方案与决策问题

这是一份方案与决策问题，共34页。


方案与决策问题
副标题
得分



1. 某牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒5元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作为垃圾回收处理．
(1)若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：盒，n∈N*)的函数解析式；
(2)牛奶店老板记录了某100天鲜牛奶的日需求量(单位：盒)，整理得下表：
日需求量
48
49
50
51
52
53
54
频数
10
20
16
16
15
13
10
以这100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列及均值；
②若牛奶店计划一天购进50盒或51盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进50盒还是51盒？请说明理由．







2. 风梨穗龙眼原产厦门，是厦门市的名果，栽培历史已有100多年．龙眼干的级别按直径d的大小分为四个等级(如表)．
d(mm)
d<21
21≤d<24
24≤d<27
d≥27
级别
三级品
二级品
一级品
特级品
某商家为了解某农场一批龙眼干的质量情况，随机抽取了100个龙眼干作为样本(直径分布在区间[18,33])，统计得到这些龙眼下的直径的频数分布表如下：
d(mm)
[18,21)
[21,24)
[24,27)
[27,30)
[30,33]
频数
1
m
29
n
7
用分层抽样的方法从样本的一级品和特级品中抽取6个，其中一级品有2个．
(1)求m、n的值，并估计这批龙眼干中特级品的比例；
(2)已知样本中的100个龙眼干约500克，该农场有500千克龙眼干待出售，商家提出两种收购方案：
方案A：以60元/千克收购；
方案B：以级别分装收购，每袋100个，特级品40元/袋、一级品30元/袋、二级品20元/袋、三级品10元/袋．
用样本的频率分布估计总体分布，哪个方案农场的收益更高？并说明理由．







3. 某大学共有“未来通信”兴趣团队200个，大一、大二、大三、大四分别有20，40，60，80个，为挑选优秀团队，现用分层随机抽样的方法，从以上团队中抽取20个团队．
(1)应从大三抽取多少个团队?
(2)将20个团队分为甲、乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试(共150分)，甲、乙两组的分数如下：
甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142
乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140
从甲、乙两组中选一组进行强化训练，备战信息通信技术大赛，从统计学数据看，若选择甲组，理由是什么?若选择乙组，理由是什么?







4. 为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，每钟预防措施最多可以使用一次，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后，此突发事件不发生的概率和所需费用如下表：
预防措施
甲
乙
丙
丁
概率
0.9
0.8
0.7
0.6
费用(万元)
90
60
30
10
预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大．







5. 口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5.甲先摸出一个球，记下编号为a，放回袋中后，乙再摸一个球，记下编号为b．
(Ⅰ)求“a+b=6”的事件发生的概率；
(Ⅱ)若点(a,b)落在圆x2+y2=21内，则甲赢，否则算乙赢，这个游戏规则公平吗？试说明理由．







6. 某地每年的七月份是洪水的高发期，在不采取任何预防措施的情况下，一旦爆发洪水，将造成1000(万元)的经济损失.为防止洪水的爆发，现有Ai(i=1,2,3,4)四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用Ai(i=1,  2,3,4)预防措施后不爆发洪水的概率为pi=10−i10(i=1,2,3,4)，所需费用为f(i)=100−20i(万元)(i=1,  2,3,4).
(1)若联合使用A1和A2措施，则不爆发洪水的概率是多少?
(2)现在有以下两类预防方案可供选择：
预防方案一：单独采用一种预防措施;
预防方案二：联合采用两种不同预防措施．
则要想使总费用最少，应采用哪种具体的预防方案?
(总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.)







7. 今年两会期间国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣.某大学学生发展中心对大一的400名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的直方图(引体向上个数只记整数).学生发展中心为进一步了解情况，组织了两个研究小组．

(1)第一小组决定从单次完成1−15个的引体向上男生中，按照分层抽样抽取11人进行全面的体能测试，
①单次完成11−15个引体向上的男生甲被抽到的概率是多少？
②该小组又从这11人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1−5个”的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
(2)第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这400人的学业成绩与体育成绩之间的2×2列联表．

学业优秀
学业不优秀
总计
体育成绩不优秀
100
200
300
体育成绩优秀
50
50
100
总计
150
250
400
请你根据联表判断是否有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？
参考公式及数据：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
PK2⩾k0
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
k0
0.46
0.71
1.32
2.07
2.71
3.84
5.024
6.635
7.879
10.828








8. 基于移动网络技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，给人们带来新的出行体验．某共享单车运营公司的市场研究人员为了了解公司的经营状况，对公司最近6个月的市场占有率y％进行了统计，结果如下表：
月份
2018.11
2018.12
2019.01
2019.02
2019.03
2019.04
月份代码x
1
2
3
4
5
6
市场占有率y(％)
11
13
16
15
20
21
    (1)请用相关系数r说明能否用线性回归模型拟合y与月份代码x之间的关系；(若|r|>0.75，则该线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合，r精确到0.01)
    (2)根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，从成本1000元/辆的A型车和800元/辆的B型车中选购一种，两款单车使用寿命频数如下表：

