四川省泸州市2021-2022学年高三下学期第二次教学质量诊断性考试（二模）数学试题含答案解析

泸州市高2019级第二次教学质量诊断性考试

数学（文科）

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小愿给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求得集合中对应函数的值域，再求即可.

【详解】因为，又，

故.

故选：B

2. 复数的虚部为（    ）

A. 1 B.  C. -1 D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数的除法运算化简复数即得解.

【详解】解：，

所以复数的虚部为.

故选：C

3. 已知变量x，y满足，则的最大值为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线后可得目标函数的最大值.

【详解】

不等式对应的可行域如图所示，

当动直线过时，可取最大值为2，

故选：C.

4. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算.

【详解】.

故选：C.

5. 气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的每日平均温度均不低于.现有甲､乙､丙三地连续5天的每日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位）：

①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；

②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；

③丙地：5个数据中有1个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.

其中肯定进入夏季的地区有（    ）

A. ①② B. ①③

C. ②③ D. ①②③

【答案】B

【解析】

【分析】根据中位数和众数的定义分析可判断①；举特例可判断②；根据方差公式可判断③，进而可得正确答案.

【详解】对于①，甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；则甲地前3天的气温为22，22，24，后2天均大于24，符合进入夏季的标志，故①甲地肯定进入夏季；

对于②，乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；如连续5天的气温分别为19，20，27，27，27时，不满足进入夏季的标志，故②乙地不一定进入夏季；

对于③，丙地：5个数据中有1个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.

设其他4个数据若有一个低于22，假设取21，此时方差至少为，不符合总体方差为10.8，所以其他4个数据应都不小于22，所以丙地“连续5天的每日平均温度均不低于，符合进入夏季的标志，故③丙地肯定进入夏季，

所以进入夏季的地区有①③，

故选：B.

6. 已知曲线在点处的切线方程为，则a的值是（    ）

A.  B. -2 C.  D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】对函数求导得到导函数，曲线在点处的切线的斜率为：，进而得到参数值.

【详解】曲线，求导得到

曲线在点处的切线的斜率为：

故选：D

7. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的值是（    ）

A. 6 B. 8 C. 4 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】根据正弦定理结合题干条件可得到，再由余弦定理得，代入已知条件可得到最终结果.

【详解】因为，

根据正弦定理得到：

故得到

再由余弦定理得到：

代入，，得到.

故选：A.

8. 已知双曲线C：的焦点到C的一条渐近线的距离为2，则C的离心率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】解方程组，求出即得解.

【详解】解：由题得 （1），

因为双曲线的一条渐近线方程为.

所以 （2），

解（1）（2）得

所以双曲线离心率.

故选：D

9. 已知定义域为R的函数f(x)在上为减函数，且函数y=f(x+8)为偶函数,则（ ）

A. f(6)>f(7) B. f(6)>f(9) C. f(7)>f(9) D. f(7)>f(10)

【答案】D

【解析】

【详解】由函数图象平移规则可知，

函数由向右平移8个单位所得，

所以函数关于对称，

因为在区间上递减，在上递增，

所以，

，

故选D.

本题主要考查函数的奇偶性.

10. 如图，某几何体的三视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用正方体结合三视图切割可得该几何体，然后可求.

【详解】该几何体为边长为2的正方体截掉两个三棱锥、之后的多面体，其体积为正方体体积减两个三棱锥体积：.

故选：D

11. 已知等腰直角的顶点都在表面积为的球O的表面上，且球心O到平面ABC的距离为1，则的面积为（    ）

A. 4 B. 8 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据球的截面性质可求出直角三角形外接圆的半径，据此可得等腰直角三角形的边长，即可得解.

【详解】由球表面积，可得球半径，

设的外接圆的半径为，

则由球的截面性质可得，

又为等腰直角三角形，

所以斜边长为，直角边长为4，

所以，

故选：B

12. 已知，，且成立，则下列不等式不可能成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据构造函数，利用导数判断单调性，再对四个选项一一验证.

【详解】因为可化为，即，

所以可构造函数.

.

令，解得：；令，解得：.

所以在上单减，在上单增.

因为，所以.

对于A：，所以和不在同一个单调区间内，所以可以取出和符合不等式.故

对于B：，所以和不在同一个单调区间内，所以可以取出和符合不等式.

对于C：当，因为在上单增，所以恒成立.

对于D：当，因为在上单减，所以，所以不成立.

故选：D

二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）.

13. 已知，则________.

【答案】1

【解析】

【分析】

首先利用指数和对数互化得到，，再利用换地公式即可得到答案。

【详解】由可知，，

所以.

