2021年广东省中考数学试卷

这是一份2021年广东省中考数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年广东省中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）（2021•广东）下列实数中，最大的数是（　　）
A．π B．2 C．|﹣2| D．3
2．（3分）（2021•广东）据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次，将“51085.8万”用科学记数法表示为（　　）
A．0.510858×109 B．51.0858×107
C．5.10858×104 D．5.10858×108
3．（3分）（2021•广东）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（　　）
A．112 B．16 C．13 D．12
4．（3分）（2021•广东）已知9m＝3，27n＝4，则32m+3n＝（　　）
A．1 B．6 C．7 D．12
5．（3分）（2021•广东）若|a-3|+9a2-12ab+4b2=0，则ab＝（　　）
A．3 B．92 C．43 D．9
6．（3分）（2021•广东）下列图形是正方体展开图的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）（2021•广东）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（　　）

A．3 B．23 C．1 D．2
8．（3分）（2021•广东）设6-10的整数部分为a，小数部分为b，则（2a+10）b的值是（　　）
A．6 B．210 C．12 D．910
9．（3分）（2021•广东）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，则其面积S=p(p-a)(p-b)(p-c)．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为（　　）
A．5 B．4 C．25 D．5
10．（3分）（2021•广东）设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（　　）
A．12 B．22 C．32 D．1
二、填空题：本大题7小题，每小题4分，共28分.
11．（4分）（2021•广东）二元一次方程组x+2y=-22x+y=2的解为 　 　．
12．（4分）（2021•广东）把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 　 　．
13．（4分）（2021•广东）如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4．分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为 　 　．

14．（4分）（2021•广东）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为 　 　．
15．（4分）（2021•广东）若x+1x=136且0＜x＜1，则x2-1x2=　 　．
16．（4分）（2021•广东）如图，在▱ABCD中，AD＝5，AB＝12，sinA=45．过点D作DE⊥AB，垂足为E，则sin∠BCE＝　 　．

17．（4分）（2021•广东）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3．点D为平面上一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为 　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分.
18．（6分）（2021•广东）解不等式组2x-4＞3(x-2)4x＞x-72．
19．（6分）（2021•广东）某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛．用简单随机抽样的方法，从该年级全体600名学生中抽取20名，其竞赛成绩如图：

（1）求这20名学生成绩的众数，中位数和平均数；
（2）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数．
20．（6分）（2021•广东）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB．
（1）若AE＝1，求△ABD的周长；
（2）若AD=13BD，求tan∠ABC的值．

四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分。
21．（8分）（2021•广东）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=4x图象的一个交点为P（1，m）．
（1）求m的值；
（2）若PA＝2AB，求k的值．
22．（8分）（2021•广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
23．（8分）（2021•广东）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点．连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长．

五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分。
24．（10分）（2021•广东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，点E、F分别在线段BC、AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF．
（1）求证：CF⊥FB；
（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；
（3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面积．

25．（10分）（2021•广东）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c≤2x2﹣8x+6．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

2021年广东省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）（2021•广东）下列实数中，最大的数是（　　）
A．π B．2 C．|﹣2| D．3
【分析】C选项，﹣2的绝对值是2，所以这4个数都是正数，B选项，2＜2，即可得到最大的的数是π．
【解答】解：|﹣2|＝2，
∵2＜4，
∴2＜2，
∴2＜2＜3＜π，
∴最大的数是π，
故选：A．
【点评】本题考查了实数的比较大小，知道2＜2是解题的关键．
2．（3分）（2021•广东）据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次，将“51085.8万”用科学记数法表示为（　　）
A．0.510858×109 B．51.0858×107
C．5.10858×104 D．5.10858×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：51085.8万＝510858000＝5.10858×108，
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2021•广东）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（　　）
A．112 B．16 C．13 D．12
【分析】画树状图，共有36种等可能的结果数，其中两枚骰子向上的点数之和为7的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图为：

