c＜b+2c，原变形不成立，故此选项不符合题意；
D、∵a＜b，∴2ac＜2bc（c＞0）或2ac＝2bc（c＝0）或2ac＞2bc（c＜0），原变形不一定成立，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：不等式两边同时加上或减去一个数，不等式不改变方向；不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等式不改变方向；不等式两边同时乘以或乘以一个负数，不等式要改变方向．
【变式2-2】（2020春•福田区期中）下列不等式变形错误的是（　　）
A．若a＞b，则1﹣a＜1﹣b
B．若a＜b，则 ax2≤bx2
C．若ac＞bc，则a＞b
D．若m＞n，则mx2+1＞nx2+1
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A、∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴1﹣a＜1﹣b，正确，故本题选项不符合题意；
B、∵a＜b，
∴ax2≤bx2，正确，故本题选项不符合题意；
C、当c＜0时，根据ac＞bc不能得出a＞b，错误，故本题选项不符合题意；
D、∵m＞n，
∴mx2+1＞nx2+1，正确，故本题选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．
【变式2-3】（2020春•泰山区期末）如果a＜b，c＜0，那么下列不等式成立的是（　　）
A．a+c＜b B．a﹣c＞b﹣c
C．ac+1＜bc+1 D．a（c﹣2）＜b（c﹣2）
【分析】根据不等式的性质解答．
【解答】解：A、由a＜b，c＜0得到：a+c＜b+0，即a+c＜b，故本选项符合题意．
B、当a＝1，b＝2，c＝﹣3时，不等式a﹣c＞b﹣c不成立，故本选项不符合题意．
C、由a＜b，c＜0得到：ac+1＞bc+1，故本选项不符合题意．
D、由于c﹣2＜﹣2，所以a（c﹣2）＞b（c﹣2），故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
【考点3 不等式性质的运用】
【方法点拨】含字母系数的不等式的解法，有一定难度，注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【例3】（2020春•南岗区校级月考）如果一元一次不等式（m+2）x＞m+2的解集为x＜1，则m必须满足的条件是（　　）
A．m＜﹣2 B．m≤﹣2 C．m＞﹣2 D．m≥﹣2
【分析】根据解集中不等号的方向发生了改变，得出m+2＜0，求出即可．
【解答】解：∵不等式（m+2）x＞m+2的解集是x＜1，
∴m+2＜0，
∴m＜﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的解集的应用，关键是能根据题意得出m+2＜0．
【变式3-1】（2020春•郯城县校级期末）如果关于x的不等式（a+2020）x﹣a＞2020的解集为x＜1，那么a的取值范围是（　　）
A．a＞﹣2020 B．a＜﹣2020 C．a＞2020 D．a＜2020
【分析】根据解一元一次不等式的方法和不等式的性质，可以得到a的取值范围．
【解答】解：∵不等式（a+2020）x﹣a＞2020的解集为x＜1，
∴a+2020＜0，
解得，a＜﹣2020，
故选：B．
【点评】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法和不等式的性质．
【变式3-2】（2020春•仁寿县期中）若不等式ax-52-2-ax4＞0的解集是x＞1，则a的值是（　　）
A．3 B．4
C．﹣4 D．以上答案都不对
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：∵ax-52-2-ax4＞0，
∴2（ax﹣5）﹣（2﹣ax）＞0，
2ax﹣10﹣2+ax＞0，
3ax＞12，
∴ax＞4，
∵不等式的解集为x＞1，
∴a＝4，
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
【变式3-3】（2020•回民区二模）如果不等式（a﹣2）x＞2a﹣5的解集是x＜4，则不等式2a﹣5y＞1的解集是（　　）
A．y＜52 B．y＜25 C．y＞52 D．y＞25
【分析】先由不等式（a﹣2）x＞2a﹣5的解集是x＜4，根据不等式的性质得出a﹣2＜0，2a-5a-2=4，解得a=32，则2a＝3，再解不等式2a﹣5y＞1即可．
【解答】解：∵不等式（a﹣2）x＞2a﹣5的解集是x＜4，
∴a﹣2＜0，2a-5a-2=4，
解得a=32，
∴2a＝3，
∴不等式2a﹣5y＞1的解集为y＜25．
故选：B．
【点评】本题考查了含字母系数的不等式的解法，有一定难度，注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【考点4 解一元一次不等式】
【方法点拨】根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
【例4】（2020春•福山区期末）解下列不等式，并把解集表示在数轴上．
（1）1-4x-13＞3x
（2）2x+13≥3(x-1)2+1
【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解答】解：（1）1-4x-13＞3x，
3﹣4x+1＞9x，
﹣4x﹣9x＞﹣3﹣1，
﹣13x＞﹣4，
x＜413，
在数轴上表示为：
；

（2）2x+13≥3(x-1)2+1，
4x+2≥9x﹣9+6，
4x﹣9x≥﹣9+6﹣2，
﹣5x≥﹣5，
x≤1，
在数轴上表示为：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集的应用，注意：解一元一次不等式的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1．
【变式4-1】（2020春•南关区校级期中）解不等式：1+x2-2x-13≤1，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】首先去分母，然后去括号，移项、合并同类项，系数化为1，即可求得原不等式的解集．
【解答】解：去分母，得：3（1+x）﹣2（2x﹣1）≤6，
去括号，得：3+3x﹣4x+2≤6，
移项，合并同类项，得：﹣x≤1，
则x≥﹣1．
在数轴上表示为：
．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
【变式4-2】（2020春•河南期末）解不等式：2x-1.50.5-3x-0.60.2＞0.19-0.3x0.01；
【分析】先把不等式的分母化为整数，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1即可；
【解答】解：2x-1.50.5-3x-0.60.2＞0.19-0.3x0.01，
整理得，（4x﹣3）﹣（15x﹣3）＞19﹣30x，
去括号得，4x﹣3﹣15x+3＞19﹣30x，
移项、合并同类项得，19x＞19，
把x的系数化为1得，x＞1；
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
【变式4-3】（2020春•思明区校级月考）x取何正整数时，代数式x+13-2x-14的值不小于代数式x-36的值？
【分析】根据题意两个代数式建立不等式，求得不等式的解集，求得x的正整数解即可．
【解答】解：由题意得x+13-2x-14≥x-36
4x+4﹣6x+3≥2x﹣6
4x﹣6x﹣2x≥﹣6﹣4﹣3
﹣4x≥﹣13
解得x≤134，
x是正整数，可以取1、2、3．
【点评】此题考查一元一次不等式的正整数解，求得不等式的解集是解决问题的关键．
【考点5 解一元一次不等式组】
【方法点拨】不等式组的解的求解过程：分别求出每个不等式的解、把两个不等式的解表示在同一数轴上、取公共部分作为不等式组的解（若没有公共部分则无解）.
口诀：大大取大，小小取小，大小小大两头夹，大大小小是无解.
【例5】（2020春•雨花区校级月考）解不等式组5x-4≤2+7xx-x-13＜1+x2，并把它们的解在数轴上表示出来．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式5x﹣4≤2+7x，得：x≥﹣3，
解不等式x-x-13＜1+x2，得：x＜1，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式5-1】（2020春•太湖县期末）解不等式组：x-32(2x-1)≤41+3x2＞2x-1并将解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：x-32(2x-1)≤4①1+3x2＞2x-1②，
由①得：x≥-54，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解集为-54≤x＜3，
表示在数轴上，如图所示：