经测算，平均每辆单车每年能为公司带来500元的收入，不考虑除采购成本以外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆车使用寿命的概率，以平均每辆单车所产生的利润的估计值为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型?
    附：相关系数r=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2i=1n(yi−y)2
    参考数据：i=16(xi−x)(yi−y)=35，i=16(xi−x)2=17.5，i=16(yi−y)2=76，1330≈36.5．







9. 在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备).已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”(即一台正常设备，两台备用设备)的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为r(0 (1)要使系统的可靠度不低于0.992，求r的最小值；
(2)当r=0.9时，求能正常工作的设备数X的分布列；
(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失.为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：
方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更新设备硬件总费用为8万元；
方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护总费用为5万元．
请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？







10. “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取x人，按年龄分成5组，第1组：[20,25)，第2组：[25,30)，第3组：[30,35)，第4组：[35,40)，第5组：[40,45)，得到如图所示频率分布直方图，已知第1组有6人．

(1)求x的值．
(2)估计抽取的x人的年龄的中位数(结果保留整数)．
(3)从该市教师、军人、医务人员、工人、个体户五种职业的人中用分层抽样的方法分别抽取6人、42人、36人、24人、12人，分别记为1∼5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1∼5组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中1 ∼5组的成绩分别为93，98，94，95，90. 
 ①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差;
 ②以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度．







11. 某旅店有200张床位，若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出，若将出租收费标准每晚提高10x元(x为正整数)，则租出的床位会相应减少10x张．若要使该旅店某晚的收入超过12600元，则每个床位的出租价格可定在什么范围内？







12. 大学生就业形式十分严峻，在某大学的2019届大学生人才招聘会上，有一家外企公司的招聘员告诉大学生赵明：“我们公司的收入水平很高，去年，在100名员工中，最高年收入达到了200万元，他们的年收入的平均数为4.5万元”，如果赵明希望获得年薪3.5万元，
(1)你能否根据以上信息判断赵明是否可以成为此公司的一名高收入者吗？
(2)如果招聘员继续告诉赵明“员工收入的变化范围是从1.5万元到200万元”，这个信息能否使赵明作出是否受聘的决定？为什么？
(3)如果招聘员继续给赵明提供了如下信息，员工收入的中间50%(即去掉最少的25%和最多的25%后所剩下的)的变化范围是2万元到4万元，赵明又该如何使用这条信息来作出是否受聘的决定呢？







13. 一家保险公司决定对推销员实行月标管理，按以往月销售额(单位：千元)把推销员分为甲、乙、丙三个层次，各层次人数如下：

甲
乙
丙
月销售额
[20,25]
[15,20)
[10,15)
人数
120
240
90
(1)为了了解推销员对目标设定的意见，决定从甲、乙、丙三个层次中采取比例分配的分层随机抽样抽取30人进行座谈，请计算甲、乙、丙三个层次各应抽取多少人？
(2)确定销售目标是否合适，直接影响到公司的经济效益，如果目标定得过高，多数推销员完不成任务，会使推销员失去信心；如果目标定得太低，将不利于挖掘推销员的工作潜力．现已知按上面的方法抽取了部分推销员的月销售额(单位：千元)：
14.2 15.8 17.7 19.2 22.4 18.2 16.4 21.8 15.6 24.6
23.2 19.8 12.8 13.5 16.3 11.5 13.6 14.9 15.7 16.2
17.0 17.2 17.8 18.0 18.4 19.5 20.5 22.1 24.0 24.8
公司为了使70%的推销员能够完成销售目标，根据这组样本数据，应将销售目标定为多少比较合理？







14. 在我国，11月9日的月日数恰好与火警电话号码119相同，而且这一天前后，正值风干物燥、火灾多发之际，全国各地都在紧锣密鼓地开展冬季防火工作，为增加全民的消防安全意识，于1992年发起，公安部将每年的11月9日定为全国的“消防日”.为切实提高中学生消防安全知识，增强火灾的应对能力，某市特举办以“消防安全进万家，平安相伴你我他”为主题的知识竞赛，甲、乙同学将代表学校参加．为取得好成绩，二人在消防知识题库中各随机选取50题练习，每题答对得5分，答错得0分，练习结果甲得200分，乙得150分．若以二人练习中答题正确的频率作为竞赛答题正确的概率，回答下列问题．
1竞赛第一环节，要求甲乙二人各选两题做答，每题答对得5分，答错不得分，求甲乙二人得分和的概率分布列和期望；
2第二环节中，要求二人自选两道题或四道题做答，要求一半及一半以上正确才能过关，那么甲乙二人怎样选择，各自过关的可能性较大．







15. 某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：(单位：万美元)

其中年固定成本与年生产的件数无关，m是待定常数，其值由生产A产品的原材料决定，预计m∈[6,8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．
(1)求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1,y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系；
(2)分别求出投资生产这两种产品的最大利润；
(3)该企业投资哪种产品可获得最大利润？







