专题18 隐形圆及最值问题-2022年中考数学几何模型解题策略（课件 讲义）

专题18 隐形圆及最值问题

本文主要从以下四个方面去介绍：

一、从圆的定义构造圆（折叠类问题）

二、定边对直角

三、定边对定角

四、四点共圆

一、从圆的定义构造圆（折叠类问题）

圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．

构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．

1、几个点到某个定点距离相等可用圆

（定点为圆心，相等距离为半径）

例：如图，若AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的大小是_______

例：如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为__________

2、动点到定点距离保持不变的可用圆

（先确定定点，定点为圆心，动点到定点的距离为半径）

例：木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随

之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是

（   ）

如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是　　．

二、定边对直角

知识回顾：直径所对的圆周角是直角．

构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．

图形释义：

例：若AB是一条定线段，且∠APB=90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆．

如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（     ）

A．1 B． C．2 D．

例：如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（       ）

A．π B．π C．π D．2π

三、定边对定角

在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆．

例：（2018•日照）如图，已知点，，在抛物线上．

（1）求抛物线解析式；

（2）在直线上方的抛物线上求一点，使面积为1；

（3）在轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点，使？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．

四、四点共圆

两条线段被一点分成（内分或外分）两段长的乘积相等，则这两条线段的四个端点共圆．

例题1：        如图1，在四边形ABCD中，，，，，则______________．

（2）如图2，在的边AB、AC上分别取点Q、P，使得．求证：．

图1                            图2

例：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（       ）

A．2 B．π C．2π D．π

圆中最值问题

方法总结：圆中求最值的方法：(在圆中，注意圆的半径长为定值，要围绕半径构造模型解题)

①结合半径，利用垂线段最短直接构造直角三角形求解，如T1，T2；

②根据圆的对称性，将线段转换到一起，再利用两点之间线段最短求解，如T3，T10；

③利用直径是圆中最长的弦求解，如T5；

④寻找隐含条件(如中位线、直角三角形斜边上的中线等)，构造直角三角形或隐圆解题，如T6，T9.

1．如图，等边的边长为2，的半径为1，是上的动点，与相切于，的最小值是　　

A．1 B． C． D．2

2．如图，在中，弦，点在上移动，连接，过点作交于点，则的最大值为　　．

3．如图点是半圆上一个三等分点（靠近点这一侧），点是弧的中点，点是直径上的一个动点，若半径为3，则的最小值为　　．

4．如图，是的内接三角形，且是的直径，点为上的动点，且，的半径为6，则点到距离的最大值是　　．

5．如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点、分别是、的中点，则的最大值是 　　．

6．如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切．点、在轴上，且．点为上的动点，，则长度的最大值为　　．

7．已知点是圆心为坐标原点且半径为3的圆上的动点，经过点作直线轴，点是直线上的动点，若，则的面积的最大值为　　．

8．如图，已知的半径为，点为直径延长线上一点，．过点任作一直线，若上总存在点，使过所作的的两切线互相垂直，则的最大值等于　　．

9．如图，是矩形内一点，，，，则当线段最短时，　　．

10．如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、．

（1）求证：点为的中点；

（2）若，，求的长；

（3）若的半径为2，，点是线段上任意一点，试求出的最小值．