2015-2016学年重庆市渝中区巴蜀中学七年级（下）期末数学试卷

这是一份2015-2016学年重庆市渝中区巴蜀中学七年级（下）期末数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。

2015-2016学年重庆市渝中区巴蜀中学七年级（下）期末数学试卷（学生版）
　
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）如图，图中给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据的是（　　）

A．同位角相等，两直线平行
B．同旁内角互补，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行
D．同平行于一条直线的两直线平行
3．（4分）若下列各组值代表线段的长度，以它们为边不能构成三角形的是（　　）
A．3，8，4 B．4，9，6 C．15，20，8 D．9，15，8
4．（4分）下列说法错误的是（　　）
A．必然发生的事件发生的概率为1
B．不可能发生的事件发生的概率为0
C．不确定事件发生的概率为0
D．随机事件发生的概率介于0 和1之间
5．（4分）在实数﹣，，﹣，0.23中，无理数的个数是（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（4分）等腰三角形一个外角等于110°，则底角为（　　）
A．70°或40° B．40°或55° C．55°或70° D．70°
7．（4分）小明把如图所示的3×3的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域（四个全等的直角三角形的每个顶点都在格点上）的概率是（　　）

A． B． C． D．
8．（4分）如图．矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3．则AB的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
9．（4分）小亮每天从家去学校上学行走的路程为900米，某天他从家去上学时以每分30米的速度行走了450米，为了不迟到他加快了速度，以每分45米的速度行走完剩下的路程，那么小亮行走过的路程S（米）与他行走的时间t（分）之间的函数关系用图象表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．（4分）已知蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方形纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（　　）

A．8 B．10 C．12 D．16
11．（4分）如图1，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是（　　）

A．n B．2n﹣1 C． D．3（n+1）
12．（4分）如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD=CD，∠DBC=∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：
①△CDE≌△BDF；②CE=AB+AE；③∠BDC=∠BAC；④∠DAF=∠CBD．
其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
　
二、填空（本大题10个小题，每小题3分，共30分）
13．（3分）的平方根是　 　．
14．（3分）若三角形三条边的长分别为7，24，25，则这个三角形的最大内角是　 　度．
15．（3分）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠C=150°，则∠CDE的度数是　 　．

16．（3分）根据如图所示程序计算函数值，若输入的x的值为，则输出的函数值为　 　．

17．（3分）若一个正数x的平方根为2+3a和5﹣5a，则这个数是　 　．
18．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则△BEC的周长为　 　．

19．（3分）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，点E在AD上，AE=2DE，若△ABE的面积是4，则△ABC的面积是　 　．

20．（3分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，P为其底角平分线的交点，将△BCP沿CP折叠，使B点恰好落在AC边上的点D处，若DA=DP，则∠A的度数为　 　．

21．（3分）在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AB=5，BC=12．过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的T处，折痕为MN．当点T在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动．若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，则线段AT长度的最大值与最小值之和为　 　（计算结果不取近似值）．
　
三、解答题（本大题共72分）
22．（18分）计算
（1）2x（x﹣2y）﹣（2x﹣y）2
（2）（x﹣3）（3+x）﹣（x2+x﹣1）
（3）（﹣）﹣3+|1﹣|﹣（﹣π）0﹣（﹣1）2013．
23．（7分）已知：如图，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：△OAC≌△OBD．

24．（8分）化简求值：已知x，y满足：x2﹣4x+4+=0，求代数式（3x+y）2﹣3（3x﹣y）（x+y）﹣（x﹣3y）（x+3y）的值．
25．（10分）巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整）．根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）在上述变化过程中，自变量是　 　，因变量是　 　；
（2）朱老师的速度为　 　米/秒；小明的速度为　 　米/秒；
（3）求小明第一次追上朱老师前，朱老师距起点的距离s与t的关系式，并写出自变量t的取值范围．