16. [2021北京市昌平区模拟]为评估大气污染防治效果，统计了A，B两地区近20天的空气质量指数(AQI)的观测数据，如下图所示：

根据空气质量指数，将空气质量分为以下三个等级：
空气质量指数AQI
(0,100)
[100,200)
[200,300)
空气质量等级
优良
轻中度污染
重度污染
(1)试估计A地区当年(365天)的空气质量等级为“优良”的天数；
(2)假设A，B两地区空气质量状况相互独立，记事件C为“A地区空气质量优于B地区空气质量”.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率．
(3)若从空气质量角度选择居住地区，你建议选择A，B中的哪个地区？(只需写出结论)







17. 十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战．做到精准扶贫，我省某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植脐橙，并利用互联网电商进行销售，为了更好销售，现从该村的脐橙树上随机摘下100个脐橙进行测重，其质量分布在区间[200,500](单位：克)，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：

(1)按分层抽样的方法从质量落在[350,400)，[400,450)的脐橙中随机抽取5个，再从这5个脐橙中随机抽2个，求这2个脐橙质量至少有一个不小于400克的概率；
(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的脐橙种植地上大约还有100000个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案：
A.所有脐橙均以7元/千克收购；
B.低于350克的脐橙以2元/个收购，其余的以3元/个收购
请你通过计算为该村选择收益较好的方案．(参考数据：225×0.05+275×0.16+325×0.24+375×0.3+425×0.2+475×0.05=354.5)







18. 某品牌餐饮企业为满足人们餐饮需求、丰富产品花色、提高企业竞争力，研发了一款新产品.该产品每份成本60元，售价80元，产品保质期为两天，若两天内未售出，则产品过期报废.由于烹制工艺复杂，该产品在最初推广阶段由企业每两天统一生产、集中配送一次.该企业为决策每两天的产量，选取旗下的直营连锁店进行试销，统计并整理连续30天的日销量(单位：百份)，假定该款新产品每日销量相互独立，得到如图的柱状图．

(1)记两天中销售该新产品的总份数为ξ(单位：百份)，求ξ的分布列和数学期望；
(2)以该新产品两天内获得利润较大为决策依据，在每两天生产配送27百份、28百份两种方案中应选择哪种？







19. 某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩，统计结果如下表．

第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲的成
绩/分
80
85
71
92
87
乙的成
绩/分
90
76
75
92
82
(1)若从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛，你认为选谁合适?请说明理由．
(2)若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案．
方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰．
方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被淘汰．
已知甲、乙两名学生都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大?请说明理由．







20. 小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前54单没有奖励，超过54单的部分每单奖励20元．

(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y(单位：元)与送货单数n的函数关系式；
(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在(n−15,n5](n=1，2，3，4，5)时，日平均派送量为50+2n单，若将频率视为概率，
回答下列问题：
①估计这100天中的派送量指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)：
②根据以上数据，设每名派送员的日薪为X(单位：元)，试分别求出甲、乙两种方案的日薪X的分布列及数学期望．请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适？并说明你的理由．







21. 2020年8月，教育部发布《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》，要求体育纳入高中学业水平考试范围.《国家学生体质健康标准》规定高三男生投掷实心球6.9米达标，高三女生6.2米达标.某地初步拟定投掷实心球的考试方案为每生可以投掷3次，一旦通过无需再投，为研究该方案的合理性，到某校任选4名学生进行测试，如果有2人不达标的概率超过0.1，该方案需要调整；否则就定为考试方案.已知该校男生投掷实心球的距离ξ1服从N6.9,0.25，女生投掷实心球的距离ξ2服从N6.2,0.16(ξ1,ξ2的单位：米)．
(1)请你通过计算，说明该方案是否需要调整；
(2)为提高学生考试达标率，该校决定加强训练.以女生为例，假设所有女生经训练后，投掷距离的增加值相同.问：女生投掷实心球的距离至少增加多少米，可使达标率不低于99%．
附：①参考数据：取310=2.15；②若X∼N(6.516,0.16)，则PX≤6.832=0.785．







答案和解析

1.【答案】解：(1)当n<50时，y=5n−50×3=5n−150，
当n⩾50时，y=50×(5−3)=100．
所以，函数解析式为y=5n−150,n<50100,n⩾50(n∈N∗)．
(2)①由(1)可知，当n=48时，X=90，当n=49时，X=95，当n⩾50时，X=100．
所以，随机变量X的可能取值为90、95、100．
P(X=90)=10100=110，P(X=95)=20100=15，P(X=100)=1−110−15=710，
所以，随机变量X的分布列如下表所示：
X
90
 95
 100
 P
 110
15 
710 
∴E(X)=110×90+15×95+100×710=98；
②由①知当购进50盒时，E(X)=98，
当购进51盒时，y=5n−153,n<51102,n⩾51(n∈N∗),
设Y表示当天的利润，当n=48时，Y=87，当n=49时，Y=92，当n=50时，Y=97，当n⩾51时，Y=102，
P(Y=87)=110，P(Y=92)=15，P(Y=97)=16100=425，P(Y=102)=54100=2750，
所以，E(Y)=87×110+92×15+97×425+102×2750=97.7．
因为E(X)>E(Y)，因此，每天购进50盒比较合理．

【解析】本题考查了函数解析式的求解，离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题．
(1)根据利润公式得出函数解析式；
(2)①求出利润的可能取值及其对应的概率，得出分布列和数学期望；
②求出n=51时对应的数学期望，根据利润的数学期望大小得出结论．