共有36种等可能的结果数，其中两枚骰子向上的点数之和为7的结果有6种，
∴两枚骰子向上的点数之和为7的概率为636=16，
故选：B．
【点评】本题考查了列表法与树状图法求随机事件的概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
4．（3分）（2021•广东）已知9m＝3，27n＝4，则32m+3n＝（　　）
A．1 B．6 C．7 D．12
【分析】分别根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则解答即可．
【解答】解：∵9m＝32m＝3，27n＝33n＝4，
∴32m+3n＝32m×33n＝3×4＝12．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
5．（3分）（2021•广东）若|a-3|+9a2-12ab+4b2=0，则ab＝（　　）
A．3 B．92 C．43 D．9
【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得，a-3=0，9a2﹣12ab+4b2＝0，
解得a=3，b=332，
所以，ab=3×332=92．
故选：B．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
6．（3分）（2021•广东）下列图形是正方体展开图的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图的特征解答即可．
【解答】解：由正方体的四个侧面和底面的特征可知，可以拼成正方体是下列三个图形：

故这些图形是正方体展开图的个数为3个．
故选：C．
【点评】本题考查了几何体的展开图．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．
7．（3分）（2021•广东）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（　　）

A．3 B．23 C．1 D．2
【分析】如图，过点D作DT⊥AB于T．证明DT＝DC＝1，推出AD＝2DT，推出∠A＝30°，可得结论．
【解答】解：如图，过点D作DT⊥AB于T．

∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴DC⊥BC，
∵DB平分∠CBA，DC⊥BC，DT⊥BA，
∴DC＝DT＝1，
∵AC＝3，
∴AD＝AC﹣CD＝2，
∴AD＝2DT，
∴∠A＝30°，
∴AB=ACcos30°=332=23，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题．
8．（3分）（2021•广东）设6-10的整数部分为a，小数部分为b，则（2a+10）b的值是（　　）
A．6 B．210 C．12 D．910
【分析】根据算术平方根得到3＜10＜4，所以2＜6-10＜3，于是可得到a＝2，b＝4-10，然后把a与b的值代入（2a+10）b中计算即可．
【解答】解：∵3＜10＜4，
∴2＜6-10＜3，
∵6-10的整数部分为a，小数部分为b，
∴a＝2，b＝6-10-2＝4-10，
∴（2a+10）b＝（2×2+10）×（4-10）＝（4+10）（4-10）＝6，
故选：A．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
9．（3分）（2021•广东）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，则其面积S=p(p-a)(p-b)(p-c)．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为（　　）
A．5 B．4 C．25 D．5
【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式即可求出解．
【解答】解：∵p=a+b+c2，p＝5，c＝4，
∴5=a+b+42，
∴a+b＝6，
∴a＝6﹣b，
∴S=p(p-a)(p-b)(p-c)
=5(5-a)(5-b)(5-4)
=5(5-a)(5-b)
=5ab-25
=5b(6-b)-25
=-5b2+30b-25
=-5(b-3)2+20，
当b＝3时，S有最大值为20=25．
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积．
10．（3分）（2021•广东）设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（　　）
A．12 B．22 C．32 D．1
【分析】分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式可得AE＝a2，BF＝b2，作AH⊥BH于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设点D（0，m），易证△ADG～△ABH，所以DGBH=AGAH，即m-a2b2-a2=aa+b．可得m＝ab．再证明△AEO～△OFB，所以AEOF=EOBF，即a2b=ab2，可得ab＝1．即得点D为定点，坐标为（0，1），得DO＝1．进而可推出点C是在以DO为直径的圆上运动，则当点C到y轴距离为此圆的直径的一半，即12时最大．
【解答】解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，
设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式为y＝x2，
则AE＝a2，BF＝b2，
作AH⊥BH于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，
设点D（0，m），
∵DG∥BH，
∴△ADG～△ABH，
∴DGBH=AGAH，即m-a2b2-a2=aa+b．
化简得：m＝ab．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠BOF＝90°，
又∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠BOF＝∠EAO，
又∠AEO＝∠BFO＝90°，
∴△AEO～△OFB．
∴AEOF=EOBF，
即a2b=ab2，
化简得ab＝1．
则m＝ab＝1，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0，1）．
∵∠DCO＝90°，DO＝1，
∴点C是在以DO为直径的圆上运动，
∴当点C到y轴距离为12DO=12时，点C到y轴距离的最大．
故选：A．