26．（10分）我们来定义下面两种数：
①平方和数：若一个三位数或者三位以上的整数分成左、中、右三个数后满足：中间数=（左边数）2+（右边数）2，我们就称该整数为平方和数；例如：对于整数251．它中间的数字是5，左边数是2，右边数是1．∵22+12=5，∴251是一个平方和数．又例如：对于整数3254，它的中间数是25，左边数是3，右边数是4，∵32+42=25∴2，34是一个平方和数．当然152和4253这两个数也是平方和数；
②双倍积数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成左、中、右三个数后满足：中间数=2×左边数×右边数，我们就称该整数为双倍积数；例如：对于整数163，它的中间数是6，左边数是1，右边数是3，∵2×1×3=6，∴163是一个双倍积数，又例如：对于整数3305，它的中间数是30，左边数是3，右边数是5，∵2×35=30，∴3305是一个双倍积数，当然361和5303这两个数也是双倍积数；
注意：在下面的问题中，我们统一用字母a表示一个整数分出来的左边数，用字母b表示一个整数分出来的右边数，请根据上述定义完成下面问题：
（1）如果一个三位整数为平方和数，且十位数为9，则该三位数为　 　；如果一个三位整数为双倍积数，且十位数字为4，则该三位数为　 　；
（2）如果一个整数既为平方和数，又是双倍积数．则a，b应该满足什么数量关系；说明理由；
（3）为一个平方和数，为一个双倍积数，求a2﹣b2．
27．（10分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB，△BDC为等腰直角三角形，∠BDC=90°，BD=CD；CE与BD交于F，连AF，M为BC中点，连接DM交CE于N．请说明：
（1）△ABD≌△NCD；
（2）CF=AB+AF．

28．（12分）直角三角形有一个非常重要的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，比如：如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，D为斜边AB中点，则CD=AD=BD=AB．请你利用该定理和以前学过的知识解决下列问题：
如图2，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；
（1）求证：PM=PN；
（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；
（3）如图4，∠BAC=90°，a旋转到与BC垂直的位置，E为BC上一点且AE=AC，EN⊥a于N，连接EC，取EC中点P，连接PM，PN，求证：PM⊥PN．

　

2015-2016学年重庆市渝中区巴蜀中学七年级（下）期末数学试卷（教师版）
　
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
解：A、不是轴对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项错误；
故选：A．
2．（4分）如图，图中给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据的是（　　）

A．同位角相等，两直线平行
B．同旁内角互补，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行
D．同平行于一条直线的两直线平行
解：由图形得，有两个相等的同位角，所以只能依据：同位角相等，两直线平行，
故选：A．
　
3．（4分）若下列各组值代表线段的长度，以它们为边不能构成三角形的是（　　）
A．3，8，4 B．4，9，6 C．15，20，8 D．9，15，8
解：A、3+4＜8，则不能构成三角形，故此选项正确；
B、6+4＞9，则能构成三角形，故此选项错误；
C、15+8＞20，则能构成三角形，故此选项错误；
D、8+9＞15，则能构成三角形，故此选项错误；
故选：A．
4．（4分）下列说法错误的是（　　）
A．必然发生的事件发生的概率为1
B．不可能发生的事件发生的概率为0
C．不确定事件发生的概率为0
D．随机事件发生的概率介于0 和1之间
解：A、必然发生的事件发生的概率为1，故本选项错误；
B、不可能发生的事件概率为0，本选项错误；
C、不确定事件发生的概率＞0并且＜1，本选项正确；
D、随机事件发生的概率介于0和1之间，本选项错误．
故选：C．
5．（4分）在实数﹣，，﹣，0.23中，无理数的个数是（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：﹣，﹣是无理数，
故选：B．
6．（4分）等腰三角形一个外角等于110°，则底角为（　　）
A．70°或40° B．40°或55° C．55°或70° D．70°
解：分为两种情况：①当顶角的外角是110°时，顶角是180°﹣110°=70°，则底角是×（180°﹣70°）=55°；
②当底角的外角是110°时，底角是180°﹣110°=70°；
即底角为55°或70°，
故选：C．
7．（4分）小明把如图所示的3×3的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域（四个全等的直角三角形的每个顶点都在格点上）的概率是（　　）