2.【答案】解：(1)由题意得：
1+m+29+n+7=1006×2929+n+7=2，
解得m=12，n=51．
(2)按方案A收购，农场收益为：500×60=30000(元)，
按方案B收购，以级别分装收购，每袋100个，特级品40元/袋、一级品30元/袋、二级品20元/袋、三级品10元/袋．
500千克龙眼干约有：500000500×100=100000(个)，
其中，特级品有100000×7+51100=58000个，
一级品有100000×29100=29000个，
二级品有100000×12100=12000个，
三级品有100000×1100=1000个，
∴按方案B收购，农场收益为：
580×40+290×30+120×20+10×10=34400(元)．
从而方案B农场的收益更高．

【解析】本题考查频数、收益的求法，考查频率分布直方图、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
(1)由频数分布表列出方程组，能求出m，n．
(2)按方案A收购，农场收益为500×60=30000(元)，500千克龙眼干约有500000500×100=100000个，其中，特级品有58000个，一级品有29000个，二级品有12000个，三级品有1000个，按方案B收购，求出农场收益为34400(元)，从而方案B农场的收益更高．

3.【答案】解：(1)由题知，大三团队个数占总团队数的60200=310，
则用分层抽样的方法，应从大三抽取的团队个数为20×310=6．
(2)甲组分数的平均数x甲=130，乙组分数的平均数x乙=131，
甲组分数的方差s甲2=104.2，乙组分数的方差s乙2=128.8．
选甲组理由：甲、乙两组分数的平均数相差不大，且s甲2 选乙组理由：x甲

【解析】本题考查分层抽样和平均数及方差的求法，属于基础题．
(1)根据分层抽样求出抽样比即可计算；
(2)分别计算甲乙两组的平均数和方差，即可说明理由进行选择．

4.【答案】解：方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元．
由表可知，采用甲措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9．
方案2：联合采用两种预防措施，费用不超过120万元，
由表可知．联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，
其概率为1−(1−0.9)(1−0.7)=0.97．
方法3：联合采用三种预防措施，费用不超过120万元，
故只能联合乙、丙、丁三种预防措施，此时突发事件不发生的概率为
1−(1−0.8)(1−0.7)(1−0.6)=1−0.024=0.976．
综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过120万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大．

【解析】本题考查概率的基础知识，考查相互独立事件的概率，考查对立事件的概率，以及运用概率知识解决实际问题的能力，属于基础题．
单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元，采用甲措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9.联合采用两种预防措施，费用不超过120万元，联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，联合采用三种预防措施，费用不超过120万元，故只能联合乙、丙、丁三种预防措施．

5.【答案】解：(Ⅰ)由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的所有基本事件有5×5=25个
满足条件的事件包含的基本事件为：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)共5个，
设“a+b=6”为事件A，根据古典概型公式得到P(A)=525=15;
(Ⅱ)这个游戏规则不公平．
设甲赢为事件B，
试验包含的所有事件数有25个，
而满足条件的基本事件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，
(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)共13个．
∴P(B)=1325>12，
∴这个游戏规则不公平．

【解析】本题考查古典概型及其计算．
(Ⅰ)由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有基本事件可以通过分步原理得到，满足条件的事件包含的基本事件可以列举出来，根据古典概型公式得到结果;
(Ⅱ)要求游戏是否公平，首先要求出甲赢的概率，把甲赢的概率同0.5作比较，判断这个规则是否公平．

6.【答案】解：(1)依题意有：
预防措施
A1
A2
A3
A4
p
0.9
0.8
0.7
0.6
费用(万元)
80
60
40
20
设事件C:表示使用A1和A2措施不爆发洪水，
则P(C)=1−P(A1⋅A2)=1−0.1×0.2=0.98．
(2)预防措施一：有四种情况：
单独用A1:总费用为：80+1000×0.1=180(万元);
单独用A2:总费用为：60+1000×0.2=260(万元);
单独用A3:总费用为：40+1000×0.3=340(万元);
单独用A4:总费用为：20+1000×0.4=420(万元)．
预防措施二：有六种情况：
A1A2联合：总费用为80+60+1000×0.1×0.2=160(万元);
A1A3联合：总费用为80+40+1000×0.1×0.3=150(万元);
A1A4联合：总费用为80+20+1000×0.1×0.4=140(万元);
A2A3联合：总费用为60+40+1000×0.2×0.3=160(万元);
A2A4联合：总费用为60+20+1000×0.2×0.4=160(万元);
A3A4联合：总费用为：40+20+1000×0.3×0.4=180(万元)．
所以，预防方案采用A1A4联合使用最好，使得总费用最少．

【解析】本题考查概率的计算，考查了利用概率估计总体．
(1)利用题意可求得单独采用Ai预防列举出各个措施所需费用，即可得解.措施后不爆发洪水的概率及费用，再利用互斥事件概率求解；
(2)分别求出各种方案的费用，比较费用的大小即可求解．

