高考数学(文数)一轮复习课时练习：9.3《几何概型》(教师版)

课时规范练

A组　基础对点练

1．在区间[0,1]上随机取一个数x，则事件“log0.5(4x－3)≥0”发生的概率为(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.  D.

解析：因为log0.5(4x－3)≥0，所以0<4x－3≤1，即<x≤1，所以所求概率P＝＝，故选D.

答案：D

2.如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是(　　)

A．1－  B.－1

C．2－  D.

解析：由题意知，两个四分之一圆补成半圆，其面积为×π×12＝，矩形面积为2，则所求概率为＝1－.

答案：A

3．在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1内任取一点P，则点P到正方体各面的距离都不小于1的概率为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：正方体中到各面的距离都不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合，且棱长为1的正方体，该正方体的体积是V1＝13＝1，而原正方体的体积为V＝33＝27，故所求的概率P＝＝.

答案：A

4．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：由已知，点P的分界点恰好是边CD的四等分点，

由勾股定理可得AB2＝(AB)2＋AD2，解得()2＝，即＝，故选D.

答案：D

5．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(　　)

A.  B.

 C.      D.

解析：由几何概型的概率计算公式可知，质点落在以AB为直径的半圆内的概率

P＝＝＝，故选B.

答案：B

6．在区间上随机取一个数x，则cos πx的值介于与之间的概率为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：区间的长度为1，满足cos πx的值介于与之间的x∈∪，区间长度为，由几何概型概率公式得P＝＝.

答案：D

7．为了测量某阴影部分的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此可以估计阴影部分的面积是(　　)

A．4  B．3

C．2  D．1

解析：由投掷的点落在阴影部分的个数与投掷的点的个数比得到阴影部分的面积与正方形的面积比为，所以阴影部分的面积约为9×＝3.

答案：B

8．如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝，A′点在A点左右都可取得，

故由几何概型的概率计算公式得P＝＝.

答案：C

9.如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：因为f(x)＝B点坐标为(1,0)，所以C点坐标为(1,2)，D点坐标为(－2,2)，A点坐标为(－2,0)，故矩形ABCD的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为×3×1＝，故P＝＝.

答案：B

10．(2018·商丘模拟)已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：如图所示，设点M是BC边的中点，因为＋＋2＝0，所以点P是中线AM的中点，所以黄豆落在△PBC内的概率P＝＝，故选C.

答案：C

11．设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为(　　)

A.＋  B.＋

C.－  D.－

解析：复数|z|≤1对应的区域是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆及其内部，图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足y≥x的区域，该区域的面积为π－×1×1＝π－，故满足y≥x的概率为＝－，故选D.

答案：D

12．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，b，则事件“”发生的概率为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：由题意可知.该不等式组表示的区域为一个边长为1的正方形，

其面积是1.表示的区域为一个边长为的正方形，面积是，所以所求概率为.

答案：A

13．若不等式x2＋y2≤2所表示的平面区域为M，不等式组表示的平面区域为N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为________．

解析：作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示，平面区域N的面积为×3×(6＋2)＝12，区域M在区域N内的面积为π()2＝，故所求概率P＝＝.

答案：

14．在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.

解析：由几何概型知＝，解得m＝3.

答案：3

15．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1>0”发生的概率为________．

解析：由题意知0≤a≤1，事件“3a－1>0”发生时，a>且a≤1，取区间长度为测度，

由几何概型的概率公式得其概率P＝＝.

答案：

16．已知函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，若从区间[－5,5]内随机抽取一个实数x0，则所取的x0满足f(x0)≤0的概率为________．

解析：令x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2，由几何概型的概率计算公式得P＝＝.

答案：

B组　能力提升练

1．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：建立如图所示的平面直角坐标系，

则试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD及其内部．要使函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，则必须有Δ＝4a2－4(－b2＋π)≥0，即a2＋b2≥π，其表示的区域为图中阴影部分．故所求概率P＝＝＝.

