高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.3 直线与圆的位置关系学案及答案

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直线与圆的位置关系课标解读课标要求素养要求1.能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.⒉能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题1.直观想象——能借助图形理解直线与圆的位置关系及切线、弦长问题⒉数学运算——能利用代数运算解决直线和圆的方程问题自主学习·必备知识教材研习教材原句1.如图（1）所示，直线与圆有① 两个公共点时，称直线与圆相交，且称直线为圆的② 割线；如图（2）所示，直线与圆只有③ 一个公共点时，称直线与圆相切，且称直线为圆的④ 切线，称公共点为切点；如图（3）所示，直线与圆没有公共点时，称直线与圆⑤ 相离 .2.几何法判断直线和圆的位置关系如图所示，如果的半径为，圆心到直线的距离为，则：直线与相交 ⑥ ；直线与相切；直线与相离 ⑦ .自主思考1.若直线与圆有公共点，则直线与圆是什么位置关系？答案：提示相交或相切2.直线与圆的位置关系是什么？答案：提示相交名师点睛1.代数法判断直线与圆的位置关系联立直线的方程与圆的方程组成方程组消去（或）得到关于（或）的一元二次方程的判别式，其判别式为 .①直线与圆相切；②直线与圆相交；③直线与圆相离.2.判断直线与圆位置关系的注意点（1）利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的解，只需将直线方程代入到圆的方程中，并消去一个变量，得到关于或的一元二次方程，由判断方程解的个数，利用解的个数判断直线与圆的位置关系.（2）利用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须求出圆心坐标，圆的半径和圆心到直线的距离，比较与的大小，进而进行判断.（3）一般情况下，代数法运算比较烦琐，而几何法较简捷，是判断直线与圆位置关系的常用方法.互动探究·关键能力探究点一直线与圆位置关系的判断精讲精练例（1）（2021山东聊城高二期末）直线与圆的位置关系是(     )A.相切B.相交且直线过圆心C.相交但直线不过圆心D.相离（2）（多选）已知圆，直线 .下列命题中正确的有(     )A.对任意实数和，直线和圆有公共点B.对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切C.对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切D.存在实数与，使得圆上有一点到直线l的距离为3答案：（1）（2） ; 解析：（1）圆的圆心为，半径 .因为圆心到直线的距离，所以直线与圆相交但直线不过圆心.（2）易知圆与直线恒过原点，所以A正确；设圆心到直线的距离为，则，所以对于任意实数k，直线l与圆相交或相切，所以C正确，B不正确；易知圆上的点到直线的距离最大值为，所以D不正确.解题感悟直线与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.（2）代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断.（3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.迁移应用1.（2020宁夏青铜峡高级中学高二期中）直线与圆的位置关系是（）A.相交B.相离C.相切D.无法判定答案：解析：圆的圆心是(2,3)，半径，故圆心(2,3)到直线的距离，故直线与圆相交.2.（2020山东济南高二月考）直线与圆的位置关系是(     )A.相交B.相切C.相离D.与的取值有关答案：解析：由知圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离.探究点二直线与圆相切问题精讲精练例（1）（2021山东聊城高二期中）已知圆与直线相切，直线始终平分圆的面积，则圆的方程为(      )A. B.C. D.（2）过点作圆的切线，求此切线的方程.答案：（1）解析：（1）在中，令，则，则直线过定点(0,-1).由于直线始终平分圆的面积，则点(0,-1)是圆的圆心，因为圆与直线相切，所以圆的半径所以圆的方程为，即 .答案：（2）因为，所以点在圆外.①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为，则切线方程为，即 .设圆的圆心为，则，因为圆心到切线的距离等于半径1，所以，即，所以，解得 .所以切线方程为，即 .②若直线斜率不存在，圆心到直线的距离为1，这时直线与圆相切，切线方程为 .综上，所求切线的方程为或 .变式若本例（2）的条件不变，求其切线长.答案：设圆的圆心为，则，设切点为，则为直角三角形，，，则，所以切线长为4.解题感悟1.求过一点的圆的切线方程问题时，首先要判断该点与圆的位置关系.