7.【答案】解：(1)①0.02:0.03:0.06=2:3:6，
所以211×11=2，311×11=3，611×11=6，
即从1−5中选2个，6−10个中选3个，11−15个中选6个，
又因为单次完成11−15个引体向上的人共有0.06×5×400=120人，
记“单次完成11−15个引体向上的甲被抽中”为事件A，
则p(A)=C1195C1206=6120=120
②X的所有可能取值有0、1、2，
P(X=0)=C93C113=2855
P(X=1)=C21C92C113=2455
P(X=2)=C22C91C113=355
所以X的分布列如下：
X
0
1
2
P
2855
2455
355

所以E(X)=0×2855+1×2455+2×355=3055=611．
(2)因为χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=400(5000−10000)2300×100×150×250=809≈8.889>7.879
所以有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关．

【解析】本题考查分层抽样，考查古典概型的计算与应用，考查离散型随机变量的分布列和期望，考查独立性检验，属于中档题．
(1)①由频率分布直方图确定单次完成1−5、6−10、11−15个引体向上人数比例，即可得从1−5中选2个，6−10个中选3个，11−15个中选6个，又因为单次完成11−15个引体向上的人共有120人，由古典概型的概率公式即可得结果;
②X的所有可能取值有0、1、2，分别计算出每个取值对应的概率，即可得分布列，由公式计算数学期望即可；
(2)由2×2列联表中的数据计算得χ2，与临界值表比较即可得答案．

8.【答案】解：(1)因为i=16(xi−x)(yi−y)=35，i=16(xi−x)2=17.5，i=16(yi−y)2=76，1330≈36.5．
所以r=i=16(xi−x)(yi−y)i=16(xi−x)2i=16(yi−y)2=3517.5×76=351330≈0.96>0.75，
所以y与月份代码x之间具有较强的相关关系，
故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．
 (2)这100辆A型单车平均每辆的利润为：
1100×(−500×10+0×30+500×40+1000×20)=350(元)，
这100辆B型单车平均每辆的利润为：
 1100×(−300×15+200×40+700×35+1200×10)=400(元)，
所以用频率估计概率，A款单车与B款单车平均每辆的利润估计值分别为350元、400元，应采购B款车型．

【解析】本题主要考查了相关系数，估计平均数的计算，回归分析的初步应用，考查计算能力，属于中档题．
(1)利用公式计算相关系数即可得结论;
(2)分别计算A型车和B型车利润的期望值，然后比较大小即可求解．

9.【答案】解：(1)要使系统的可靠度不低于0.992，
则P(X≥1)=1−P(X<1)=1−P(X=0)=1−(1−r)3≥0.992，
解得r≥0.8，故r的最小值为0.8．
(2)X正常工作的设备数，由题意可知，X～B(3,r)，
P(X=0)=C30×0.90×(1−0.9)3=0.001，
P(X=1)=C31×0.91×(1−0.9)2=0.027，
P(X=2)=C32×0.92×(1−0.9)1=0.243，
P(X=3)=C33×0.93×(1−0.9)0=0.729，
从而X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.001
0.027
0.243
0.729
(3)设方案1、方案2的总损失分别为X1，X2，
采用方案1，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度达到0.9，由(2)可知计算机网络断掉的概率为0.001，不断掉的概率为0.999，
因为E(X1)=80000+0.001×500000=80500元．
采用方案2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，由(1)可知计算机网络断掉的概率为0.008，
E(X2)=50000+0.008×500000=54000元，
因此，从期望损失最小的角度，决策部分应选择方案2．

【解析】本题主要考查离散型随机变量及其分布列、数学期望，考查对立事件的概率公式，相互独立事件同时发生的概率公式，属于中档题．
(1)由对立事件概率公式及相互独立事件同时发生的概率公式可得关于r的不等式，解之即可求解；
(2)由题意可知，X～B(3,r)，从而可求得X的分布列；
(3)方案1、方案2的总损失分别为X1，X2，根据题意结合(1)(2)分别计算E(X1)，E(X2)，从而可得结论．

10.【答案】解：(1)根据频率分布直方图得第1组的频率为0.01×5=0.05，
∴6x=0.05，
∴x=120．
(2)设中位数为a，则，
∴a=953≈32，
∴估计抽取的x人的年龄的中位数为32．
(3) ①5个年龄组成绩的平均数为x1=15(93+96+97+94+90)=94，
方差为s12=15[(-1)2+22+32+02+(-4)2]=6．
5个职业组成绩的平均数为x2=15(93+98+94+95+90)=94，
方差为s22=15[(-1)2+42+02+12+(-4)2]=6.8．
 ②评价：从平均数来看年龄组和职业组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更好．

【解析】本题考查频率分布直方图以及平均数、中位数和方差的求法，属于中档题．
(1)根据频率分布直方图性质即可求出结果；
(2)根据中位数的求法解答即可；
(3)根据平均数和方差的计算方法求解，进而通过方差判断即可．

11.【答案】解：设每张床位的收费每晚提高10x元，
则每张床位一晚上的租金为50+10x，租出的床位为200−10x，
且200−10x>0⇒x<20,x∈N*，
由题意得：(200−10x)(50+10x)>12600，
即：x2−15x+26<0
解得：2 每个床位的出租价格可定在80,90,100,110,120,130,140,150,160,170范围内．