A． B． C． D．
解：∵阴影部分的面积=4个小正方形的面积，
大正方形的面积=9个小正方形的面积，
∴阴影部分的面积占总面积的，
∴镖落在阴影区域（四个全等的直角三角形的每个顶点都在格点上）部分的概率为．
故选：C．
8．（4分）如图．矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3．则AB的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8﹣3=5，
在Rt△CEF中，CF===4，
设AB=x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，
故选：D．
　
9．（4分）小亮每天从家去学校上学行走的路程为900米，某天他从家去上学时以每分30米的速度行走了450米，为了不迟到他加快了速度，以每分45米的速度行走完剩下的路程，那么小亮行走过的路程S（米）与他行走的时间t（分）之间的函数关系用图象表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
解：小亮行走过的路程S（米）应随他行走的时间t（分）的增大而增大，因而选项A、B一定错误；
他从家去上学时以每分30米的速度行走了450米，所用时间应是15分钟，因而选项C错误；
行走了450米，为了不迟到，他加快了速度，后面一段图象陡一些，选项D正确．
故选：D．

　
10．（4分）已知蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方形纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（　　）

A．8 B．10 C．12 D．16
解：将点A和点B所在的两个面展开，
则矩形的长和宽分别为6和8，
故矩形对角线长AB==10，
即蚂蚁所行的最短路线长是10．
故选：B．


　
11．（4分）如图1，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是（　　）

A．n B．2n﹣1 C． D．3（n+1）
解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
在△ABD与△ACD中，
AB=AC，
∠BAD=∠CAD，
AD=AD，
∴△ABD≌△ACD．
∴图1中有1对三角形全等；
同理图2中，△ABE≌△ACE，
∴BE=EC，
∵△ABD≌△ACD．
∴BD=CD，
又DE=DE，
∴△BDE≌△CDE，
∴图2中有3对三角形全等；
同理：图3中有6对三角形全等；
由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是．
故选：C．
12．（4分）如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD=CD，∠DBC=∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：
①△CDE≌△BDF；②CE=AB+AE；③∠BDC=∠BAC；④∠DAF=∠CBD．
其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF，
在Rt△CDE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正确；
∴CE=AF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
∴CE=AB+AF=AB+AE，故②正确；
∵Rt△CDE≌Rt△BDF，
∴∠DBF=∠DCE，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠BDC=∠BAC，故③正确；
∠DAE=∠CBD，
∵Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴∠DAE=∠DAF，
∴∠DAF=∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④共4个．
故选：D．
二、填空（本大题10个小题，每小题3分，共30分）
13．（3分）的平方根是　±3　．
解：∵=9，9的平方根是±3，
∴的平方根是±3．
故答案为±3．
14．（3分）若三角形三条边的长分别为7，24，25，则这个三角形的最大内角是　90　度．
解：∵三角形三条边的长分别为7，24，25，
∴72+242=252，
∴这个三角形为直角三角形，最大角为90°．
∴这个三角形的最大内角是90度．
15．（3分）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠C=150°，则∠CDE的度数是　165°　．

解：∵AB∥CD，∠C=150°，
∴∠ABC=30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠DBC=15°，
∵∠CDE是△BCD的外角，
∴∠CDE=∠C+∠DBC=150°+15°=165°．
故答案为：165°．

16．（3分）根据如图所示程序计算函数值，若输入的x的值为，则输出的函数值为　　．

解：∵2＜＜4，
∴输入x的值为后按照第三个函数解析式y=进行计算，
∴输出的函数值y==．
故答案为：．
17．（3分）若一个正数x的平方根为2+3a和5﹣5a，则这个数是　156.25　．
解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，
∴2+3a+5﹣5a=0．
解得：a=3.5．
∴2+3a=2+3×3.5=12.5．
∵（12.5）2=.25，
∴这个数是156.25．
故答案为：156.25

18．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则△BEC的周长为　14　．

解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△BEC周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，
∵AC=AB=8，BC=6，
∴△BEC周长=8+6=14．
故答案为：14．

19．（3分）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，点E在AD上，AE=2DE，若△ABE的面积是4，则△ABC的面积是　12　．

解：∵AE=2DE，
∴AD=3DE，
∴S△ABE：S△ABD=AE：AD=2DE：3DE=2：3．
又∵△ABE的面积是4，
∴S△ABD=6．
∵AD是△ABC的边BC上的中线，
∴BD=CD，
∴S△ABD：S△ADC=BD：CD=1：1，
∴S△ADC=S△ABD=6，
∴S△ABC=S△ADC+S△ABD=6+6=12．
故答案为：12
20．（3分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，P为其底角平分线的交点，将△BCP沿CP折叠，使B点恰好落在AC边上的点D处，若DA=DP，则∠A的度数为　36°　．

