新高考数学大二轮复习每日一练含答案课件PPT

第七周

周一

1．(2021·潍坊模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝6，Sn＝an＋1＋1.

(1)证明：数列{Sn－1}为等比数列，并求出Sn.

(2)求数列的前n项和Tn.

(1)证明　由已知得Sn＝(Sn＋1－Sn)＋1，

整理得Sn＋1＝3Sn－2，

所以Sn＋1－1＝3(Sn－1)，

令n＝1，得S1＝a2＋1＝4，所以S1－1＝3，

所以{Sn－1}是以3为首项，3为公比的等比数列，

所以Sn－1＝3×3n－1＝3n，

所以Sn＝3n＋1.

(2)解　由(1)知，Sn＝3n＋1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－(3n－1＋1)＝2×3n－1，

当n＝1时，a1＝S1＝4，

所以an＝

所以＝

所以Tn＝＋＋…＋＝＋＝－.

周二

2．(2021·成都模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin A＝acos.

(1)求B；

(2)设a＝2，b＝，延长AC到点D使AC＝2CD，求△BCD的面积．

解　(1)∵bsin A＝acos.由正弦定理＝，可得bsin A＝asin B，

∴可得asin B＝acos，

可得sin B＝cos＝cos B＋sin B，化简可得tan B＝，

∵B∈(0，π)，∴B＝.

(2)由正弦定理＝，可得sin A＝＝＝，

可得cos A＝，

sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，

∴S△ABC＝2S△BCD＝absin C＝×2××＝，可得S△BCD＝.

周三

3．(2021·滨州模拟)国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个重点城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%.某市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量(单位：吨)进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区产生的垃圾数量超过28(吨/天)的确定为“超标”社区：

(1)在频数分布表中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，求这50个社区这一天产生的垃圾量的平均值(精确到0.1)；

(2)若该市人口数量在两万人左右的社区一天产生的垃圾量X大致服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别近似为(1)中样本的平均值，方差s2，经计算s约为5.2.请利用正态分布知识估计这320个社区一天中“超标”社区的个数；

(3)通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查，现计划在这8个“超标”社区中随机抽取5个进行跟踪调查，设Y为抽到的这一天产生的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求Y的分布列与均值．

附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3.

解　(1)由频数分布表得

＝

＝22.76≈22.8，

所以这50个社区这一天产生的垃圾量的平均值为22.8吨．

(2)由(1)知μ＝22.8.因为s约为5.2，所以取σ＝5.2.

所以P(X>28)＝P(X>μ＋σ)

≈＝0.158 65.

又320×0.158 65＝50.768≈51，

所以估计这320个社区一天中“超标”社区的个数为51.

(3)由频数分布表知，8个“超标”社区中这一天产生的垃圾量至少为30.5吨的社区有4个，所以Y的可能取值为1,2,3,4，

P(Y＝1)＝＝，

P(Y＝2)＝＝，

P(Y＝3)＝＝，

P(Y＝4)＝＝，

所以Y的分布列为

所以E(Y)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.

周四

4．(2021·合肥模拟)如图，已知AD⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，AB＝AC＝AD＝EC.

(1)设P是直线BE上的点，当点P在何位置时，直线DP∥平面ABC？请说明理由；

(2)在(1)的条件下，若∠BAC＝120°，求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

解　(1)当点P是BE的中点时，DP∥平面ABC.

理由如下：如图，取BC的中点O，连接AO，OP，PD，则OP∥EC，且OP＝EC，

因为AD⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，所以AD∥EC.

又AD＝EC，所以OP∥AD，且OP＝AD，

所以四边形AOPD是平行四边形，所以DP∥AO.

因为AO⊂平面ABC，DP⊄平面ABC，所以DP∥平面ABC.

(2)不妨设AB＝AC＝AD＝EC＝2，因为O为BC的中点，则AO⊥BC，

因为∠BAC＝120°，则∠ABC＝30°，所以AO＝1，CO＝BO＝.

因为AD⊥平面ABC，PO∥AD，则PO⊥平面ABC，

以点O为坐标原点，分别以AO，OB，OP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，

则B(0，，0)，D(－1,0,2)，E(0，－，4)，

所以＝(－1，－，2)，＝(0，－2，4)．

设平面BDE的法向量为n＝(x0，y0，z0)，

则即可取y0＝2，所以n＝(0,2，)．

又平面ABC的一个法向量为p＝(0,0,1)，

所以cos〈p，n〉＝＝＝.

故平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值为.

周五

5．(2021·全国乙卷)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.

(1)求C的方程；

(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值．

解　(1)由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故p＝2，

所以C的方程为y2＝4x.

(2)由(1)知F(1,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

则＝(x2－x1，y2－y1)，＝(1－x2，－y2)，

因为＝9，所以

可得

又点P在抛物线C上，所以y＝4x1，

即(10y2)2＝4(10x2－9)，化简得y＝x2－，

则点Q的轨迹方程为y2＝x－.

设直线OQ的方程为y＝kx，易知当直线OQ与曲线y2＝x－相切时，斜率可以取最大，

联立y＝kx与y2＝x－并化简，得k2x2－x＋＝0，

令Δ＝2－4k2·＝0，解得k＝±，

所以直线OQ斜率的最大值为.

周六

6．(2021·梅州模拟)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ex.

(1)若h(x)＝af(x)＋x2－(a＋1)x，a∈R，求函数h(x)的单调区间；

(2)不等式m[gm(x)＋1]≥2f(x)对于x>0恒成立，求实数m的取值范围．

解　(1)h(x)＝aln x＋x2－(a＋1)x(x>0)，

h′(x)＝＋x－(a＋1)＝

＝.

①当a>1时，单调递增区间为(0,1)和(a，＋∞)，单调递减区间为(1，a)．

②当a＝1时，单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．

③当0<a<1时，单调递增区间为(0，a)和(1，＋∞)，单调递减区间为(a,1)．

④当a≤0时，单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．

(2)不等式m[gm(x)＋1]≥2f(x)，

即m(emx＋1)≥2ln x恒成立，

mx(emx＋1)≥(x2＋1)ln x2，即(emx＋1)ln emx≥(x2＋1)·ln x2，

设函数φ(x)＝(x＋1)ln x(x>0)，φ′(x)＝1＋ln x＋，

令U(x)＝1＋ln x＋，U′(x)＝－＝，在(0,1)上，U′(x)<0，在(1，＋∞)上，U′(x)>0，φ′(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

所以φ′(x)≥φ′(1)＝2，

所以φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，

所以emx≥x2.

两边取自然对数，得≥在x>0上恒成立．

设F(x)＝，F′(x)＝，在(0，e)上，F′(x)>0，F(x)单调递增，在(e，＋∞)上，F′(x)<0，F(x)单调递减，

所以F(x)≤F(e)＝，

所以≥，即m≥.

所以实数m的取值范围是.