【解析】此题主要考查了一元二次不等式的实际应用；根据题意列出不等式是解决问题的关键．
利用旅行社有200张床位，每张床位一晚上的租金为50元，当将出租收费标准每晚提高10x元，租出的床位会相应减少10x张，可得出每张床的租金与出租的床位数，列出不等式求解即可．

12.【答案】解：(1)不能．
因为平均收入4.5万元和最高收入200万元相差太大，说明高收入员工占极少数．
现在已经知道至少有一个人的收入为x100=200万元，那么其他员工的收入之和为：
i=199xi=4.5×100−200=250(万元)，250÷99≈2.53(万元)，
每个人平均只有2.53万元，
如果再有几个高收入者，那么初进公司的员工的收入将会很低．
(2)不能．
因为极差为200−1.5=198.5(万元)．
只能反映数据变化的最大范围，却不能体现数据的具体分布情况，是否受聘于此公司还要看中位数的大小．
(3)可以根据自身情况作出决定，这时根据题意可以确定有75%的员工工资在2万元以上，其中25%的员工工资在2万元以上，且收入的中位数大约是3万元．


【解析】本题考查了极差、平均数、中位数、众数等知识，属基础题．
(1)根据平均值作出判断；
(2)根据极差作出判断；
(3)根据中位数和众数作出判断．

13.【答案】解：(1)根据表中数据可得，三层共有120+240+90=450人，抽样比为30450=115，
故应该从甲层抽取120×115=8人；
从乙层抽取240×115=16人；
从丙层抽取90×115=6人.
(2)将30个数据按照从小到大的顺序进行排序，可得：
11.5，12.8，13.5，13.6，14.2，14.9，15.6，15.7，15.8，16.2，
16.3，16.4，17.0，17.2，17.7，17.8，18.0，18.2，18.4，19.2，
19.5，19.8，20.5，21.8，22.1，22.4，23.2，24.0，24.6，24.8，
为使得70％的销售员完成目标，只需求出第30百分位数即可．
由30×30％=9可知样本数据的第30百分位数为第9项与第10项数据的平均数，
即15.8+16.22=16.0．
则应该将销售目标定位16000元比较合理．


【解析】本题考查分层抽样，以及百分位数的计算，属于中档题．
(1)根据表中数据求得抽样比，即可据此求得每层抽取的人数；
(2)将数据从小到大进行排序，求得第30百分位数即可．


14.【答案】解：1由已知得，甲答题的正确率为200250=0.8，乙答题的正确率为150250=0.6，
设甲乙二人得分和的随机变量为X，则X的可能取值为0，5，10，15，20．
则PX=0=1−0.82×1−0.62=0.0064
PX=5=C21×1−0.8×0.8×0.42+C21×1−0.82×1−0.6×0.6=0.0704 
PX=10=1−0.82×0.62+0.82×1−0.62+C21×1−0.8×0.8×C21×1−0.6×0.6=0.2704 
PX=15=C21×1−0.8×0.8×0.62+C210.82×1−0.6×0.6=0.4224
PX=20=0.82×0.62=0.2304
X的分布列为
X
0
5
10
15
20
P
0.0064
0.0704
0.2704
0.4224
0.2304
EX=0×0.0064+5×0.0704+10×0.2704+15×0.4224+20×0.2304=14 
2甲选2题，过关率为1−1−0.82=0.96
甲选4题时，过关率为1−1−0.84−C41×0.8×1−0.83=0.9728
∴甲选4道题
乙选2题，过关率为1−1−0.62=0.84
乙选4题，过关率为1−1−0.64−C41×0.6×1−0.63=0.8208
∴乙选2道题．


【解析】本题考查了离散型随机变量的分布列和决策问题，属于中档题．
1求出甲答题的正确率和乙答题的正确率，设甲乙二人得分和的随机变量为X，则X的可能取值为0，5，10，15，20，进而求出相应概率并列分布列，利用数学期望的计算方法计算即可；
2分别求出甲乙选2题和选4道题的过关率，即可判断．


15.【答案】解：(1)y1=10x−(20+mx)=(10−m)x−20 (0≤x⩽200且x∈N)
y2=18x−(8x+40)−0.05x2 =−0.05x2+10x−40(0≤x≤120且x∈N)
(2)∵6⩽m⩽8，∴10−m>0．
∴y1=(10−m)x−20为增函数
又0⩽x⩽200,x∈N
∴x=200时，生产A产品有最大利润(10−m)×200−20=1980−200m(万美元)
y2=−0.05x2+10x−40=−0.05(x−100)2+460  (0⩽x⩽120,x∈N)
∴x=100时，生产B产品有最大利润460万美元
(3)(y1)max−(y2)max=1980−200m−460 =1520−200m，
∴当6⩽m<7.6，投资A产品200件可获得最大利润，
当7.6 当m=7.6，生产A产品200件与B产品100件均可获得最大利润．

【解析】本题考查函数最值的应用， 把实际问题转化为函数模型的能力，并能根据模型的解决指导实际生活中的决策问题，属于中档题．
(1)利润=年销售收入−固定成本−产品成本−特别关税，可求得该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系和定义域；
(2)根据一次函数和二次函数的性质分别求出年利润y1，y2的最大值；
(3)作差法比较年利润y1，y2的最大值的大小．