【点评】本题考查了二次函数结合动点问题背景下的最值求法，涉及相似三角形，圆周角定理，此题难度较大，关键是要找出点D为定点，确定出点C的轨迹为一段优弧，再求最值．
二、填空题：本大题7小题，每小题4分，共28分.
11．（4分）（2021•广东）二元一次方程组x+2y=-22x+y=2的解为 　　．
【分析】直接利用加减消元法求解可得问题的答案．
【解答】解：x+2y=-2①2x+y=2②，
①×2﹣②，得：3y＝﹣6，即y＝﹣2，
将y＝﹣2代入②，得：2x+（﹣2）＝2，
解得：x＝2，
所以方程组的解为x=2y=-2．
故答案为x=2y=-2．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组，利用加减消元法把方程组化为一元方程是解答此题的关键．
12．（4分）（2021•广东）把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 　y＝2x2+4x　．
【分析】可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．
【解答】解：把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2+1﹣3，即y＝2x2+4x
故答案为y＝2x2+4x．
【点评】本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
13．（4分）（2021•广东）如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4．分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为 　4﹣π　．

【分析】阴影部分的面积等于△ABC的面积减去空白处的面积即可得出答案．
【解答】解：等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴AB＝AC=22BC＝22
∵BE＝CE=12BC＝2，
∴阴影部分的面积S＝S△ABC﹣S扇形BDE﹣S扇形CEF=12×22×22-45π×22360×2＝4﹣π，
故答案为4﹣π．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确熟记扇形的面积公式是解此题的关键，题目比较好，难度适中．
14．（4分）（2021•广东）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为 　x2﹣2＝0（答案不唯一）　．
【分析】根据一元二次方程的定义解决问题即可，注意答案不唯一．
【解答】解：∵若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，
∴满足条件分方程可以为：x2﹣2＝0（答案不唯一），
故答案为：x2﹣2＝0（答案不唯一）．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．（4分）（2021•广东）若x+1x=136且0＜x＜1，则x2-1x2=　-6536　．
【分析】根据题意得到x-1x＜0，根据完全平方公式求出x-1x，根据平方差公式把原式变形，代入计算即可．
【解答】解：∵0＜x＜1，
∴x＜1x，
∴x-1x＜0，
∵x+1x=136，
∴（x+1x）2=16936，即x2+2+1x2=16936，
∴x2﹣2+1x2=16936-4，
∴（x-1x）2=2536，
∴x-1x=-56，
∴x2-1x2=（x+1x）（x-1x）=136×（-56）=-6536，
故答案为：-6536．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
16．（4分）（2021•广东）如图，在▱ABCD中，AD＝5，AB＝12，sinA=45．过点D作DE⊥AB，垂足为E，则sin∠BCE＝　　．

【分析】过点B作BF⊥EC于点F，根据DE⊥AB，AD＝5，sinA=DEAD=45，可得DE＝4，根据勾股定理可得AE＝3，再根据平行四边形的性质可得AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，BE＝AB﹣AE＝12﹣3＝9，根据tan∠CEB＝tan∠DCE，可得EF＝3BF，再根据勾股定理可得BF的长，进而可得结果．
【解答】解：如图，过点B作BF⊥EC于点F，

∵DE⊥AB，AD＝5，sinA=DEAD=45，
∴DE＝4，
∴AE=AD2-DE2=3，
在▱ABCD中，AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，
∴BE＝AB﹣AE＝12﹣3＝9，
∵CD∥AB，
∴∠DEA＝∠EDC＝90°，∠CEB＝∠DCE，
∴tan∠CEB＝tan∠DCE，
∴BFEF=DECD=412=13，
∴EF＝3BF，
在Rt△BEF中，根据勾股定理，得
EF2+BF2＝BE2，
∴（3BF）2+BF2＝92，
解得，BF=91010，
∴sin∠BCE=BFBC=910105=91050．
故答案为：91050．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识，得出EF＝3BF是解决本题的关键．
17．（4分）（2021•广东）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3．点D为平面上一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为 　5-2　．
【分析】根据∠ADB＝45°，AB＝2，作△ABD的外接圆O，连接OC，当O、D、C三点共线时，CD的值最小．将问题转化为点圆最值．可证得△AOB为等腰直角三角形，OB＝OA=2，同样可证△OBE也为等腰直角三角形，OE＝BE＝1，由勾股定理可求得OC的长为5，最后CD最小值为OC﹣OD=5-2．
【解答】解：如图所示．
∵∠ADB＝45°，AB＝2，作△ABD的外接圆O，连接OC，
当O、D、C三点共线时，CD的值最小．
∵∠ADB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴AO＝BO＝sin45°×AB=2．
∵∠OBA＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠OBE＝45°，作OE⊥BC于点E，
∴△OBE为等腰直角三角形．
∴OE＝BE＝sin45°•OB＝1，
∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，
在Rt△OCD中，
OC=OE2+CE2=1+4=5．
当O、D、C三点共线时，
CD最小为CD＝OC﹣OD=5-2．
故答案为：5-2．