【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
【变式5-2】（2020春•雨花区校级期中）解不等式组5x+7≥3(x-1)①2-2x+53＞x-3②，并将解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出公共部分，表示在数轴上即可．
【解答】解：5x+7≥3(x-1)①2-2x+53＞x-3②，
由①得，x≥﹣5，
由②得x＜2，
∴不等式组的解集为﹣5≤x＜2．
在数轴上表示为：

【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式5-3】（2020春•东阿县期末）根据要求解不等式组．
（1）2x-6＜3xx+25-x-14≥0；
（2）2x-13-5x-12≤15x-1＜3(x+1)（在数轴上把它的解集表示出来）．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）解不等式2x﹣6＜3x，得：x＞﹣6，
解不等式x+25-x-14≥0，得：x≤13，
则不等式组的解集为﹣6＜x≤13；

（2）解不等式2x-13-5x-12≤1，得：x≥-511，
解不等式5x﹣1＜3（x+1），得：x＜2，
则不等式组的解集为-511≤x＜2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【考点6 方程（组）的解构造不等式（组）求字母范围】
【方法点拨】不等式组的解的求解过程：分别求出每个不等式的解、把两个不等式的解表示在同一数轴上、取公共部分作为不等式组的解（若没有公共部分则无解）.
口诀：大大取大，小小取小，大小小大两头夹，大大小小是无解.
【例6】（2020春•龙华区校级期末）已知关于x的方程5x+m3-x-12=m的解为非负数，则m的范围为　　．
【分析】解方程求出x=4m-37，根据方程的解为非负数得出关于m的不等式，解之可得．
【解答】解：解方程5x+m3-x-12=m得x=4m-37，
根据题意，得：4m-37≥0，
则4m﹣3≥0，
∴4m≥3，
解得m≥34，
故答案为：m≥34．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
【变式6-1】（2020春•高州市期末）已知关于x，y的二元一次方程组2x+y=1+2mx+2y=2-m的解满足不等式x+y为非负数，求实数m的取值范围．
【分析】解此题时可以解出二元一次方程组中x，y关于a的式子，代入x+y＞0，然后解出a的取值范围．
【解答】解：方程组中两个方程相加得3x+3y＝3+m，
即x+y＝1+13m，
又x+y≥0，
即1+13m≥0，
解一元一次不等式得m≥﹣3．
【点评】本题是综合考查了二元一次方程组和一元一次不等式的综合运用，灵活运用二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
【变式6-2】（2020秋•大渡口区月考）已知方程组3x+y=-13+mx-y=1+3m的解满足x为非正数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若不等式（2m+1）x﹣2m＜1的解为x＞1，请写出整数m的值．
【分析】（1）解方程组用m的代数式表示出x、y，根据x为非正数，y为负数列出关于m的不等式组，解之求得m的范围；
（2）根据不等式的性质得出2m+1＜0，求得m的范围，结合m为整数及（1）中m的范围可得答案．
【解答】解：（1）解方程组3x+y=-13+mx-y=1+3m得：x=m-3y=-2m-4．
∵x≤0，y＜0，
∴m-3≤0-2m-4＜0．
解得﹣2＜m≤3；

