高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第1章　集合与常用逻辑用语1.2(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第1章　集合与常用逻辑用语1.2(教师版)，共8页。

一、选择题
1．下列命题中是真命题的是( )
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“正多边形都相似”的逆命题；
③“若x－3 eq \s\up15( eq \f (1,2)) 是有理数，则x是无理数”的逆否命题．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
答案 B
解析 对于①，其否命题是“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，这显然是正确的，故①为真命题；对于②，其逆命题是“若两多边形相似，则它们一定是正多边形”，这显然是错误的，故②为假命题；对于③，原命题为真，故逆否命题也为真．因此是真命题的是①③.故选B.
2．命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是( )
A．若a≤b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c，则a≤b
C．若a＋c>b＋c，则a>b D．若a>b，则a＋c≤b＋c
答案 A
解析 否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”．故选A.
3．已知p：函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，q：函数g(x)＝lga(x＋1)(a>0且a≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 易知p成立⇔a≤1，q成立⇔a>1，所以綈p成立⇔a>1，则綈p是q的充要条件．故选C.
4．下列命题正确的是( )
A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．“a>0，b>0”是“eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2”的充分必要条件
C．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”
D．命题p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则綈p：∀x∈R，x2＋x－1≥0
答案 D
解析 若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真，那么p∧q可能为真，也可能为假，故A错误；若a>0，b>0，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2，又当a<0，b<0时，也有eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2，所以“a>0，b>0”是“eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2”的充分不必要条件，故B错误；命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2－3x＋2≠0”，故C错误，易知D正确．故选D.
5．“a<－1”是“∃x0∈R，asinx0＋1<0”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由题意知“∃x0∈R，asinx0＋1<0”等价于“(asinx＋1)min<0”，即“当a>0时，－a＋1<0，即a>1；当a<0时，a＋1<0，即a<－1”，所以“a<－1”是“∃x0∈R，asinx0＋1<0”的充分不必要条件，故选B.
6．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 设命题a：“若p，则q”，可知命题a是祖暅原理的逆否命题，则a是真命题．故p是q的充分条件．设命题b：“若q，则p”，若A比B在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的．所以命题b是假命题， 即p不是q的必要条件．综上所述，p是q的充分不必要条件．故选A.
7．“a＝0”是“函数f(x)＝sinx－eq \f(1,x)＋a为奇函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当a＝0时，f(x)＝sinx－eq \f(1,x)，f(－x)＝sin(－x)－eq \f(1,－x)＝－sinx＋eq \f(1,x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinx－\f(1,x)))＝－f(x)，故f(x)为奇函数；
反之，当f(x)＝sinx－eq \f(1,x)＋a为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0，
又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－eq \f(1,－x)＋a＋sinx－eq \f(1,x)＋a＝2a，故a＝0，
所以“a＝0”是“函数f(x)＝sinx－eq \f(1,x)＋a为奇函数”的充要条件．故选C.
8．已知f(x)＝2x＋3(x∈R)，若|f(x)－1|0)，则a，b之间的关系是( )
A．b≥eq \f(a,2) B．beq \f(b,2)
答案 A
解析 ∵f(x)＝2x＋3，且|f(x)－1|∴|2x＋2|∴eq \f(－2－a,2)∵|x＋1|∴－b－1∵|f(x)－1|0)，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－2－a,2)，\f(－2＋a,2)))⊆(－b－1，b－1)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－b－1≤\f(－2－a,2)，,b－1≥\f(－2＋a,2)，))
解得b≥eq \f(a,2).故选A.
9．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(1－2i)(a＋i)在复平面内对应的点为M，则“a>0”是“点M在第四象限”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 复数z＝(1－2i)(a＋i)＝a＋2－2ai＋i＝a＋2＋(1－2a)i在复平面内对应的点为M(a＋2,1－2a)．若a>0，则a＋2>0，但1－2a的正负不确定，所以点M是否在第四象限也是不确定的；若点M在第四象限，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋2>0，,1－2a<0，))解得a>eq \f(1,2)，此时可推出a>0.所以“a>0”是“点M在第四象限”的必要不充分条件．故选B.
10．已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)．设p：0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 圆C：(x－1)2＋y2＝r2的圆心(1,0)到直线x－eq \r(3)y＋3＝0的距离d＝eq \f(|1－\r(3)×0＋3|,2)＝2.当r∈(0,1)时，直线与圆相离，圆上没有到直线的距离为1的点；当r＝1时，直线与圆相离，圆上只有一个点到直线的距离为1；当r∈(1,2)时，直线与圆相离，圆上有两个点到直线的距离为1；当r＝2时，直线与圆相切，圆上有两个点到直线的距离为1；当r∈(2,3)时，直线与圆相交，圆上有两个点到直线的距离为1.综上，当r∈(0,3)时，圆上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆上至多有两个点到直线的距离为1可得0二、填空题
是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是________．
答案 (－1，＋∞)
解析
12．已知条件p：x∈A，且A＝{x|a－1答案 (－∞，0]∪[3，＋∞)
解析 易得B＝{x|x≤1或x≥2}，且A＝{x|a－1即所求实数a的取值范围是(－∞，0]∪[3，＋∞)．
13．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a≠0，q：实数x满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x－6≤0，,x2＋2x－8>0，))若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
答案 (1,2]
解析 ∵p是q的必要不充分条件，
∴q⇒p，且peq \(⇒,/) q.
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则BA.
又B＝{x|20时，A＝{x|a当a<0时，A＝{x|3a故当a>0时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤2，,3<3a，))解得1当a<0时，显然A∩B＝∅，不合题意．
综上所述，实数a的取值范围是(1,2]．
14．r(x)：已知r(x)＝sinx＋csx>m；s(x)：x2＋mx＋1>0.如果∀x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题，则实数m的取值范围是________．
答案 (－∞，－2]∪[－eq \r(2)，2)
解析 由sinx＋csx＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，
得sinx＋csx的最小值为－eq \r(2).
若∀x∈R时，命题r(x)为真命题，则m<－eq \r(2).若命题s(x)为真命题，即∀x∈R，不等式x2＋mx＋1>0恒成立，则Δ＝m2－4<0，解得－2综上所述，实数m的取值范围是(－∞，－2]∪[－eq \r(2)，2)．
三、解答题
15．已知f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
解 (1)逆命题：
已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，
若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.是真命题．
(用反证法证明)假设a＋b<0，则有a<－b，b<－a.
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)从而a＋b≥0成立．逆命题为真．
(2)逆否命题：
已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，
若f(a)＋f(b)原命题为真，证明如下：
∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
∴原命题为真命题，∴其逆否命题也为真命题．
16．已知命题：“∃x∈{x|－1(1)求实数m的取值集合M；
(2)设不等式(x－a)(x＋a－2)<0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求实数a的取值范围．
解 (1)由题意知，方程x2－x－m＝0在(－1,1)上有解，即m的取值范围就为函数y＝x2－x在(－1,1)上的值域，易知
M＝{meq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)≤m<2)).
(2)因为x∈N是x∈M的必要条件，所以M⊆N.
当a＝1时，解集N为空集，不满足题意；
当a>1时，a>2－a，此时集合N＝{x|2－a则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a<－\f(1,4)，,a≥2，))解得a>eq \f(9,4)；
当a<1时，a<2－a，此时集合N＝{x|a则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<－\f(1,4)，,2－a≥2，))解得a<－eq \f(1,4).
综上，a>eq \f(9,4)或a<－eq \f(1,4).