还剩33页未读，
继续阅读
新课标2022版高考数学总复习第二章函数第五节指数与指数函数课件理
展开
这是一份新课标2022版高考数学总复习第二章函数第五节指数与指数函数课件理，共41页。
学习要求:1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特 殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型.
1.指数幂的概念(1)根式的概念:
(2)两个重要公式: = ( )n=⑨ a (注意:a必须使 有意义).
2.有理数指数幂(1)分数指数幂的表示:(i)正数的正分数指数幂: =⑩ (a>0,m,n∈N*,n>1);
(ii)正数的负分数指数幂: = = (a>0,m,n∈N*,n>1);(iii)0的正分数指数幂是 0 ,0的负分数指数幂无意义.
(2)有理数指数幂的运算性质:(i)aras= ar+s (a>0,r,s∈Q);(ii)(ar)s= ars (a>0,r,s∈Q);(iii)(ab)r= arbr (a>0,b>0,r∈Q).
3.指数函数的图象与性质
知识拓展指数函数的图象与底数大小的关系.下图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可以得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象越高,底 数越大.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1) 与( )n都等于a(n∈N*). ( )(2)函数y=23x与y=2x+1都不是指数函数. ( )(3)若am0,且a≠1),则m
解析 令x-2=0得x=2,则f(2)=a0+1=2,所以f(x)的图象必过点(2,2).
3.某种产品的年产量原来是a件,在今后m年内,计划使每年的产量比上一年增 加p%,则该产品的年产量y随年数x变化的函数解析式为 ( )A.y=a(1+p%)x(0
4. , , 三个数从小到大的排列顺序是 .
解析 = , = , = ,所以 < < .
5.(2020湖南衡阳八中期中)已知指数函数f(x)=(a-1)x,若当x>0时, f(x)<1恒成立, 则实数a的取值范围是 .
解析 因为当x>0时,(a-1)x<1恒成立,所以0
解析 令g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1≤1,所以函数y= 的最小值为 .【易错分析】 对复合函数的单调性理解不透彻.
角度一 根式与指数幂典例1 (1) (a>0)的值是 ( )A.1 B.a C. D. (2) + + + = .
角度二 化简求值典例2 化简下列各式:(1) +2-2× -(0.01)0.5;(2) b-2·(-3 b-1)÷(4 b-3 .
解析 (1)原式=1+ × - =1+ × - =1+ - = .(2)原式=- b-3÷(4 ·b-3 =- b-3÷( )=- =- · =- .
规律总结指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先进行指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数的,先确定符号;底数是小数的,先化成分数;底数是带分数的,先 化成假分数.(4)若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算 性质来解答.▶提醒 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负指数,形式力求统一.
1. = .
解析 原式= = · = .
2. × + × - = .
解析 原式= ×1+ × - =2.
典例3 (1)函数f(x)=-3|x|+1的大致图象是 ( ) (2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是 .
考点二 指数函数的图象及应用
解析 (1)因为函数f(x)=-3|x|+1,所以f(-x)=-3|-x|+1=-3|x|+1=f(x),即函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除B,D.当x=0时, f(0)=-30+1=0,即函数f(x)的图象过原点,故排除C.故选A.(2)作出曲线|y|=2x+1(如图),要使该曲线与直线y=b没有公共点,只需-1≤b≤1.
◆变式探究 本典例(2)中若曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共点,求b的取值 范围.
解析 作出曲线y=|2x-1|与直线y=b如图所示.由该图得b的取值范围是(0,1).
方法技巧应用指数函数图象的4个技巧(1)画指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1), .(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些 点,若不满足,则排除.(3)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入 手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定 时,应注意分类讨论.(4)有关指数方程、不等式问题往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.
1.函数y=ax- (a>0,且a≠1)的图象可能是 ( )
解析 ∵a>0,∴ >0,∴函数y=ax需向下平移 个单位长度,不过(0,1)点,所以排除A,当a>1时,0< <1,所以排除B,当01,所以排除C,故选D.