（2）不等式（2m+1）x﹣2m＜1移项得：（2m+1）x＜2m+1．
∵不等式（2m+1）x﹣2m＜1的解为x＞1，
∴2m+1＜0，
解得m＜-12．
又∵﹣2＜m≤3，
∴m的取值范围是﹣2＜m＜-12．
又∵m是整数，
∴m的值为：﹣1．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是得出关于m的不等式组并求解．
【变式6-3】（2020春•洪山区期末）已知关于x、y的方程组3x-y=2a-5x+2y=3a+3的解都为正数，且满足a+b＝4，b＞0，z＝a﹣3b，则z的取值范围是（　　）
A．﹣8＜z＜4 B．﹣7＜z＜8 C．﹣7＜z＜4 D．﹣8＜z＜8
【分析】先把不等式组解出，再根据解为正数列关于a的不等式组解出即可得到a的范围；根据题意得出b＝4﹣a＞0，即可得到1＜a＜4，代入z＝a﹣3b得到z＝4a﹣12，根据a的取值可得结论．
【解答】解：解这个方程组的解为：x=a-1y=a+2，
由题意，得a-1＞0a+2＞0，
则原不等式组的解集为a＞1；
∵a+b＝4，b＞0，
∴b＝4﹣a＞0，
∵a＞1，
∴1＜a＜4，
∵a﹣3b＝a﹣3（4﹣a）＝4a﹣12，z＝a﹣3b，
故﹣8＜z＜4．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程．
【考点7 根据不等式（组）的解集求字母范围】
【例7】（2020春•章丘区期末）若不等式2x+53-1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式2x+m＜1成立，则m的取值范围是（　　）
A．m＜-35 B．m≤-35 C．m＞-35 D．m≥-35
【分析】求出不等式2x+53-1≤2﹣x的解，求出不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）的解集，得出关于m的不等式，求出m即可．
【解答】解：解不等式2x+53-1≤2﹣x得：x≤45，
∵不等式2x+53-1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式2x+m＜1成立，
∴x＜1-m2，
∴1-m2＞45，
解得：m＜-35，
故选：A．
【点评】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于m的不等式是解此题的关键．
【变式7-1】（2020春•邗江区期末）已知x＝4是不等式mx﹣3m+2≤0的解，且x＝2不是这个不等式的解，则实数m的取值范围为（　　）
A．m≤﹣2 B．m＜2 C．﹣2＜m≤2 D．﹣2≤m＜2
【分析】根据x＝4是不等式mx﹣3m+2≤0的解，且x＝2不是这个不等式的解，列出不等式，求出解集，即可解答．
【解答】解：∵x＝4是不等式mx﹣3m+2≤0的解，
∴4m﹣3m+2≤0，
解得：m≤﹣2，
∵x＝2不是这个不等式的解，
∴2m﹣3m+2＞0，
解得：m＜2，
∴m≤﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是根据x＝4是不等式mx﹣3m+2≤0的解，且x＝2不是这个不等式的解，列出不等式，从而求出m的取值范围．
【变式7-2】（2020春•渝中区校级期末）关于x的方程3﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负整数，且关于x的不等式组x-2(x-1)≥32k+x3≤x无解，则符合条件的整数k的值的和为（　　）
A．5 B．2 C．4 D．6
【分析】表示出方程的解，由方程的解为非负整数
【解答】解：解方程3﹣2x＝3（k﹣2）得x=9-3k2，
∵方程的解为非负整数，
∴9-3k2≥0，即k≤3，即非负整数k＝1，2，3，
不等式组整理得：x≤-1x≥k，
由不等式组无解，得到k＞﹣1，
∴﹣1＜k≤3，即整数k＝0，1，2，3，
综上，k＝1，2，3，
则符合条件的整数k的值的和为6．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次方程的解，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
【变式7-3】已知不等式组2x-3a＜7b+26b-3x-3＜5b．
①若它的解集是4＜x＜23，求a，b的取值．
②若a＝b，且上述不等式无解，求a的取值范围．
【分析】①先用字母a，b表示出不等式组的解集13（b﹣3）＜x＜12（3a+7b+2），然后再根据已知解集是4＜x＜23，对应得到相等关系联立成方程组，求出a，b的值；
②把不等式组的解集用a表示，进一步利用不等式组解集的求法得出答案即可．
【解答】解：①原不等式可化为x＜12(3a+7b+2)x＞13(b-3)，
则13（b﹣3）＜x＜12（3a+7b+2），
∵4＜x＜23，
∴13(b-3)=412(3a+7b+2)=23，
解得：a=-613b=15；
②若a＝b，则不等式为x＜5a+1x＞13(a-3)
∵不等式无解，
∴5a+1≤13（a﹣3）
解得：a≤-37．
【点评】主要考查了一元一次不等式组的解定义，解此类题是要先用字母a，b表示出不等式组的解集，然后再根据已知解集，对应得到相等或不等关系，解关于字母a，b的方程组或不等式即可求解．
【考点8 利用整数解求字母取值范围】
【例8】（2020春•惠安县期末）已知关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，则满足条件的整数a的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】先求出不等式的解集，根据不等式的整数解得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集，再求出整数a即可．
【解答】解：解不等式3x﹣2a＜4﹣5x得：x＜a+24，
∵关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，是1，2，3，
∴3＜a+24≤4，
解得：10＜a≤14，
∴整数a可以是11，12，13，14，共4个，
故选：B．
【点评】本题考查Lee解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解和解一元一次不等式组等知识点，能得出关于a的不等式组是解此题的关键．
【变式8-1】（2020春•长沙期末）关于x的不等式组52x+1＞32(x-1)12x-1≤a-32x只有四个整数解，则a的取值范围为（　　）
A．1＜a≤3 B．1≤a＜3 C．3＜a≤5 D．3≤a＜5
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组只有四个整数解，确定出a的范围即可．
【解答】解：不等式组整理得：x＞-52x≤a+12，
解得：-52＜x≤a+12，
由不等式组只有四个整数解，得到整数解为﹣2，﹣1，0，1，
∴1≤a+12＜2，
解得：1≤a＜3．
故选：B．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集是解本题的关键．
【变式8-2】（2020春•津南区校级期末）已知关于x的不等式组x-m＞02x-n≤0的整数解是﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，若m，n为整数，则m+n的值是（　　）
A．3 B．4 C．5或6 D．6或7
【分析】先解两个不等式，结合不等式组的整数解得出m、n的取值范围，结合m、n为整数可以确定m、n的值，代入计算可得．
【解答】解：解不等式x﹣m＞0，得：x＞m，
解不等式2x﹣n≤0，得：x≤n2，
∵不等式组的整数解是﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，
∴﹣3≤m＜﹣2，4≤n2＜5，即8≤n＜10，
∵m，n为整数，
∴m＝﹣3，n＝8或n＝9，
当n＝8时，m+n＝﹣3+8＝5；
当n＝9时，m+n＝﹣3+9＝6；
综上，m+n的值为5或6，
故选：C．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式8-3】（2020春•万州区期末）已知关于x、y的方程组ax+3y=12x-3y=0的解为整数，且关于x的不等式组2(x+1)＜x+53x＞a-4有且仅有5个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣6
【分析】根据不等式组求出a的范围，然后再根据方程组求出a的取值，从而确定的a的可能值即可得出答案．
【解答】解：解方程组ax+3y=12x-3y=0得：x=12a+1y=4a+1，
∵方程组ax+3y=12x-3y=0的解为整数，
∴a+1＝±1、±2、±4，
解得：a＝﹣2或0或1或﹣3或3或﹣5，
解不等式组2(x+1)＜x+53x＞a-4，得：a-43＜x＜3，
∵不等式组2(x+1)＜x+53x＞a-4有且仅有5个整数解，
∴﹣3≤a-43＜-2，
解得：﹣5≤a＜﹣2，
∴满足条件的整数a有﹣5，﹣3、共2个，
∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣8．
故选：C．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据题意得出关于a的不等式组．
【考点9 不等式（组）中的新定义问题】
【例9】（2020春•高邮市期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．
（1）不等式x≥2　 　x≤2的“云不等式”：（填“是”或“不是”）．
（2）若关于x的不等式x+2m≥0不是2x﹣3＜x+1的“云不等式”，求m的取值范围；
（3）若a≠﹣1，关于x的不等式x+3＞a与不等式ax﹣1≤a﹣x互为“云不等式”，求a的取值范围．
【分析】（1）根据云不等式的定义即可求解；
（2）解不等式x+2m≥0可得x≥﹣2m，解不等式2x﹣3＜x+1得x＜4，再根据云不等式的定义可得﹣2m＞3，解不等式即可求解；
（3）分两种情况讨论根据云不等式的定义得到含a的不等式，解得即可．
【解答】解：（1）∵不等式x≥2和不等式x≤2有公共整数解2，
∴不等式x≥2是x≤2的“云不等式”，
故答案为：是；
（2）解不等式x+2m≥0可得x≥﹣2m，
解不等式2x﹣3＜x+1得x＜4，
∵关于x的不等式x+2m≥0不是2x﹣3＜x+1的“云不等式”，
∴﹣2m≥4，
解得m≤﹣2．
故m的取值范围是m≤﹣2；
（3）①当a+1＞0时，即a＞﹣1时，依题意有a﹣3＜1，即a＜4，故﹣1＜a＜4；
②当a+1＜0时，即a＜﹣1时，始终符合题意，故a＜﹣1；
综上，a的取值范围为a＜﹣1或﹣1＜a＜4．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
【变式9-1】（2020春•椒江区期末）规定min（m，n）表示m，n中较小的数（m，n均为实数，且mn），例如：min{3，﹣1}＝﹣1，、min{2，3}=2据此解决下列问题：
（1）min{-12，-13}=　-12　；
（2）若min{2x-13，2}=2，求x的取值范围；
（3）若min{2x﹣5，x+3}＝﹣2，求x的值．
【分析】（1）利用题中的新定义确定出所求即可；
（2）利用题中的新定义得出2x-13≥2，计算即可求出x的取值；
（3）利用题中的新定义分类讨论计算即可求出x的值．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：min{-12，-13}=-12；
故答案为：-12；
（2）由题意2x-13≥2，
解得：x≥3.5；
（3）若2x﹣5＝﹣2，解得：x＝1.5，此时x+3＝4.5＞﹣2，满足题意；
若x+3＝﹣2，解得：x＝﹣5，此时2x﹣5＝﹣15＜﹣2，不符合题意，
综上，x＝1.5．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【变式9-2】（2020春•丹阳市校级期末）定义一种新运算“a※b”：当a≥b时，a※b＝2a+b；当a＜b时，a※b＝2a﹣b．
例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※12＝2×（﹣6）﹣12＝﹣24．
（1）填空：（﹣2）※3＝　 　；
（2）若（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），则x的取值范围为　 　；
（3）已知（2x﹣6）※（9﹣3x）＜7，求x的取值范围；
（4）小明在计算（2x2﹣2x+4）※（x2+4x﹣6）时随意取了一个x的值进行计算，得出结果是0，小丽判断小明计算错了，小丽是如何判断的？请说明理由．
【分析】（1）根据公式计算可得；
（2）结合公式知3x﹣4≥2x+3，解之可得；
（3）由题意可得2x-6≥9-3x2(2x-6)+(9-3x)＜7或2x-6＜9-3x2(2x-6)-(9-3x)＜7，分别求解可得；
（4）先利用作差法判断出2x2﹣2x+4＞x2+4x﹣6，再根据公式计算（2x2﹣2x+4）※（x2+4x﹣6）即可．
【解答】解：（1）（﹣2）※3＝2×（﹣2）﹣3＝﹣7，
故答案为：﹣7；