若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式，用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的情况；若点在圆上，则切线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程.2.一般地，圆的切线问题，若已知切点，则用（分别为切线和圆心与切点连线的斜率）列式；若不知切点，则用（为圆心到切线的距离，为半径）列式.迁移应用1.（2020山东潍坊高二月考）若圆与直线相切，则 (      )A.3或-1B.-3或1C.2或-1D.-2或1答案：解析：易知圆的圆心坐标为(1,-2)，半径为，因为圆与直线相切，所以，可得，解得或 .2.（2021山西怀仁一中高二月考）过直线上一点引圆的切线，则切线长的最小值为(      )A.22B.322C.102D.2答案：解析：圆的标准方程为，若切线长最小，则直线上的点与圆心的连线与该直线垂直，易知圆心到直线y=x的距离，所以切线长的最小值为，故选C.探究点三直线和圆相交精讲精练例（1）求直线被圆截得的弦的长.（2）（2021山东滨州高二期中）在①圆经过；②圆心在直线上；③圆截轴所得弦长为8且圆心E的坐标为整数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解.已知圆E经过点，且 .（i）求圆的方程；（ii）已知直线经过点(-2,2)，直线与圆相交所得的弦长为8，求直线的方程.答案：（1）解法一：由可得，解得交点，弦的长为 .解法二：由消去得 .设两交点的坐标分别为， .则由根与系数的关系得，，即弦的长为10.解法三：圆可化为，其圆心坐标为(0,1)，半径，点(0,1)到直线的距离，所以半弦长为，所以弦长 .（2）选条件①，（i）选条件①，设圆的方程为，依题意有解得，所以圆的方程为，即圆E的标准方程为 .选条件②，（i）设圆的方程为，因为圆E经过点，且圆心在直线上，所以解得，所以圆的方程为 .（ii）选条件①，设圆心到直线l的距离为，则弦长，当直线的斜率不存在时，，所以直线的斜率存在，设其方程为，即，则，解得或，所以所求直线的方程为或 .选条件②，（ii）解析同条件①.选条件③，（i）设圆的方程为，由圆经过点，得因为圆截轴所得弦长为8，故方程的两个实数根的差的绝对值为8.所以，即，解方程组得或，由于圆心的坐标为整数，故圆的方程为 .（ii）解析同条件①.解题感悟求直线与圆相交所得弦长的两种常用方法：（1）几何法：直线与圆交于两点，设弦心距为，圆的半径为，弦长为，则 .（2）代数法：设直线与圆的两交点分别是，则，其中为直线l的斜率.迁移应用1.若直线被圆截得的弦长为4，则 (      )A.5B.5或-3C.3D.3或-5答案：解析：由题可知圆的圆心坐标为(1,2)，半径，则圆心到直线的距离，直线被圆截得的弦长为4，，即，解得或 .2.（2021山东实验中学高二月考）已知圆，则过点的圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是（）A. B. C. D.答案：解析：圆的圆心，半径，易知最长弦为圆的直径10，最短弦所在的直线与最长弦垂直，且，最短弦的长为，故所求四边形的面积 .评价检测·素养提升课堂检测1.（2021辽宁抚顺第十二中学高二期中）直线与圆的位置关系是(      )A.相离B.相交C.相切D.不确定答案：2.（2020山东青州一中高二期中）若圆心坐标为(2,-1)的圆被直线截得的弦长为，则这个圆的方程是(      )A.      B.C.     D.答案：3.过点的直线与圆相切，则直线在轴上的截距为(     )A. B. C.4D.-4答案：4.直线截圆所得的弦长为 .答案： 8素养演练1.数学建模——直线与圆的实际应用（2020江苏南通启东中学高二开学考试）树林的边界是直线（如图所在的直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于的垂线上的点和点处，（为正常数），若兔子沿方向以速度向树林逃跑，同时狼沿线段方向以速度μ进行追击（为正常数），若狼到达处的时间不超过兔子到达处的时间，狼就会吃掉兔子.（1）求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积；（2）若兔子要想不被狼吃掉，求的取值范围.解析：审：本题的解题关键是掌握圆的基础知识和点到直线的距离公式，及其圆在实际问题中的应用，考查了分析能力和计算能力.联：（1）兔子的不幸点满足，即，建立平面直角坐标系可求得所在区域的形状，即可求得 .（2）兔子要想不被狼吃掉，则兔子行进的路线与狼所在的区域不能有重叠，所以可转化为直线和圆的位置关系的问题，即利用圆心到直线的距离和圆的半径比较，可得结果.答案：解：（1）如图，建立平面直角坐标系，设由得① .在以为圆心，半径为的圆上及其内部， .（2）设，若兔子要想不被狼吃掉，则②，解得，可得，，即的取值范围是 .解析：思：解答本题的关键是建立平面直角坐标系，把实际应用问题转化为直线和圆的问题，通过求出直线的斜率的取值范围，从而得到其倾斜角的范围.