2.已知函数f(x)=ax-2+7(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,若定点P在幂函数g(x)的 图象上,则幂函数g(x)的图象是 ( )
解析 由题意知f(2)=a2-2+7=8,所以定点P的坐标为(2,8),设幂函数g(x)=xα, 将P(2,8)代入得2α=8,故α=3,即g(x)=x3,故选D.
3.若关于x的方程|ax-1|=2a(a>0,且a≠1)有两个不相等的实数根,则a的取值范 围是 .
解析 方程|ax-1|=2a(a>0,a≠1)有两个不相等的实数根等价于函数y=|ax-1|的 图象与y=2a的图象有两个交点.当01时,如图②,而y=2a>1,不符合题意. 所以0
解析 (1)b= ,且函数y= 在R上为减函数, > > ,所以 < < ,即b
(2)已知 >91-x,则x的取值范围是 .(3)已知4x-2x+1-8<0,则x的取值范围是 .
角度三 指数函数性质的综合应用典例6 (1)函数f(x)= (e为自然对数的底数)的值域为( )A.(-1,1) B.(-1,+∞)C.(-∞,1) D.(-1,0)∪(0,1)(2)若函数y= 的定义域为A,则函数y=4x-2x+1(x∈A)的值域为 .
解析 (1)f(x)= =1+ ,因为ex>0,所以ex+1>1,所以-2< <0,所以-1<1+ <1,即f(x)的值域为(-1,1),所以选A.(2)由2+x-x2≥0,解得-1≤x≤2,所以A=[-1,2].函数y=4x-2x+1= 22x-2·2x= -1,x∈[-1,2],则 ≤2x≤4,当2x=1,即x=0时,ymin=-1;当2x=4,即x=2时,ymax=8,所以-1≤y≤8.所以函数y=4x-2x+1 (x∈A)的值域是[-1,8].
(2)已知奇函数f(x)=a- (a∈R,e为自然对数的底数).①判断f(x)的单调性(不用证明);②若对任意的实数x, f(x)>m2-4m+2恒成立,求实数m的取值范围.
典例7 (1)函数f(x)= 的单调减区间为 .
解析 (1)令u=-x2+2x+1,∵y= 为减函数,∴函数y= 的单调减区间即函数u=-x2+2x+1的单调增区间.又u=-x2+2x+1的单调增区间为(-∞,1],∴函数f(x)的单调减区间为(-∞,1].(2)①f(x)是R上的单调递增函数.②∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴a- =-a+ ,∴2a=2,∴a=1,
∴f(x)=1- ,令t=ex+1,∵ex>0,∴t>1,又g(t)=1- 在(1,+∞)上为增函数,∴-1m2-4m+2对任意的实数x恒成立,∴m2-4m+2≤-1,即m2-4m+3≤0,∴1≤m≤3,故实数m的取值范围是[1,3].
规律总结1.利用指数函数的性质比较大小或解不等式,最重要的是“同底”原则.2.求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域、 单调区间、最值等问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断.
1.不等式 < 恒成立,则a的取值范围是 .
2.求函数f(x)= 的定义域、值域及单调区间.
解析 解不等式x2-5x+4≥0,得x≤1或x≥4,所以函数y=f(x)的定义域为(-∞,1] ∪[4,+∞).因为 ≥0,所以f(x)= ≥30=1,则函数y=f(x)的值域为[1,+∞).令u= ,由二次函数的性质可知,u= 在区间(-∞,1]上单调递减,在区间[4,+∞)上单调递增,且y=3u为增函数,故函数y=f(x)的单调 递减区间为(-∞,1],单调递增区间为[4,+∞).
学习要求:1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特 殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型.
1.指数幂的概念(1)根式的概念:
(2)两个重要公式: = ( )n=⑨ a (注意:a必须使 有意义).
2.有理数指数幂(1)分数指数幂的表示:(i)正数的正分数指数幂: =⑩ (a>0,m,n∈N*,n>1);
(ii)正数的负分数指数幂: = = (a>0,m,n∈N*,n>1);(iii)0的正分数指数幂是 0 ,0的负分数指数幂无意义.