【点评】本题考查了动点与隐圆条件下的点圆最值，涉及到点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等基础知识点，难度较大，需要根据条件进行发散思维．解题关键在于确定出点D的运动轨迹为一段优弧．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分.
18．（6分）（2021•广东）解不等式组2x-4＞3(x-2)4x＞x-72．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x﹣4＞3（x﹣2），得：x＜2，
解不等式4x＞x-72，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x＜2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（6分）（2021•广东）某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛．用简单随机抽样的方法，从该年级全体600名学生中抽取20名，其竞赛成绩如图：

（1）求这20名学生成绩的众数，中位数和平均数；
（2）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数．
【分析】（1）根据条形统计图，计算众数、中位数和平均数；
（2）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）由列表中90分对应的人数最多，因此这组数据的众数应该是90，
由于人数总和是20人为偶数，将数据从小到大排列后，第10个和第11个数据都是90分，因此这组数据的中位数应该是90，
平均数是：80×2+85×3+90×8+95×5+100×22+3+8+5+2=90.5；
（2）根据题意得：
600×8+5+220=450（人），
答：估计该年级获优秀等级的学生人数是450人．
【点评】本题考查中位数、用样本估计总体、条形统计图，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
20．（6分）（2021•广东）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB．
（1）若AE＝1，求△ABD的周长；
（2）若AD=13BD，求tan∠ABC的值．

【分析】（1）连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，再根据线段垂直平分线的性质求解即可；
（2）设AD＝x，则BD＝CD＝3x，AC＝4x，由勾股定理可表示出AB＝22x，从而可计算出tan∠ABC=ACAB=4x22x=2．
【解答】解：（1）如图，连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，
∴BD＝CD，
C△ABD＝AB+AD+BD
＝AB+AD+DC
＝AB+AC，
∵AB＝CE，
∴C△ABD＝AC+CE＝AE＝1，
故△ABD的周长为1．
（2）设AD＝x，
∴BD＝3x，
又∵BD＝CD，
∴AC＝AD+CD＝4x，
在Rt△ABD中，AB=BD2-AD2=(3x)2-x2=22x．
∴tan∠ABC=ACAB=4x22x=2．

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，解直角三角形、勾股定理等知识，抓住正切的定义是解题关键．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分。
21．（8分）（2021•广东）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=4x图象的一个交点为P（1，m）．
（1）求m的值；
（2）若PA＝2AB，求k的值．
【分析】（1）把P（1，m）代入反比例函数解析式即可求得；
（2）分两种情况，通过证得三角形相似，求得BO的长度，进而即可求得k的值．
【解答】解：（1）∵P（1，m）为反比例函数y=4x图象上一点，
∴代入得m=41=4，
∴m＝4；
（2）令y＝0，即kx+b＝0，
∴x=-bk，A（-bk，0），
令x＝0，y＝b，
∴B（0，b），
∵PA＝2AB，
由图象得，可分为以下两种情况：
①B在y轴正半轴时，b＞0，
∵PA＝2AB，
过P作PH⊥x轴交x轴于点H，
又B1O⊥A1H，∠PA1O＝∠B1A1O，
∴△A1OB1∽△A1HP，
∴A1B1A1P=A1OA1H=B1OPH=12，
∴B1O=12PH＝4×12=2，
∴b＝2，
∴A1O＝OH＝1，
∴|-bk|＝1，
∴k＝2；
②B在y轴负半轴时，b＜0，过P作PQ⊥y轴，
∵PQ⊥B2Q，A2O⊥B2Q，∠A2B2O＝∠AB2Q，
∴△A2OB2△PQB2，
∴A2B2PB2=13=A2OPQ=B2OB2Q，
∴AO＝|-bk|=13PO=13，B2O=13B2Q=12OQ＝|b|＝2，
∴b＝﹣2，
∴k＝6，
综上，k＝2或k＝6．

