高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第1章　集合与常用逻辑用语1.1(教师版)

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一、选择题

1．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0<x≤4}，则A∪B＝(　　)

A．[－1,4]   B．(0,3]

C．(－1,0]∪(1,4]   D．[－1,0]∪(1,4]

答案　A

解析　A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，故A∪B＝[－1,4]．故选A.

2．设集合A＝{x|(x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|2<x<4}，则A∩B＝(　　)

A．{x|－1<x<3}   B．{x|－1<x<4}

C．{x|1<x<2}   D．{x|2<x<3}

答案　D

解析　因为A＝{x|(x＋1)(x－3)<0}＝{x|－1<x<3}，所以A∩B＝{x|2<x<3}．故选D.

3．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{y，则集合M∩N的真子集的个数是(　　)

A．4  B．3  C．2  D．1

答案　B

解析　因为N＝{0,1,2}，所以M∩N＝{0,1}，其真子集的个数是3.故选B.

4．已知集合A＝{x|x(x－1)<0}，B＝{x|ex>1}，则(∁RA)∩B＝(　　)

A．[1，＋∞)   B．(0，＋∞)

C．(0,1)   D．[0,1]

答案　A

解析　依题意得，A＝{x|0<x<1}，则∁RA＝{x|x≤0或x≥1}，B＝{x|x>0}，故(∁RA)∩B＝{x|x≥1}＝[1，＋∞)．故选A.

5．若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则(　　)

A．M＝N   B．M⊆N

C．N⊆M   D．M∩N＝∅

答案　C

解析　M＝{x||x|≤1}＝[－1,1]，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝[0,1]，所以N⊆M.故选C.

6．设全集U＝R，集合A＝{x∈N|x2<6x}，B＝{x∈N|3<x<8}，则如图阴影部分表示的集合是(　　)

A．{1,2,3,4,5}

B．{1,2,3,6,7}

C．{3,4}

D．{4,5,6,7}

答案　B

解析　∵A＝{x∈N|x2<6x}＝{x∈N|0<x<6}＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈N|3<x<8}＝{4,5,6,7}，

∴图中阴影部分表示的集合是{1,2,3,6,7}，故选B.

7．已知集合A＝{xy＝}，B＝{y，则A∩B＝(　　)

A．(0,1]   B．(0,1)

C．(－∞，0]   D．[0,1]

答案　B

解析　由y＝得解得0<x<1，即A＝(0,1)．由y＝x2－x＋＝(x－1)2≥0，得B＝[0，＋∞)，故A∩B＝(0,1)．故选B.

8．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．1或2

答案　B

解析　当a＝1时，B中元素均为无理数，A∩B＝∅；

当a＝2时，B＝{1,2}，A∩B＝{1,2}≠∅；

当a＝3时，B＝∅，则A∩B＝∅，

所以a的值为2.故选B.

9．设A是自然数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k2∉A，且∉A，那么k是A的一个“酷元”，给定S＝{x∈N|y＝lg (36－x2)}，设M⊆S，集合M中有两个元素，且这两个元素都是M的“酷元”，那么这样的集合M有(　　)

A．3个  B．4个  C．5个  D．6个

答案　C

解析　由36－x2>0可解得－6<x<6，又x∈N，故x可取0,1,2,3,4,5，故S＝{0,1,2,3,4,5}．

由题意可知：集合M不能含有0,1，且不能同时含有2,4.故集合M可以是{2,3}，{2,5}，{3,5}，{3,4}，{4,5}．故选C.

10．设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}，若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D．(1，＋∞)

答案　B

解析　A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，

设函数f(x)＝x2－2ax－1，因为函数f(x)＝x2－2ax－1图象的对称轴为x＝a(a>0)，f(0)＝－1<0，根据对称性可知若A∩B中恰有一个整数，则这个整数为2，

所以有即

所以即≤a<.故选B.

二、填空题

11．已知集合M＝{x|x2－4x<0}，N＝{x|m<x<5}，若M∩N＝{x|3<x<n}，则m＋n等于________．

答案　7

解析　由x2－4x<0得0<x<4，所以M＝{x|0<x<4}．又因为N＝{x|m<x<5}，M∩N＝{x|3<x<n}，所以m＝3，n＝4，故m＋n＝7.

12．已知集合A＝{x，B＝{x|x<2m－1}，且A⊆(∁RB)，则m的最大值是________．

答案　

解析　依题意，A＝{x＝{x，∁RB＝{x|x≥2m－1}，又A⊆(∁RB)，所以2m－1≤，解得m≤.故m的最大值为.

13．已知集合{1,2,3,4,5}的非空子集A具有性质P：当a∈A时，必有6－a∈A.则具有性质P的集合A的个数是________．

答案　7

解析　由条件可知，有1必有5；有2必有4；3可单独也可与1,5或2,4在一起．满足题意的子集有{3}、{1,5}、{2,4}、{3,1,5}、{3,2,4}、{1,5,2,4}、{3,1,5,2,4}，共7个．

14．已知集合A＝{a，b,2}，B＝{2，b2,2a}，且A∩B＝A∪B，则a＝________.

答案　0或

解析　由于A＝{2，a，b}，B＝{2a,2，b2}，

因A∩B＝A∪B，故A＝B，因此A，B中的元素对应相等，得或解得或或由集合中元素的互异性，得或

所以a的值为0或.

三、解答题

15．设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若B⊆A，求实数a的取值范围．

解　A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}＝{－4,0}．

∵B⊆A，∴B＝A或BA.

①当A＝B，即B＝{－4,0}时，则－4和0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，代入解得a＝1.

②当BA时，分两种情况：

若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，

解得a<－1；

若B≠∅，则方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根．

∴Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}，满足条件．

综上所述，所求实数a的取值范围为{a|a＝1或a≤－1}．

16．设集合A＝{x，B＝{x|x2－3mx＋2m2－m－1<0}．

(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；

(2)若A⊇B，求实数m的取值范围．

解　化简得集合A＝{x|－2≤x≤5}，

集合B＝{x|(x－m＋1)(x－2m－1)<0}．

(1)∵x∈Z，∴A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A中含有8个元素，∴A的非空真子集个数为28－2＝254.

(2)①m＝－2时，B＝∅⊆A；

②当m<－2时，(2m＋1)－(m－1)＝2＋m<0，

所以B＝(2m＋1，m－1)，因此，要B⊆A，

则只要⇒－≤m≤6，所以m的值不存在；

③当m>－2时，B＝(m－1,2m＋1)，因此，要B⊆A，

则只要⇒－1≤m≤2.

综上所述，m的取值范围是{m|m＝－2或－1≤m≤2}．