天津市大港油田第三中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

滨海新区大港油田第三中学2020-2021学年

高二期中数学试卷

一、选择题（本题共10小题，每小题6分，共60分）

1.  若向量0，，向量1，，则

A. 1， B. 1， C.  D.

2.  抛物线的准线方程为

A.     B.        C.  D.

3.  双曲线的渐近线方程是

A.     B.  C.  D.

4.  已知向量2，，，并且，则实数x的值为

A. 10       B.         C.         D.

5. 焦距是10，虚轴长是8，经过点的双曲线的标准方程是

A  B.  C.  D.

6. 若动点 满足方程，则动点M 的轨迹方程（   ）

A      B      C      D 

7.  如图，在三棱柱中，M为的中点，若，，，则可表示为

A.      B.      

C.      D.

8. 已知双曲线：的离心率为若抛物 

线   的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为 

A.      B. 　　  C.    D.

9.  已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是     

A. 2 B. 3 C.  D.

10.  设图、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得，，则该双曲线的离心率为

A.         B.         C.         D. 3

二、填空题（本题共6个小题，每题7分，共42分）

11. 若向量，向量y，，且，则______，______．

12. 若双曲线上一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离是______．

13. 若方程表示焦点在y轴的椭圆，则实数m的取值范围是______．

14. 在空间直角坐标系中，2，，1，，1，，则异面直线OA与BC所成角的余弦值为______．        

15. 圆与圆的公共弦长为                                       

16. 如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为______ ．
 

三、解答题（本题共3题，每题16分，共48分）
  17.已知圆C的圆心在x轴上，且经过点，．

Ⅰ求线段AB的垂直平分线方程；

Ⅱ求圆C的标准方程；

Ⅲ过点的直线l与圆C相交于M、N两点，且，求直线l的方程．

18.   如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点．
    Ⅰ求证：；
    Ⅱ求二面角的正弦值；
    Ⅲ求直线AB与平面所成角的正弦值．
    
     

19.已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点．
求椭圆C的方程；
如图，已知，是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．
若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
当A，B运动时，满足，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．

1. 已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点．
   
   求椭圆C的方程；
   如图，已知，是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．
   若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
   当A，B运动时，满足，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．

【答案】解：设椭圆C的方程为，

抛物线的焦点为

．

由，，得，

椭圆C的方程为．

设，

设直线AB的方程为，

代入，得，

由，解得，

，，

．

四边形APBQ的面积．

当时，S取得最大值，且．

若，则直线PA，PB的斜率之和为0，
设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为，直线PA的方程为，

由消去y，得，

，

将k换成可得，

，，

，

直线AB的斜率为定值．

【解析】本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键．
根据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于由此列式解出出a，b的值，即可得到椭圆C的方程．
设，，直线AB的方程为，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系求得四边形APBQ的面积，从而解决问题．
设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为，PA的直线方程为将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系求得，同理PB的直线方程为，可得，从而求出，，即可得出AB的斜率为定值．
 

2. 如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点．
   Ⅰ求证：；
   Ⅱ求二面角的正弦值；
   Ⅲ求直线AB与平面所成角的正弦值．
    

【答案】解：根据题意，以C为原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

则0，，0，，2，，0，，
0，，2，，0，，0，，1，，
Ⅰ证明：依题意，1，，，
，
，即；
Ⅱ依题意，0，是平面的一个法向量，
2，，0，，
设y，为平面的法向量，
则，即，
不妨设，则，
，，
，，
二面角的正弦值为；
Ⅲ依题意，2，，
由Ⅱ知，为平面的一个法向量，
，，
直线AB与平面所成角的正弦值为．

【解析】本题考查了空间向量在几何中的应用，线线垂直的证明、二面角和线面角的求法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，逻辑推理能力，属于中档题．
Ⅰ建立空间坐标系，根据向量的数量积等于0，即可证明；
Ⅱ先求得平面的法向量，而是平面的一个法向量，再根据向量的夹角公式求解；
Ⅲ求出，值，即可求出直线AB与平面所成角的正弦值．
 

3. 已知圆C的圆心在x轴上，且经过点，．

Ⅰ求线段AB的垂直平分线方程；

Ⅱ求圆C的标准方程；

Ⅲ过点的直线l与圆C相交于M、N两点，且，求直线l的方程．

【答案】解：Ⅰ设AB的中点为D，则．
由圆的性质，得，
所以，，得．
所以线段AB的垂直平分线CD的方程是                  
Ⅱ设圆C的标准方程为，其中，半径为
由圆的性质，圆心在直线CD上，化简得．
所以圆心，，                                     
所以圆C的标准方程为
Ⅲ由设F为MN中点，则，得．
圆心C到直线的距离．
当l的斜率不存在时，，此时，符合题意 
当l的斜率存在时，设，即，
由题意得，解得：．
故直线l的方程为，即．
综上直线l的方程或．

【解析】本题考查直线与圆的有关问题，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
圆内一点为弦的中点时，则此点与圆心的连线和弦所在的直线垂直；解决圆的弦长有关问题，注意弦长一半、弦心距、半径构成的直角三角形的三边的勾股数之间的关系．
Ⅰ利用垂直平分关系得到斜率及中点，从而得到结果；
Ⅱ设圆C的标准方程为，结合第一问可得结果；
Ⅲ由题意可知：圆心C到直线的距离为1，分类讨论可得结果．