(2)有理数指数幂的运算性质:(i)aras= ar+s (a>0,r,s∈Q);(ii)(ar)s= ars (a>0,r,s∈Q);(iii)(ab)r= arbr (a>0,b>0,r∈Q).
3.指数函数的图象与性质
知识拓展指数函数的图象与底数大小的关系.下图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可以得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象越高,底 数越大.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1) 与( )n都等于a(n∈N*). ( )(2)函数y=23x与y=2x+1都不是指数函数. ( )(3)若am
解析 令x-2=0得x=2,则f(2)=a0+1=2,所以f(x)的图象必过点(2,2).
3.某种产品的年产量原来是a件,在今后m年内,计划使每年的产量比上一年增 加p%,则该产品的年产量y随年数x变化的函数解析式为 ( )A.y=a(1+p%)x(0
4. , , 三个数从小到大的排列顺序是 .
解析 = , = , = ,所以 < < .
5.(2020湖南衡阳八中期中)已知指数函数f(x)=(a-1)x,若当x>0时, f(x)<1恒成立, 则实数a的取值范围是 .
解析 因为当x>0时,(a-1)x<1恒成立,所以0
解析 令g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1≤1,所以函数y= 的最小值为 .【易错分析】 对复合函数的单调性理解不透彻.
角度一 根式与指数幂典例1 (1) (a>0)的值是 ( )A.1 B.a C. D. (2) + + + = .
角度二 化简求值典例2 化简下列各式:(1) +2-2× -(0.01)0.5;(2) b-2·(-3 b-1)÷(4 b-3 .
解析 (1)原式=1+ × - =1+ × - =1+ - = .(2)原式=- b-3÷(4 ·b-3 =- b-3÷( )=- =- · =- .
规律总结指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先进行指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数的,先确定符号;底数是小数的,先化成分数;底数是带分数的,先 化成假分数.(4)若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算 性质来解答.▶提醒 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负指数,形式力求统一.
1. = .
解析 原式= = · = .
2. × + × - = .
解析 原式= ×1+ × - =2.
典例3 (1)函数f(x)=-3|x|+1的大致图象是 ( ) (2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是 .
考点二 指数函数的图象及应用
解析 (1)因为函数f(x)=-3|x|+1,所以f(-x)=-3|-x|+1=-3|x|+1=f(x),即函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除B,D.当x=0时, f(0)=-30+1=0,即函数f(x)的图象过原点,故排除C.故选A.(2)作出曲线|y|=2x+1(如图),要使该曲线与直线y=b没有公共点,只需-1≤b≤1.
◆变式探究 本典例(2)中若曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共点,求b的取值 范围.
解析 作出曲线y=|2x-1|与直线y=b如图所示.由该图得b的取值范围是(0,1).
方法技巧应用指数函数图象的4个技巧(1)画指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1), .(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些 点,若不满足,则排除.(3)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入 手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定 时,应注意分类讨论.(4)有关指数方程、不等式问题往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.
1.函数y=ax- (a>0,且a≠1)的图象可能是 ( )
解析 ∵a>0,∴ >0,∴函数y=ax需向下平移 个单位长度,不过(0,1)点,所以排除A,当a>1时,0< <1,所以排除B,当0
2.已知函数f(x)=ax-2+7(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,若定点P在幂函数g(x)的 图象上,则幂函数g(x)的图象是 ( )
解析 由题意知f(2)=a2-2+7=8,所以定点P的坐标为(2,8),设幂函数g(x)=xα, 将P(2,8)代入得2α=8,故α=3,即g(x)=x3,故选D.
3.若关于x的方程|ax-1|=2a(a>0,且a≠1)有两个不相等的实数根,则a的取值范 围是 .