【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，求得AO的长度的解题的关键．
22．（8分）（2021•广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
【分析】（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣10）元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可；
（2）由题意得，当x＝50时，，每天可售出100盒，当猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65）时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值．
【解答】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣10）元，
则8000a=6000a-10，
解得：a＝40，经检验a＝40是方程的解，
∴猪肉每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元，
答：猪肉每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；
（2）由题意得，当x＝50时，，每天可售出100盒，
当猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65）时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，
∴y＝x[100﹣2（x﹣50）]﹣40x[100﹣2（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000，
配方，得：y＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∵x＜70时，y随x的增大而增大，
∴当x＝65时，y取最大值，最大值为：﹣2（65﹣70）2+1800＝1750（元）．
答：y关于x的函数解析式为y＝﹣2x2+280x﹣8000（50≤x≤65），且最大利润为1750元．
【点评】本题考查了二次函数的应用以及分式方程的解法，关键是根据题意列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式．
23．（8分）（2021•广东）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点．连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长．

【分析】延长BF交CD于H，连接EH．证明△EDH∽△BAE，推出EDAB=DHEA=12，推出DH=14，CH=34，由CH∥AB，推出CGGA=CHAB=34，可得结论．
【解答】解：延长BF交CD于H，连接EH．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠D＝∠DAB＝90°，AD＝CD＝AB＝1，
∴AC=AD2+CD2=12+12=2，
由翻折的性质可知，AE＝EF，∠EAB＝∠EFB＝90°，∠AEB＝∠FEB，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE＝EF，
∵∠D＝∠EFH＝90°，
在Rt△EHD和Rt△EHF中，
EH=EHED=EF，
∴Rt△EHD≌Rt△EHF（HL），
∴∠DEH＝∠FEH，
∴∠HEB＝90°，
∴∠DEH+∠AEB＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠DEH＝∠ABE，
∴△EDH∽△BAE，
∴EDAB=DHEA=12，
∴DH=14，CH=34，
∵CH∥AB，
∴CGGA=CHAB=34，
∴CG=37AC=327．

【点评】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是求出DH，CH，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分。
24．（10分）（2021•广东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，点E、F分别在线段BC、AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF．
（1）求证：CF⊥FB；
（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；
（3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面积．

【分析】（1）先判断出∠DFE＝2∠EFC，同理判断出∠AFE＝2∠BFE，进而判断出2∠BFE+2∠EFC＝180°，即可得出结论；
（2）取AD的中点O，过点O作OH⊥BC于H，先判断出OH=12（AB+CD），进而判断出OH=12AD，即可得出结论；
（3）先求出∠CFE＝60°，CE＝23，再判断出四边形CEMD是矩形，得出DM＝23，过点A作AN⊥EF于N，同理求出AN=233，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵CD＝DF，
∴∠DCF＝∠DFC，
∵EF∥CD，
∴∠DCF＝∠EFC，
∴∠DFC＝∠EFC，
∴∠DFE＝2∠EFC，
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∵CD∥EF，CD∥AB，
∴AB∥EF，
∴∠EFB＝∠AFB，
∴∠AFE＝2∠BFE，
∵∠AFE+∠DFE＝180°，
∴2∠BFE+2∠EFC＝180°，
∴∠AEF+∠EFC＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴CF⊥BF；

（2）证明：如图1，取AD的中点O，过点O作OH⊥BC于H，
∴∠OHC＝90°＝∠ABC，
∴OH∥AB，
∵AB∥CD，
∴OH∥AB∥CD，
∵AB∥CD，AB≠CD，
∴四边形ABCD是梯形，
∴点H是BC的中点，即OH是梯形ABCD的中位线，
∴OH=12（AB+CD），
∵AB＝AF，CD＝DF，
∴OH=12（AF+DF）=12AD，
∵OH⊥BC，
∴以AD为直径的圆与BC相切；