（2）∵（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），
∴3x﹣4≥2x+3，
解得：x≥7，
故答案为：x≥7．

（3）由题意知2x-6≥9-3x2(2x-6)+(9-3x)＜7或2x-6＜9-3x2(2x-6)-(9-3x)＜7，
解得：x＜10；

（4）∵2x2﹣2x+4﹣（x2+4x﹣6）
＝x2﹣6x+10
＝（x﹣3）2+1＞0
∴2x2﹣2x+4＞x2+4x﹣6，
原式＝2（2x2﹣2x+4）+（x2+4x﹣6）
＝4x2﹣4x+8+x2+4x﹣6
＝5x2+4；
∴小明计算错误．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤和弄清新定义是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
【变式9-3】（2019秋•九龙坡区校级月考）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组x-2＞0x＜5的解集为2＜x＜5．因为2＜3＜5．所以称方程2x﹣6＝0为不等式组x-2＞0x＜5的相伴方程．
（1）若关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组3x-6＞4-xx-1≥4x-10的相伴方程，求k的取值范围；
（2）若方程2x+4＝0，2x-13=-1都是关于x的不等式组(m-2)x＜m-2x+5≥m的相伴方程，求m的取值范围；
（3）若关于x的不等式组-x＞-2x+12x≤n+2的所有相伴方程的解中，有且只有2个整数解，求n的取值范围．
【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，根据相伴方程的定义列出关于k的不等式组，解之即可；
（2）先求出方程的解和不等式组的解集，分m＞2和m＜2讨论，即可得出答案；
（3）先求出不等式组的解集，然后根据题意列出不等式即可求出答案．
【解答】解：（1）∵不等式组为3x-6＞4-xx-1≥4x-10，解得52＜x≤3，
∵方程为2x﹣k＝2，解得x=2+k2，
∴根据题意可得，52＜k+22≤3，
∴解得：3＜k≤4，
故k取值范围为：3＜k≤4．
（2）∵方程为2x+4＝0，2x-13=-1，
解得：x＝﹣2，x＝﹣1；
∵不等式组为(m-2)x＜m-2x+5≥m，
当m＜2时，不等式组为x＞1x≥m-5，
此时不等式组解集为x＞1，不符合题意，舍；
∴当m＞2时不等式组解集为m﹣5≤x＜1，
∴根据题意可得，m＞2m-5≤-2，解得2＜m≤3；
故m取值范围为：2＜m≤3．
（3）∵不等式组为-x＞-2x+12x≤n+2，解得1＜x≤n+22，
根据题意可得，3≤n+22＜4，解得4≤n＜6，
故n取值范围为4≤n＜6．
【点评】本题考查了新定义，解一元一次方程和一元一次不等式组，理解相伴方程的定义是解题关键，属于中档题．
【考点10 不等式（组）的应用（程序框图）】
【例10】（2020春•渝中区校级期末）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（　　）

A．2＜x≤4 B．2≤x＜4 C．2＜x＜4 D．2≤x≤4
【分析】根据程序运算进行了3次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【解答】解：依题意，得：3(3x-2)-2≤283[3(3x-2)-2]-2＞28，
解得：2＜x≤4．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
【变式10-1】（2020春•南岸区期末）如图，规定程序运行到“判断结果是否大于100”为第一次运算，若运算进行了三次才停止，则满足条件的整数x的个数为　 　．

【分析】由该运算进行了三次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出结论．
【解答】解：依题意，得：3(3x-1)-1≤1003[3(3x-1)-1]-1＞100，
解得：4527＜x≤1159．
又∵x为整数，
∴x可以为5，6，7，8，9，10，11，
∴满足条件的整数x的个数为7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
【变式10-2】（2020•浙江自主招生）按下列程序进行运算（如图）