解：连接AP，

∵P为其底角平分线的交点，
∴点P是△ABC的内心，
∴AP平分∠BAC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
设∠A=2x，则∠DAP=x，∠PBC=∠PCB=45°﹣x，
∵DA=DP，
∴∠DAP=∠DPA，
由折叠的性质可得：∠PDC=∠PBC=45°﹣x，
则∠ADP=180°﹣∠PDC=135°+x，
在△ADP中，∠DAP+∠DPA+∠ADP=180°，即x+x+135°+x=180°，
解得：x=18，
则∠A=2x=36°．
故答案为：36°．
21．（3分）在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AB=5，BC=12．过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的T处，折痕为MN．当点T在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动．若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，则线段AT长度的最大值与最小值之和为　17﹣　（计算结果不取近似值）．
解：如图所示：当点M与点A重合时，AT取得最大值，
由轴对称可知，AT=AB=5；
当点N与点C重合时，AT取得最小值，
过点C作CD⊥l于点D，连结CT，则四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=5，
由轴对称可知，CT=BC=12，
在Rt△CDT中，CD=5，CT=12，
则DT==，
∴AT=AD﹣DT=12﹣，
综上可得：线段AT长度的最大值与最小值的和为17﹣；
故答案为：17﹣．

　
三、解答题（本大题共72分）
22．（18分）计算
（1）2x（x﹣2y）﹣（2x﹣y）2
（2）（x﹣3）（3+x）﹣（x2+x﹣1）
（3）（﹣）﹣3+|1﹣|﹣（﹣π）0﹣（﹣1）2013．
解：（1）原式=2x2﹣4xy﹣4x2+4xy﹣y2=﹣2x2﹣y2；
（2）原式=x2﹣9﹣x2﹣x+1=﹣8﹣x；
（3）原式=﹣8+﹣1﹣1+1=﹣9．

　
23．（7分）已知：如图，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：△OAC≌△OBD．

证明：∵∠1=∠2，
∴OA=OB．
在△OAC与△OBD中
，
∴△OAC≌△OBD（AAS）．
　
24．（8分）化简求值：已知x，y满足：x2﹣4x+4+=0，求代数式（3x+y）2﹣3（3x﹣y）（x+y）﹣（x﹣3y）（x+3y）的值．
解：已知等式整理得：（x﹣2）2+=0，
∴x﹣2=0，y﹣3=0，
解得：x=2，y=3，
则原式=9x2+6xy+y2﹣9x2﹣6xy+3y2﹣x2+9y2=﹣x2+13y2=﹣4+117=113．
　
25．（10分）巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整）．根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）在上述变化过程中，自变量是　小明出发的时间t　，因变量是　距起点的距离s　；
（2）朱老师的速度为　2　米/秒；小明的速度为　6　米/秒；
（3）求小明第一次追上朱老师前，朱老师距起点的距离s与t的关系式，并写出自变量t的取值范围．

解：（1）观察函数图象可得出：自变量为小明出发的时间t，因变量为距起点的距离s．
故答案为：小明出发的时间t；距起点的距离s．
（2）朱老师的速度为：（300﹣200）÷50=2（米/秒）；
小明的速度为：300÷50=6（米/秒）．
故答案为：2；6．
（3）设小明第一次追上朱老师前，朱老师距起点的距离s与t的关系式为y=kx+b，
将（0，200）、（50，300）代入y=kx+b中，得：
，解得：，
∴小明第一次追上朱老师前，朱老师距起点的距离s与t的关系式为y=2x+200，
当y=0时，有0=2x+200，
解得：x=﹣100，
∴小明第一次追上朱老师前，朱老师距起点的距离s与t的关系式为y=2x+200（﹣100≤x＜50）．
　
26．（10分）我们来定义下面两种数：
①平方和数：若一个三位数或者三位以上的整数分成左、中、右三个数后满足：中间数=（左边数）2+（右边数）2，我们就称该整数为平方和数；例如：对于整数251．它中间的数字是5，左边数是2，右边数是1．∵22+12=5，∴251是一个平方和数．又例如：对于整数3254，它的中间数是25，左边数是3，右边数是4，∵32+42=25∴2，34是一个平方和数．当然152和4253这两个数也是平方和数；
②双倍积数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成左、中、右三个数后满足：中间数=2×左边数×右边数，我们就称该整数为双倍积数；例如：对于整数163，它的中间数是6，左边数是1，右边数是3，∵2×1×3=6，∴163是一个双倍积数，又例如：对于整数3305，它的中间数是30，左边数是3，右边数是5，∵2×35=30，∴3305是一个双倍积数，当然361和5303这两个数也是双倍积数；
注意：在下面的问题中，我们统一用字母a表示一个整数分出来的左边数，用字母b表示一个整数分出来的右边数，请根据上述定义完成下面问题：
（1）如果一个三位整数为平方和数，且十位数为9，则该三位数为　390　；如果一个三位整数为双倍积数，且十位数字为4，则该三位数为　241或142　；
（2）如果一个整数既为平方和数，又是双倍积数．则a，b应该满足什么数量关系；说明理由；
（3）为一个平方和数，为一个双倍积数，求a2﹣b2．
解：（1）∵三位整数为平方和数，9=32+02，
∴左边数为3，右边数为0，
∴该三位数为390．
∵三位整数为双倍积数，且十位数字为4，
4=2×2×1，
∴该三位数为241或142．
故答案为390，241或142．