答案：B

2．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是(　　)

A.－　　　　　 B.

C．1－  D.

解析：设OA＝OB＝r，则两个以为半径的半圆的公共部分面积为2[π·()2－×()2]

＝，两个半圆外部的阴影部分的面积为πr2－[π()2×2－]＝，

所以所求概率为＝1－.

答案：C

3．在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤”的概率，p2为事件“xy≤”的概率，则(　　)

A．p1<p2<  B．p2<<p1

C.<p2<p1  D．p1<<p2

解析：如图，满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA内，其面积为1.事件“x＋y≤”对应的图形为阴影△ODE，其面积为××＝，故p1＝<，事件“xy≤”对应的图形为斜线表示部分，其面积显然大于，故p2>，则p1<<p2，故选D.

答案：D

4.在底和高等长的锐角三角形中有一个内接矩形，矩形的一边在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，则该点落入矩形内的最大概率为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：设矩形长为x，宽为y，则＝，y＝a－x，

S矩形＝xy＝x(a－x)≤2＝，其概率的最大值为＝.故选A.

答案：A

5.把半径为2的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为    (　　)

A.－1  B.

C.－  D.

解析：星形弧半径为2，所以点落在星形内的概率为

P＝＝－1，故选A.

答案：A

6．已知A(2,1)，B(1，－2)，C，动点P(a，b)满足0≤·≤2，且0≤·≤2，则动点P到点C的距离大于的概率为(　　)

A．1－  B.

C．1－  D.

解析：依题意有目标函数>表示以C为圆心，半径为的圆外．画出可行域如图所示，可行域的面积为，可行域内的圆外面积为－，故概率为＝1－.故选A.

答案：A

7．运行如图所示的程序框图，如果在区间[0，e]内任意输入一个x的值，则输出的f(x)值不小于常数e的概率是(　　)

A.  B．1－

C．1＋  D.

解析：由题意得f(x)＝如图所示，当1<x≤e时，f(x)>e，故输出的f(x)值不小于常数e的概率是＝1－，故选B.

答案：B

8. 在区间[1,5]和[2,4]分别取一个数，记为a，b，则方程＋＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：∵＋＝1表示焦点在x轴上且离心率小于，∴a>b>0，a<2b.

它对应的平面区域如图中阴影部分所示：

则方程＋＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为

P＝＝1－＝，故选B.

答案：B

9．已知O，A，B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2 km处，B地在O地正北方向2 km处，某测绘队员在A，B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过 km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是(　　)

A.  B.

C．1－  D．1－

解析：在等腰直角三角形OAB中，以O为圆心，为半径的圆截AB所得的线段长为2，而|AB|＝2，故该测绘队员能够得到准确数据的概率是1－＝1－，故选D.

答案：D

10．一只昆虫在边长分别为5,12,13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为________．

解析：如图所示，该三角形为直角三角形，其面积为×5×12＝30，阴影部分的面积为×π×22＝2π，所以其概率为＝.

答案：

11．在边长为2的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，用随机模拟方法来估计不规则图形的面积．若在正方形ABCD中随机产生了10 000个点，落在不规则图形M内的点数恰有2 000个，则在这次模拟中，不规则图形M的面积的估计值为________．

解析：由题意，因为在正方形ABCD中随机产生了10 000个点，落在不规则图形M内的点数恰有2 000个，所以概率P＝＝.

∵边长为2的正方形ABCD的面积为4，∴不规则图形M的面积的估计值为×4＝.

答案：

12．已知正方形ABCD的边长为2，H是边DA的中点．在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|<的概率为________．

解析：如图，设E，F分别为边AB，CD的中点，则满足|PH|<的点P在△AEH，扇形HEF及△DFH内，由几何概型的概率计算公式知，所求概率为

＝＋.

答案：＋

13．若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为________．

解析：对于直线方程(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0，令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝，由题意可得·||·||<，因为m∈(0,3)，所以解得0<m<2，由几何概型的概率计算公式可得，所求事件的概率是.

答案：