规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若x＝5，则运算进行　 　次才停止；若运算进行了5次才停止，则x的取值范围是　 　．
【分析】把x＝5代入代数式求值，与244比较，若大于244，就停止计算，若结果没有大于244，重新计算直至大于244为止，
根据运算顺序得到第4次的运算结果和第5次的运算结果，让第4次的运算结果小于244，第5次的运算结果大于244列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）x＝5．
第一次：5×3﹣2＝13
第二次：13×3﹣2＝37
第三次：37×3﹣2＝109
第四次：109×3﹣2＝325＞244→→→停止

（2）第1次，结果是3x﹣2；
第2次，结果是3×（3x﹣2）﹣2＝9x﹣8；
第3次，结果是3×（9x﹣8）﹣2＝27x﹣26；
第4次，结果是3×（27x﹣26）﹣2＝81x﹣80；
第5次，结果是3×（81x﹣80）﹣2＝243x﹣242；
∴243x-242＞244⋯(1)81x-80≤244⋯(2)
由（1）式子得：x＞2，
由（2）式子得：x≤4
∴2＜x≤4．
即：5次停止的取值范围是：2＜x≤4．
故答案为：4；2＜x≤4．
【点评】考查一元一次不等式组的应用；根据第4次和第5次的运算结果得到关系式是解决本题的关键．
【变式10-3】（2020春•朝阳区期末）在近几年的两会中，有多位委员不断提出应在中小学开展编程教育，2019年3月教育部公布的《2019年教育信息化和网络安全工作要点》中也提出将推广编程教育．某学校的编程课上，一位同学设计了一个运算程序，如图所示．