（3）如图2，
由（1）知，∠DFE＝2∠EFC，
∵∠DFE＝120°，
∴∠CFE＝60°，
在Rt△CEF中，EF＝2，∠ECF＝90°﹣∠CFE＝30°，
∴CF＝2EF＝4，
∴CE=CF2-EF2=23，
∵AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，
∴∠ECD＝∠CEF＝90°，
过点D作DM⊥EF，交EF的延长线于M，
∴∠M＝90°，
∴∠M＝∠ECD＝∠CEF＝90°，
∴四边形CEMD是矩形，
∴DM＝CE＝23，
过点A作AN⊥EF于N，
∴四边形ABEN是矩形，
∴AN＝BE，
由（1）知，∠CFB＝90°，
∵∠CFE＝60°，
∴∠BFE＝30°，
在Rt△BEF中，EF＝2，
∴BE＝EF•tan30°=233，
∴AN=233，
∴S△ADE＝S△AEF+S△DEF
=12EF•AN+12EF•DM
=12EF（AN+DM）
=12×2×（233+23）
=833．


【点评】此题是圆的综合题，主要考查了平行线的性质，切线的判定，锐角三角函数，矩形的判定，作出辅助线求出DM是解本题的关键．
25．（10分）（2021•广东）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c≤2x2﹣8x+6．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令4x﹣12＝2x2﹣8x+6，解之可得交点为（3，0），则二次函数必过（3，0），又过（﹣1，0），则把两点坐标代入解析式可得y＝ax2﹣2ax﹣3a，又ax2﹣2ax﹣3a≥4x﹣12，整理可得ax2﹣2ax﹣4x+12﹣3a≥0，所以a＞0且△≤0，则可得a＝1，从而求得二次函数解析式；
（2）由题意可得A（3，0），C（0，﹣3），设点M坐标为（m，m2﹣2m﹣3），N（n，0）．根据对角线的不同可分三类情况建立方程组讨论求解即可：①AC为对角线则有xA+xC=xM+xNyA+yC=yM+yN；②AM为对角线则有xA+xM=xC+xNyA+yM=yC+yN；③AN为对角线则有xA+xN=xC+xMyA+yN=yC+yM．
【解答】解：（1）不妨令4x﹣12＝2x2﹣8x+6，解得：x1＝x2＝3，
当x＝3时，4x﹣12＝2x2﹣8x+6＝0．
∴y＝ax2+bx+c必过（3，0），
又∵y＝ax2+bx+c过（﹣1，0），
∴a-b+c=09a+3b+c=0，解得：b=-2ac=-3a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣3a，
又∵ax2﹣2ax﹣3a≥4x﹣12，
∴ax2﹣2ax﹣3a﹣4x+12≥0，
整理得：ax2﹣2ax﹣4x+12﹣3a≥0，
∴a＞0且△≤0，
∴（2a+4）2﹣4a（12﹣3a）≤0，
∴（a﹣1）2≤0，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3．
∴该二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）令y＝x2﹣2x﹣3中y＝0，得x＝3，则A点坐标为（3，0）；
令x＝0，得y＝﹣3，则点C坐标为（0，﹣3）．
设点M坐标为（m，m2﹣2m﹣3），N（n，0），
根据平行四边对角线性质以及中点坐标公式可得：
①当AC为对角线时，xA+xC=xM+xNyA+yC=yM+yN，
即3+0=m+n0-3=m2-2m-3+0，解得：m1＝0（舍去），m2＝2，
∴n＝1，即N1（1，0）．
②当AM为对角线时，xA+xM=xC+xNyA+yM=yC+yN，
即3+m=0+n0+m2-2m-3=-3+0，解得：m1＝0（舍去），m2＝2，
∴n＝5，即N2（5，0）．
③当AN为对角线时，xA+xN=xC+xMyA+yN=yC+yM，
即3+n=0+m0+0=-3+m2-2m-3，解得：m1＝1+7，m2＝1-7，
∴n=7-2或﹣2-7，
∴N3（7-2，0），N4（﹣2-7，0）．
综上所述，N点坐标为（1，0）或（5，0）或（7-2，0）或（﹣2-7，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标，平行四边形的判定与性质，二次函数与一元二次方程的的联系，根的判别式，对于平行四边形的存在性要注意分类讨论求解．