（2）如果一个整数既为平方和数，又是双倍积数．则a，b应该满足a2+b2=2ab，即（a﹣b）2=0，
∴a=b．

（3）由题意，
易知（a﹣b）2=25，（a+b）2=1225，
∵a＞0，b＞0，
∴a﹣b=±5，a+b=35，
∴a2﹣b2=±175．
　
27．（10分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB，△BDC为等腰直角三角形，∠BDC=90°，BD=CD；CE与BD交于F，连AF，M为BC中点，连接DM交CE于N．请说明：
（1）△ABD≌△NCD；
（2）CF=AB+AF．

证明：（1）∵CE⊥AB，
∴∠BEF=∠CDF=90°，
∵∠ABD+∠EFB=90°，∠DCF+∠DFC=90°，∠EFB=∠DFC，
∴∠ABD=∠DCN，
∵DB=DC，∠BDC=90°，BM=CM，
∴∠MDB=∠MDC=∠DBC=45°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=45°，
∴∠ADB=∠CDN，
在△ADB和△NDC中，
，
∴△ABD≌△NCD．

（2）∵△ABD≌△NCD，
∴AD=DN，AB=CN，
在△FDA和△FDN中，
，
∴△FDA≌△FDN，
∴AF=FN，
∴CF=CN+FN=AB+AF．

　
28．（12分）直角三角形有一个非常重要的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，比如：如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，D为斜边AB中点，则CD=AD=BD=AB．请你利用该定理和以前学过的知识解决下列问题：
如图2，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；
（1）求证：PM=PN；
（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；
（3）如图4，∠BAC=90°，a旋转到与BC垂直的位置，E为BC上一点且AE=AC，EN⊥a于N，连接EC，取EC中点P，连接PM，PN，求证：PM⊥PN．

（1）证明：如图2中，延长NP交BM的延长线于G．

∵BM⊥AM，CN⊥AM，
∴BG∥CN，
∴∠PCN=∠PBG，
在△PNC和△PGB中，
，
∴△PNC≌△PGB，
∴PN=PG，
∵∠NMG=90°，
∴PM=PN=PG．

（2）解：结论：PM=PN．
如图3中，延长NP交BM于G．

∵BM⊥AM，CN⊥AM，
∴BM∥CN，
∴∠PCN=∠PBG，
在△PNC和△PGB中，
，
∴△PNC≌△PGB，
∴PN=PG，
∵∠NMG=90°，
∴PM=PN=PG．

（3）如图4中，延长NP交BM于G．

∵∠EAN+∠CAM=90°，∠CAM+∠ACM=90°，
∴∠EAN=∠ACM，
在△EAN和△CAM中，
，
∴△EAN≌△CAM，
∴EN=AM，AN=CM，
∵EN∥CG，
∴∠ENP=∠CGP，
在△ENP和△CGP中，
，
∴△ENP≌△CGP，
∴EN=CG=AM，PN=PG，
∵AN=CM，
∴MG=MN，
∴PM⊥PN．