按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行．
（1）若x＝5，直接写出该程序需要运行多少次才停止；
（2）若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围．
【分析】（1）分别求出该程序运行1，2，3，4次的结果，由19＜23，35＞23可得出当x＝5时该程序需要运行4次才停止；
（2）根据该程序只运行了2次就停止了，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【解答】解：（1）5×2﹣3＝7，7×2﹣3＝11，11×2﹣3＝19，19×2﹣3＝35，
∵19＜23，35＞23，
∴若x＝5，该程序需要运行4次才停止．
（2）依题意，得：2x-3≤232(2x-3)-3＞23，
解得：8＜x≤13．
答：若该程序只运行了2次就停止了，x的取值范围为8＜x≤13．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
【考点11 不等式（组）的应用（得分问题）】
【例11】（2020春•金水区校级月考）某次知识竞赛共有20道题，规定每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过120分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，根据题意得（　　）
A．10x﹣5（20﹣x）≥120 B．10x﹣5（20﹣x）≤120
C．10x﹣5（20﹣x）＜120 D．10x﹣5（20﹣x）＞120
【分析】设小明答对x道题，则答错或不答（20﹣x）道题，根据小明的得分＝10×答对的题目数﹣5×答错或不答的题目数结合小明得分要超过120分，即可得出关于x的一元一次不等式．
【解答】解：设小明答对x道题，则答错或不答（20﹣x）道题，
依题意，得：10x﹣5（20﹣x）≥120．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【变式11-1】（2020秋•解放区校级月考）在某校班级篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得43分，那么这个班至少要胜　 　场．
【分析】设这个班要胜x场，则负（28﹣x）场，根据题意列出不等式，解不等式即可求出至少要胜几场．
【解答】解：设这个班要胜x场，则负（28﹣x）场，
由题意得，3x+（28﹣x）≥43，
2x≥15，
解得：x≥7.5，
∵场次x为正整数，
∴x≥8．
答：这个班至少要胜8场．
故答案为：8
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，难度一般，解答本题的关键是表示出胜场得分和输场得分并列出不等式．
【变式11-2】（2019春•南京期末）某次知识竞赛共有20道题，答对一题得5分，不答得0分、答错扣3分小明有3题没答，若竞赛成绩要超过60分，则小明至少答对几道题？
【分析】设小明答对了x道题，则答错了（20﹣3﹣x）道题，根据总分＝5×答对题目数﹣3×答错题目数，结合成绩超过60分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中最小正整数即可得出结论．
【解答】解：设小明答对了x道题，则答错了（20﹣3﹣x）道题，
依题意，得：5x﹣3（20﹣3﹣x）＞60，
解得：x＞1378．
∵x为正整数，
∴x的最小值为14．
故小明至少答对14道题．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【变式11-3】（2019春•德惠市期末）一次智力测验，共设20道选择题，评分标准为：对1题得a分，答错或不答1题扣b分．下表记录了2名参赛学生的得分情况．
参赛学生
答对题数
答错或不答题数
得分
甲
18
2
88
乙
10
10
40
（1）若参赛学生小亮只答对了16道选择题，则小亮的得分是多少？
（2）参赛学生至少要答　 　道题，总分才不会低于60分．
【分析】（1）根据表格中的数据可以求得答对一道得多少分和答错或不答一道扣多少分，从而可以求得参赛学生小亮只答对了16道选择题，则小亮的得分是多少；
（2）根据题意，可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）由表格可得，
18a-2b=8810a-10b=40
解得，a=5b=1，
∴参赛学生小亮只答对了16道选择题，则小亮的得分是16×5﹣（20﹣16）×1＝76（分），
答：小亮的得分是76分；
（2）设参赛学生要答x道，总分才不会低于60分，
5x﹣（20﹣x）×1≥60，
解得，x≥1313，
∴参赛学生至少要答14道，总分才不会低于60分，
故答案为：14．
【点评】本题考查二元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程和不等式的知识解答．
【考点12 不等式（组）的应用（销售问题）】
【例12】（2020•朝阳）某品牌衬衫进价为120元，标价为240元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于20%，则这种品牌衬衫最多可以打几折？（　　）
A．8 B．6 C．7 D．9
【分析】设可以打x折出售此商品，根据售价﹣进价＝利润，利润＝进价×利润率可得不等式，解之即可．
【解答】解：设可以打x折出售此商品，
由题意得：240×x10-120≥120×20%，
解得x≥6，
故选：B．
【点评】此题考查了改为一元一次不等式的应用，注意销售问题中量之间的数量关系是列不等式的关键
【变式12-1】（2020春•太平区期末）一工厂以90元/每箱的价格购进100箱原材料，准备由甲、乙两个车间全部用于生产某种产品，甲车间用每箱原材料可生产出该产品12千克，乙车间用每箱原材料可生产出的该产品比甲车间少2千克，已知该产品的售价为40元/千克，生产的产品全部售出，那么原材料最少分配给甲车间多少箱，才能使去除成本后所获得的总利润不少于35000元？
【分析】设甲车间用x箱原材料，则乙车间用（100﹣x）箱原材料，根据题意列出不等式，
【解答】解：设甲车间用x箱原材料，则乙车间用（100﹣x）箱原材料，
根据题意，得12x×40+（100﹣x）（12﹣2）×40﹣100×90≥35000．
解得x≥50．
答：原材料最少分配给甲车间50箱，才能使去除成本后所获得的总利润不少于35000元．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
【变式12-2】（2020春•孝义市期末）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销值A，B两种头盔，批发价和零售价格如下表所示：
名称
A种头盔
B种头盔
批发价（元/kg）
60
40
零售价（元/kg）
80
50
请解答下列问题．
（1）第一次，该商店批发A，B两种头盔共100个，用去4600元钱，求A，B两种头盔各批发了多少个？
（2）第二次，该商店用6900元钱仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润率不低于30%，则该超市第二次至少批发A种头盔多少个？
【分析】（1）设第一次A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案；
（2）设第二次批发A种头盔x个，则批发B种头盔6900-60x40个．根据题意列出一元一次不等式，则可得解．
【解答】解：（1）设第一次A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个．
根据题意，得x+y=10060x+40y=4600，
解得x=30y=70，
答：第一次A种头盔批发了30个，B种头盔批发了70个．
（2）设第二次批发A种头盔x个，则批发B种头盔6900-60x40个．
由题意，得（80﹣60）x+（50﹣40）×6900-60x40≥6900×30%，
解得x≥69，
答：第二次该商店至少批发69个A种头盔．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程组和不等式的知识解答．
【变式12-3】（2020春•衡阳期末）超市购进一批A、B两种品牌的饮料共320箱，其中A品牌比B品牌多80箱．此两种饮料每箱的进价和售价如下表所示：
品牌
A
B
进价（元/箱）
55
35
售价（元/箱）
63
40
（1）问销售一箱B品牌的饮料获得的利润是多少元？（注：利润＝售价﹣进价）
（2）问该商场购进A、B两种品牌的饮料各多少箱？
（3）受市场经济影响，该商场调整销售策略，A品牌的饮料每箱打折销售，B品牌的饮料每箱售价改为38元．为使新购进的A、B两种品牌的饮料全部售出且利润不少于700元，问A种品牌的饮料每箱最低打几折出售？
【分析】（1）利用利润＝售价﹣进价，即可求出结论；
（2）设该商场购进A品牌饮料x箱，B品牌饮料y箱，根据“超市购进一批A、B两种品牌的饮料共320箱，其中A品牌比B品牌多80箱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设A种品牌的饮料每箱打m折出售，根据总利润＝每箱的利润×销售数量结合总利润不少于700元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）40﹣35＝5（元）．
答：销售一箱B品牌的饮料获得的利润是5元．
（2）设该商场购进A品牌饮料x箱，B品牌饮料y箱，
依题意，得：x+y=320x-y=80，
解得：x=200y=120．
答：该商场购进A品牌饮料200箱，B品牌饮料120箱．
（3）设A种品牌的饮料每箱打m折出售，
依题意，得：（63×m10-55）×200+（38﹣35）×120≥700，
解得：m≥9．
答：A种品牌的饮料每箱最低打9折出售．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【考点13 不等式（组）的应用（方案问题）】
【例13】（2020春•防城港期末）自治区发展和改革委员会在2019年11月印发《广西壮族自治区新能源汽车推广应用攻坚行动方案》，力争到2020年底，全区新能源汽车保有量比攻坚行动前增长100%，达到14.6万辆以上，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元；本周已售出3辆A型车和2辆B型车，销售额为106万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元．
（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车至少购买1辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？
【分析】（1）设每辆A型车的售价为x万元，每辆B型车的售价为y万元，根据“上周售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元；本周已售出3辆A型车和2辆B型车，销售额为106万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m辆A型车，则购买（6﹣m）辆B型车，根据“A型号车至少购买1辆，购车费不少于130万元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各购车方案．
【解答】解：（1）设每辆A型车的售价为x万元，每辆B型车的售价为y万元，
依题意，得：2x+y=623x+2y=106，
解得：x=18y=26．
答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；
（2）设购买m辆A型车，则购买（6﹣m）辆B型车，
依题意，得：m≥118m+26(6-m)≥130，
解得：1≤m≤134，
又∵m是正整数，
∴m可以取1，2，3，
∴共有三种购车方案，方案1：购买1辆A型车，5辆B型车；方案2：购买2辆A型车，4辆B型车；方案3：购买3辆A型车，3辆B型车．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
【变式13-1】（2020秋•三水区校级月考）现计划把甲种货物306吨和乙种货物230吨运往某地．已知有A、B两种不同规格的货车共50辆，如果每辆A型货车最多可装甲种货物7吨和乙种货物3吨，每辆B型货车最多可装甲种货物5吨和乙种货物7吨．
（1）装贷时按此要求安排A、B两种货车的辆数，共有几种方案？
（2）使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元．在上述方案中，哪个方案运费最省？最省的运费是多少元？
（3）在（2）的方案下，现决定对货车司机发共2100元的安全奖，已知每辆A型车奖金为m元．每辆B型车奖金为n元，38＜m＜n．且m、n均为整数，求此次奖金发放的具体方案．
【分析】（1）设安排A种货车x辆，安排B种货车（50﹣x）辆．根据不等式组，求整数解即可．
（2）根据三种方案判断即可．
（3）根据二元一次方程，求整数解即可．
【解答】解：（1）设安排A种货车x辆，安排B种货车（50﹣x）辆．
由题意7x+5(50-x)≥3063x+7(50-x)≥230，
解得28≤x≤30，
∵x为整数，
∴x＝28或29或30，
∴共有3种方案．

（2）方案一：A种货车28辆，安排B种货车22辆，
方案二：A种货车29辆，安排B种货车21辆，
方案三：A种货车30辆，安排B种货车20辆，
∵使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元，
600＜800，
∴第三种方案运费最省，费用为600×30+800×20＝34000（元）．