16.【答案】解：(1)从选出的20天中随机选出1天，A地区这1天空气质量等级为“优良”的频率为1−520=34，估计A地区当年(365天)的空气质量等级为“优良”的概率为34，所以A地区当年(365天)的空气质量等级为“优良”的天数约为365×0.75≈274．
(2)记A1表示事件“A地区空气质量等级为优良”，A2表示事件“A地区空气质量等级为轻中度污染”，B1表示事件“B地区空气质量等级为轻中度污染”，B2表示事件“B地区空气质量等级为重度污染”，则C=A1B1∪A1B2∪A2B2，所以P(C)=P(A1B1∪A1B2∪A2B2)=P(A1B1)+P(A1B2)+P(A2B2)=P(A1)P(B1)+P(A1)P(B2)+P(A2)P(B2).由所给数据得A1，A2，B1，B2发生的频率分别为34，15，15，320.故P(A1)=34，P(A2)=15，P(B1)=15，P(B2)=320，所以P(C)=34×(15+320)+15×320=117400．
(3)从空气质量角度，建议选择A地区．

【解析】本题考查频数、概率的求法及应用，考查互斥事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力
(1)从A地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况为“优良”的频率为1−
520=34，由此估计A地区当年(365天)的空气质量状况“优良”的概率为34，从而能求出A地区当年(365天)的空气质量状况“优良”的天数．
(2)记A1表示事件：“A地区空气质量等级为优良”，A2表示事件：“A地区空气质量等级为轻中度污染”，B1表示事件：“B地区空气质量等级为轻中度污染”，B2表示事件：“B地区空气质量等级为重度污染”，则A1与B1独立，A2与B2独立，B1与B2互斥，C=A1B1∪A1B2∪A2B2.由此能求出事件C的概率．
(3)从空气质量角度，建议选择A地区居住．

17.【答案】解：(1)由题得脐橙质量在[350,400)和[400,450)的比例为3：2．
∴应分别在质量为[350,400)和[400,450)的脐橙中各抽取3个和2个．
记抽取质量在[350,400)的脐橙为A1,A2，A3，质量在[400,450)的脐橙为B1,B2，
则从这5个脐橙中随机抽取2个的情况共有以下10种：A1A2，A1A3，A2A3，A1B1，A2B1，A3B1，A1B2，A2B2，A3B2，B1B2，
其中质量至少有一个不小于400克的7种情况，A1B1，A2B1，A3B1，A1B2，A2B2，A3B2，B1B2，
故所求概率为710，
(2)方案B好，理由如下：由频率分布直方图可知，脐橙质量在[200,250)的频率为50×0.001=0.05，同理，质量在[250,300),[300,350)，[350,400),[400,450)，[450,500]的频率依次为0.16，0.24，0.3，0.2，0.05，
若按方案B收购：
∵脐橙质量低于350克的个数为(0.05+0.16+0.24)×100000=45000个脐橙，
质量不低于350克的个数为55000个，
∴收益为45000×2+55000×3=255000元，
若按方案A收购：根据题意各段脐橙个数依次为5000，16000，24000，30000，20000，5000．
于是总收益为(225×5000+275×16000+325×24000+375×30000 
+425×20000+475×5000)×7÷1000=248150(元)，
∴方案B的收益比方案A的收益高，应该选择方案B.

【解析】本题主要考查频率分布直方图、概率，解答本题的关键是掌握相关知识，逐一分析解答即可，属于拔高题．
(1)由题得脐橙质量在[350,400)和[400,450)的比例为3：2.应分别在质量为[350,400)和[400,450)的脐橙中各抽取3个和2个，用列举法即可计算至少有一个不小于400克的概率；
(2)分别计算两种方案的收益即可为该村选择收益较好的方案．

18.【答案】解：(1)根据题意可得：
ξ的所有可能取值为24，25，26，27，28，29，30，
P(ξ=24)=110×110=1100，
P(ξ=25)=110×310×2=350，
P(ξ=26)=110×25×2+310×310=17100，
P(ξ=27)=110×15×2+310×25×2=725，
P(ξ=28)=310×15×2+25×25=725，
P(ξ=29)=25×15×2=425，
P(ξ=30)=15×15=125，
∴ξ的分布列为：
 ξ
 24
 25
 26
 27
 28
 29
 30
 P
 1100
 350
 17100
 725
 725
 425
 125
E(ξ)=24×1100+25×350+26×17100+27×725+28×725+29×425+30×125=27.4．
(2)当每天生产配送27百份时，利润为：
(24×20−3×60)×1100+(25×20−2×60)×350+(26×20−1×60)×17100+27×20×(1−1100−350−17100)=514.4(百元)，
当每两天生产配送28百份时，利润为：
(24×20−4×60)×1100+(25×20−3×60)×350+(26×20−2×60)×17100+(27×20−1×60)×725+28×20×1225=492.8(百元)，
∵514.4>492.8，
∴选择每天生产配送27百份．