解析 方程|ax-1|=2a(a>0,a≠1)有两个不相等的实数根等价于函数y=|ax-1|的 图象与y=2a的图象有两个交点.当0
解析 (1)b= ,且函数y= 在R上为减函数, > > ,所以 < < ,即b
(2)已知 >91-x,则x的取值范围是 .(3)已知4x-2x+1-8<0,则x的取值范围是 .
角度三 指数函数性质的综合应用典例6 (1)函数f(x)= (e为自然对数的底数)的值域为( )A.(-1,1) B.(-1,+∞)C.(-∞,1) D.(-1,0)∪(0,1)(2)若函数y= 的定义域为A,则函数y=4x-2x+1(x∈A)的值域为 .
解析 (1)f(x)= =1+ ,因为ex>0,所以ex+1>1,所以-2< <0,所以-1<1+ <1,即f(x)的值域为(-1,1),所以选A.(2)由2+x-x2≥0,解得-1≤x≤2,所以A=[-1,2].函数y=4x-2x+1= 22x-2·2x= -1,x∈[-1,2],则 ≤2x≤4,当2x=1,即x=0时,ymin=-1;当2x=4,即x=2时,ymax=8,所以-1≤y≤8.所以函数y=4x-2x+1 (x∈A)的值域是[-1,8].
(2)已知奇函数f(x)=a- (a∈R,e为自然对数的底数).①判断f(x)的单调性(不用证明);②若对任意的实数x, f(x)>m2-4m+2恒成立,求实数m的取值范围.
典例7 (1)函数f(x)= 的单调减区间为 .
解析 (1)令u=-x2+2x+1,∵y= 为减函数,∴函数y= 的单调减区间即函数u=-x2+2x+1的单调增区间.又u=-x2+2x+1的单调增区间为(-∞,1],∴函数f(x)的单调减区间为(-∞,1].(2)①f(x)是R上的单调递增函数.②∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴a- =-a+ ,∴2a=2,∴a=1,
∴f(x)=1- ,令t=ex+1,∵ex>0,∴t>1,又g(t)=1- 在(1,+∞)上为增函数,∴-1
规律总结1.利用指数函数的性质比较大小或解不等式,最重要的是“同底”原则.2.求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域、 单调区间、最值等问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断.
1.不等式 < 恒成立,则a的取值范围是 .
2.求函数f(x)= 的定义域、值域及单调区间.
解析 解不等式x2-5x+4≥0,得x≤1或x≥4,所以函数y=f(x)的定义域为(-∞,1] ∪[4,+∞).因为 ≥0,所以f(x)= ≥30=1,则函数y=f(x)的值域为[1,+∞).令u= ,由二次函数的性质可知,u= 在区间(-∞,1]上单调递减,在区间[4,+∞)上单调递增,且y=3u为增函数,故函数y=f(x)的单调 递减区间为(-∞,1],单调递增区间为[4,+∞).
相关课件
2024版新教材高考数学全程一轮总复习第二章函数与基本初等函数第五节指数与指数函数课件： 这是一份2024版新教材高考数学全程一轮总复习第二章函数与基本初等函数第五节指数与指数函数课件，共41页。PPT课件主要包含了必备知识·夯实双基，关键能力·题型突破，无意义，ar＋s，ars，arbr，y＝ax，0＋∞，增函数，减函数等内容，欢迎下载使用。
备战2024高考一轮复习数学（理） 第二章 函数的概念及基本初等函数(Ⅰ) 第五节 指数与指数函数课件PPT： 这是一份备战2024高考一轮复习数学（理） 第二章 函数的概念及基本初等函数(Ⅰ) 第五节 指数与指数函数课件PPT，共38页。PPT课件主要包含了有理数指数幂，ar＋s，ars，arbr，答案D，化简下列各式等内容，欢迎下载使用。
高考数学一轮复习配套课件 第二章 第五节 指数与指数函数： 这是一份高考数学一轮复习配套课件 第二章 第五节 指数与指数函数，共48页。PPT课件主要包含了必备知识基础落实，关键能力考点突破，微专题，没有意义，ar＋s，ars，arbr，0＋∞，增函数，减函数等内容，欢迎下载使用。