（3）由题意30m+20n＝2100，
∴3m+2n＝210，
∵38＜m＜n．且m、n均为整数，
∴整数解为：m＝40，n＝42，
∴每辆A型车奖金为40元．每辆B型车奖金为42元．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，二元一次方程的整数解问题，解题的关键是理解题意，学会利用参数根据不等式组解决问题，属于中考常考题型．
【变式13-2】（2020春•庐阳区校级月考）某体育用品店准备购进甲，乙品牌乒乓球两种，若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元．
（1）求购进甲，乙两种乒乓球每个各需多少元？
（2）若该体育用品店刚好用了1000元购进这两种乒乓球，考虑顾客需求，要求购进甲种乒乓球的数量不少于乙种乒乓球数量的6倍，且乙种乒乓球数量不少于23个，那么该文具店共有哪几种进货方案？
（3）若该体育用品店销售每只甲种乒乓球可获利润3元，销售每只乙种乒乓球可获利润4元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设购进每个甲种乒乓球需要x元，购进每个乙种乒乓球需要y元，根据“若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该文具店购进m个乙种乒乓球，则购进（200﹣2m）个甲种乒乓球，根据购进甲种乒乓球的数量不少于乙种乒乓球数量的6倍且乙种乒乓球数量不少于23个，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案；
（3）利用销售总利润＝每个的利润×销售数量，分别求出各进货方案获得的利润，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进每个甲种乒乓球需要x元，购进每个乙种乒乓球需要y元，
依题意，得：10x+5y=1005x+3y=55，
解得：x=5y=10．
答：购进每个甲种乒乓球需要5元，每个乙种乒乓球需要10元．
（2）设该文具店购进m个乙种乒乓球，则购进1000-10m5=（200﹣2m）个甲种乒乓球，
依题意，得：200-2m≥6mm≥23，
解得：23≤m≤25，
又∵m为正整数，
∴m可以取23，24，25，
∴该文具店共有3种进货方案，方案1：购进154个甲种乒乓球，23个乙种乒乓球；方案2：购进152个甲种乒乓球，24个乙种乒乓球；方案3：购进150个甲种乒乓球，25个乙种乒乓球．
（3）方案1获得的利润为3×154+4×23＝554（元），
方案2获得的利润为3×152+4×24＝552（元），
方案3获得的利润为3×150+4×25＝550（元）．
∵554＞552＞550，
∴方案1购进154个甲种乒乓球，23个乙种乒乓球获利最大，最大利润是554元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用销售总利润＝每个的利润×销售数量，求出（2）中各进货方案获得的利润．
【变式13-3】（2020春•日照期末）2020年春，我国遭受了罕见的新冠病毒疫情，“病毒无情人有情”．某单位给武汉捐献一批口罩和药物共1000件，其中口罩比药物多120件．
（1）求口罩和药物各有多少件？
（2）现计划租用甲乙两种货车共10辆，一次性将这批口罩和药物全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装口罩80件和药物40件，每辆乙种货车最多可装口罩和药物各50件，那么运输部门安排甲、乙两种货车时有哪几种方案？
（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元，运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
【分析】（1）设口罩有x件，药物有y件，根据“某单位给武汉捐献一批口罩和药物共1000件，其中口罩比药物多120件”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用甲种货车m辆，则租用乙种货车（10﹣m）辆，根据要一次运送口罩560件和药物440件，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各租车方案；
（3）根据运费＝每辆车的租金×租车辆数，分别求出各租车方案所需费用，比较后即可得出结论（利用一次函数的性质解决亦可）．
【解答】解：（1）设口罩有x件，药物有y件，
依题意，得：x+y=1000x-y=120，
解得：x=560y=440．
答：口罩有560件，药物有440件．
（2）设租用甲种货车m辆，则租用乙种货车（10﹣m）辆，
依题意，得：80m+50(10-m)≥56040m+50(10-m)≥440，
解得：2≤m≤6，
∵m为整数，
∴m可以取2，3，4，5，6，
∴共有5种租车方案，方案1：租用甲种货车2辆，乙种货车8辆；方案2：租用甲种货车3辆，乙种货车7辆；方案3：租用甲种货车4辆，乙种货车6辆；方案4：租用甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案5：租用甲种货车6辆，乙种货车4辆．
（3）方案1所需费用为400×2+360×8＝3680（元），
方案2所需费用为400×3+360×7＝3720（元），
方案3所需费用为400×4+360×6＝3760（元），
方案4所需费用为400×5+360×5＝3800（元），
方案5所需费用为400×6+360×4＝3840（元）．
∵3680＜3720＜3760＜3800＜3840，
∴租用甲种货车2辆，乙种货车8辆时，运费最少，最少运费是3680元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用运费＝每辆车的租金×租车辆数，分别求出各租车方案所需费用．
【考点14 不等式（组）的应用（分段计费问题）】
【例14】（2020春•思明区校级期末）为鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费＝第一阶梯电费+第二阶梯电费）．规定：用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费，如图是刘鹭家2019年2月和3月所交电费的收据（度数均取整数）．
（1）该市规定的第一阶梯电费和第二阶梯电费单价分别为多少？
（2）刘鹭家4月份家庭支出计划中电费不超过120元，她家最大用电量为多少度？