【解析】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的运算，涉及到条形统计图、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．
(1)根据题意可得ξ的所有可能取值为24，25，26，27，28，29，30，分别求出相应的概率，能求出ξ的分布列和E(ξ)；
(2)分别求出每天生产配送27百份时的利润和每天生产配送28百份时的利润，推导出选择每天生产配送27百份．

19.【答案】解：(1)甲的平均成绩为x1=80+85+71+92+875=83，
乙的平均成绩为x2=90+76+75+92+825=83，
甲的成绩方差为s12=15i=15(xi−x1)2=50.8，
乙的成绩方差为s22=15i=15(xi−x2)2=48.8，
由于x1=x2,s12>s22，
乙的成绩较稳定，派乙参赛比较合适，故选乙合适．
(2)5道备选题中学生乙会的3道分别记为a，b，c，
不会的2道分别记为E，F．
方案一：学生乙从5道备选题中任意抽出1道的结果有：a，b，c，E，F，共5种，抽中会的备选题的结果有a，b，c，共3种．
所以学生乙可参加复赛的概率P1=35；
方案二：学生甲从5道备选题中任意抽出3道的结果有：a,b,c,a,b,E,a,b,F,a,c,E,a,c,F,a,E,F,b,c,E,b,c,F，b,E,F,c,E,F，共10种，抽中至少2道会的备选题的结果有：a,b,c,a,b,E,a,b,F,a,c,E,a,c,F,b,c,E,b,c,F，共7种，
所以学生乙可参加复赛的概率P2=710；因为P1 所以学生乙选方案二进入复赛的可能性更大．

【解析】本题考查了计算数据的平均数与标准差或方差，考查了古典概型的运算，属于中档题．
(1)甲的平均成绩为x1=83，乙的平均成绩为x2=83甲的成绩方差为s12=50.8，
乙的成绩方差为s22=48.8，由于x1=x2,s12>s22，可得结论；
(2)5道备选题中学生乙会的3道分别记为a，b，c，不会的2道分别记为E，F．
方案一：学生乙从5道备选题中任意抽出1道的结果有：a，b，c，E，F，共5种，抽中会的备选题的结果有a，b，c，共3种.所以学生乙可参加复赛的概率P1=35；
方案二：学生乙可参加复赛的概率P2=710；因为P1
20.【答案】解：(1)甲方案中派送员日薪y(单位：元)与送单数n的函数关系式为：y=100+n，n∈N，
乙方案中派送员日薪y(单位：元)与送单数n的函数关系式为：
y=140,n≤54140+20(n−54),n≥55,n∈N．
即y=140,n≤5420n−940,n≥55,n∈N．
(2)①(0.1×1+0.3×1.5+0.5×1+0.7×1+0.9×0.5)×0.2=0.44，
②所以X甲的分布列为：
X甲
152
154
156
158
160
P
0.2
0.3
0.2
0.2
0.1
所以E(X甲)=152×0.2+154×0.3+156×0.2+158×0.2+160×0.1=155.4，
所以X乙的分布列为：
X乙
140
180
220
260
P
0.5
0.2
0.2
0.1
所以E(X乙)=140×0.5+180×0.2+220×0.2+260×0.1=176，
由以上的计算结果可以看出，E(X甲) 即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案．

【解析】本题考查函数解析式的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法、统计表等基础知识，考查运算求解能力，属于较难题．
(1)甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前54单没有奖励，超过54单的部分每单奖励20元．由此能分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y(单位：元)与送货单数n的函数关系式；
(2)①(0.1×1+0.3×1.5+0.5×1+0.7×1+0.9×0.5)×0.2=0.44
②由已知，在这100天中，该公司派送员日平均派送单数求出X甲的分布列和E(X甲)=155.4，求出X乙的分布列和E(X乙)=176，即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案．

21.【答案】解：(1)因为每个人不达标的概率均为12，
所以4名学生中有2个不达标的概率为C42122122=38>0.1
所以该方案需要调整；
(2)设女生投掷实心球的距离至少增加x米，
此时ξ2∼N6.2+x,0.16，
当X N6.516,0.16时，此时6.2+x=6.516，得x=0.316，
且PX≤6.832=0.785，
所以P(X>6.832)=1−0.785=0.215，
因为点(6.832,0)关于X=6.516的对称点恰好为(6.2,0)，
所以P(X<6.2)=0.215，
此时女生达标率为1−0.2153≈1−0.01=0.99，达标率刚好为99%，
所以使达标率不低于99%，投掷实心球的距离至少增加0.316米，



【解析】此题考查正态分布的有关知识，独立重复试验的概率问题，解题的关键是正利用正态分布的对称性求解，考查分析问题的能力，考查计算能力，属于中档题
(1)由于每个人不达标的概率均为12，由此可得4名学生中有2个不达标的概率为C42122122，再与0.1比较大小可得答案；
(2)设女生投掷实心球的距离至少增加x米，则有ξ2∼N6.2+x,0.16，由X N6.516,0.16可得x=0.316，由已知条件和正态分布的对称性可得P(X<6.2)=0.215，此时女生达标率为1−0.2153≈1−0.01=0.99，从而可得结论．