【分析】（1）设该市规定的第一阶梯电费单价为x元，第二阶梯电费单价为y元，根据刘鹭家2019年2月和3月所交电费的收据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设刘鹭家4月份的用电量为m度，根据总电费＝第一阶梯电费+第二阶梯电费结合总电费不超过120元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该市规定的第一阶梯电费单价为x元，第二阶梯电费单价为y元，
依题意，得：200x+(220-200)y=112200x+(265-200)y=139，
解得：x=0.5y=0.6．
答：该市规定的第一阶梯电费单价为0.5元，第二阶梯电费单价为0.6元．
（2）设刘鹭家4月份的用电量为m度，
依题意，得：200×0.5+0.6（m﹣200）≤120，
解得：m≤23313，
∵m为正整数，
∴m的最大值为233．
答：刘鹭家4月份最大用电量为233度．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【变式14-1】（2020春•江岸区期末）为了促进消费，端午节期间，甲乙两家商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同促销方案：
甲商场的优惠方案：购物价格累计超过200元后，超出200元部分按70%付费；
乙商场的优惠方案：购物价格累计超过100元后，超出100元部分按75%付费；
若某顾客准备购买标价为x（x＞200）元的商品，
（1）在甲商场购买的优惠价为　 　元，在乙商场购买的优惠价为　 　元；（均用含x的式子表示）
（2）顾客到哪家商场购物花费少？写出解答过程；
（3）乙商场为了吸引顾客，采取了进一步的优惠：购物价格累计超过100元后，但不超过1000元，超出100元部分按75%付费；超过1000元后，超出1000元部分按65%付费．甲商场没有调整优惠方案，请直接写出顾客选择甲商场购物花费少时x（x＞200）的取值范围　 　．
【分析】（1）根据甲、乙的促销方案进行解答；
（2）根据（1）中表示出在甲乙两商场的花费列出的不等式，分情况讨论，求出最合适的消费方案；
（3）当x≥1000时，由题意列出不等式，可求解．
【解答】解：（1）在甲商场购买的优惠价＝200+70%×（x﹣200）＝0.7x+60（元），
在乙商场购买的优惠价＝100+75%（x﹣100）＝0.75x+25（元），
故答案为：0.7x+60，0.75x+25；
（2）①当顾客在甲商场购物花费少时，则0.7x+60＜0.75x+25，
解得：x＞700；
②当顾客在乙商场购物花费少时，则0.7x+60＞0.75x+25，
解得：x＜700；
③当顾客在甲，乙商场购物花费相等时，则0.7x+60＝0.75x+25，
解得：x＝700；
∴当x＞700时，顾客在甲商场购物花费少，
当x＝700时，顾客在甲，乙商场购物花费相等，
当200＜x＜700时，顾客在乙商场购物花费少．
（3）当x≥1000时，由题意可得：0.65（x﹣1000）+100+900×0.75＞0.7x+60，
解得：x＜1300，
∴当1000≤x＜1300时，顾客在甲商场购物花费少，
又∵当x＞700时，顾客在甲商场购物花费少，
∴700＜x＜1300时，顾客在甲商场购物花费少，
故答案为：700＜x＜1300．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用和一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，列出不等式关系式即可求解．注意此题分类讨论的数学思想．
【变式14-2】（2020春•秦淮区期末）某药店的口罩价格为a元/只，现推出购买口罩的优惠活动：当购买数量大于2000只时，口罩的单价打b折，同时，打完折后购买口罩的金额达到一定数额后，还能获得不同档次的金额减免，如表所示：
档次
打完折后购买口罩的金额（元）
减免方案
第一档
2000～3000
减50元
第二档
3000～5000
减200元
第三档
不低于5000元
减400元
（注：2000～3000是指金额大于或等于2000元且小于3000元，其他类同．）
已知某顾客购买800只口罩时，实际支付的金额为800元；购买4000只口罩时，获得第二档的减免，实际支付的金额为3000元．
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）甲、乙两个单位准备购买一批口罩，甲单位购买了2500只，乙单位购买了4500只．有两种不同的购买方案：
方案一 两单位各自购买；
方案二 两单位合在一起购买．
哪种方案更省钱，请说明理由．
（3）某人在购买口罩时，获得第三档的减免，若此时实际支付的金额不少于5000元，则他至少购买了多少只口罩？（用一元一次不等式解决问题）．
【分析】（1）直接利用表中数据结合减免方案得出a，b的值；
（2）直接利用两种方案分别得出所需费用进而比较即可；
（3）利用第三档的减免方案，结合实际支付的金额不少于5000元，进而得出不等式求出答案．
【解答】解：（1）∵某顾客购买800只口罩时，实际支付的金额为800元，
∴药店的口罩价格为a＝1元/只，
∵购买4000只口罩时，获得第二档的减免，实际支付的金额为3000元，
∴没有减免前，应付3200元，
故口罩的单价打32004000×10＝8折，
故答案为：1；8；

（2）方案一：甲单位购买2500只口罩，支付金额为：2500×0.8﹣50＝1950（元），
乙单位购买4500只口罩，支付金额4500×0.8﹣200＝3400（元），
1950+3400＝5350（元），
方案二：合在一起购买7000只口罩，支付金额为：7000×0.8﹣400＝5200（元），
因为5200＜5350，所以方案二更省钱；

（3）设该人购买口罩x只，根据题意可得：1×0.8x﹣400≥5000，
解得：x≥6750，
答：该人至少购买了6750只口罩．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确得出不等关系是解题关键．
【变式14-3】（2020•上城区一模）为节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，水价分为三个阶梯，价格表如下表所示：
某市自来水销售价格表
类别
月用水量
（立方米）
供水价格
（元/立方米）
污水处理费
（元/立方米）
居民生活用水
阶梯一
0～18（含18）
1.90
1.00
阶梯二
18～25（含25）
2.85
阶梯三
25以上
5.70
（注：居民生活用水水价＝供水价格+污水处理费）
（1）当居民月用水量在18立方米及以下时，水价是　 元/立方米．
（2）4月份小明家用水量为20立方米，应付水费为：18×（1.90+1.00）+2×（2.85+1.00）＝59.90（元），预计6月份小明家的用水量将达到30立方米，请计算小明家6月份的水费．
（3）为了节省开支，小明家决定每月用水的费用不超过家庭收入的1%，已知小明家的平均月收入为7530元，请你为小明家每月用水量提出建议．
【分析】（1）用阶梯一的供水价格+污水处理费用，即可得出结论；
（2）根据应付水费＝18×（阶梯一的供水价格+污水处理费用）+超出18立方米的数量×（阶梯二的供水价格+污水处理费用），即可求出结论；
（3）由小明家的平均月收入可求出小明家月用水费用的最大值，设小明家的月用水量为x立方米，分0＜x≤18和18＜x≤25两种情况找出最大用水费用，由79.15＞75.3可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，此题得解．
【解答】解：（1）1.90+1.00＝2.90（元）．
故答案为：2.90．
（2）18×（1.90+1.00）+（25﹣18）×（2.85+1.00）+（30﹣25）×（5.70+1.00），
＝52.2+26.95+33.5，
＝112.65（元）．
答：小明家6月份的水费为112.65元．
（3）小明家月用水费用应不超过：7530×1%＝75.3（元）
设小明家的月用水量为x立方米．
根据题意得：①当x≤18时，用水费用为：（1.90+1.00）x（元），
当x为18时，用水费用为52.20元；
②当18＜x≤25时，用水费用为：（x﹣18）×（2.85+1.00）+18×（1.90+1.00）（元），
当x＝25时，用水费用为79.15元，超出预计费用，
∴用水量不能超过25立方米，
即（x﹣18）×（2.85+1.00）+18×（1.90+1.00）≤75.3，
解得：x≤24（立方米）．
综上所述：建议小明家月用水量不超过24立方米．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）（2）根据数量关系，列式计算；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．