故答案为：

14. 写出一个具有下列性质①②③的函数___________.①定义域为；②函数是奇函数；③.

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】由可以看出函数的周期为，故可以写出符合要的三角函数即可.

【详解】满足以上三个条件，

故答案为：

15. 己知向量，，若，则的值为___________.

【答案】##

【解析】

【分析】根据已知求出和即得解.

【详解】解：由题得,

所以，所以.

所以.

故答案为：

16. 已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到直线的距离之和的最小值是___________.

【答案】4

【解析】

【分析】根据抛物线方程求得焦点F坐标和准线方程，由圆的方程求得圆心坐标，半径，然后根据抛物线的定义，将问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点F距离之和的最小值，从而即可求解．

【详解】解：抛物线的焦点为，准线方程为，圆的圆心为，半径为1，

根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离， 从而可得：当P，Q，F三点共线时，点P到点Q的距离与点P到直线距离之和的最小为 ，

故答案：4.

三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.

17. 设正项数列的前n项和为，，且满足___________.给出下列三个条件：①，；②；③.请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，且数列的前n项和为，求n的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）选①：先利用对数运算和等比中项判定数列为等比数列，再利用等比数列的通项公式求其通项；选②：先利用及求出，再利用和的关系进行求解；选③：先利用求出，再类似利用和的关系进行求解；

（2）根据上一问结论先化简，再利用裂项抵消法进行求解.

【小问1详解】

解：选①：由得：

， 所以，

又因为，因此数列为等比数列，

设数列的公比为，则，由，

解得或（舍去），

所以；                                              

选②：因为，

当时，，又，

所以，即，所以，

所以当时，，

两式相减得，

即，

所以数列是，公比为2的等比数列，

所以；

选③：因为，

当时，，

所以，即，

当时，，

两式相减，得，

即，

当时，满足上式．

所以；

【小问2详解】

解：因

，

设，

则；

令，得.

18. 某县充分利用自身资源，大力发展优质李子树种植项目.该县农科所为了对比A，B两种不同品种脆红李的产量，各选20块试验田分别种植了A，B两种脆红李，所得的20个亩产数据（单位：100）都在内，根据亩产数据得到频率分布直方图如下图：

（1）从B种脆红李亩产量数据在内任意抽取2个数据，求抽取的2个数据都在内的概率；

（2）根据频率分布直方图，用平均亩产量判断应选择种植A种还是B种脆红李，并说明理由.

【答案】（1）   

（2）应选择种植B种脆红李，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）种脆红李亩产量数据在，内的有5个，其中数据在，的有2个，数据在，的有3个，从种脆红李亩产量数据在，内任意抽取2个数据，基本事件总数，抽取的2个数据都在，内包含的基本事件个数，由此能求出抽取的2个数据都在，内的概率；（2）根据频率分布直方图，分别求出A种脆红李平均亩产量和种脆红李平均亩产量，从而得到用平均亩产量来判断应选择种植种脆红李．

【小问1详解】

（1）种脆红李亩产量数据在，内的有：

，

其中数据在，的有：个，

数据在，的有：个，

从B种脆红李亩产量数据在，内任意抽取2个数据，

基本事件总数，

抽取的2个数据都在，内包含的基本事件个数，

抽取的2个数据都在，内的概率为．

【小问2详解】

根据频率分布直方图，

种脆红李的平均亩产量为：

，

B种脆红李的平均亩产量为：

，

A种脆红李平均亩产量小于B种脆红李平均亩产量，

用平均亩产量来判断应选择种植B种脆红李．

19. 已知空间几何体ABCDE中，，是全等的正三角形，平面平面BCD，平面平面BCD.

（1）若，求证：；

（2）探索A，B，D，E四点是否共面？若共面，请给出证明；若不共面，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）先利用正三角形和勾股定理得到线线垂直，再利用面面垂直、线面垂直的性质进行证明；

（2）分别取，中点，，连接，，根据正三角形得到线线垂直，进而利用面面垂直的性质得到线面垂直，再利用线面垂直得到线线平行，再利用平行关系进行证明.

【小问1详解】

解： 因为、是全等的正三角形，所以，

又因为，所以，故，

因为平面平面，且平面平面，

所以平面， 又因为平面，

所以；

【小问2详解】

解：，，，四点共面，理由如下：

分别取，中点，，连接，，

因为是等边三角形，所以，，

因为平面平面，

所以平面，

同理平面，且，

所以，且，

所以四边形是平行四边形，

所以，又，

所以，即，，，四点共面．

20. 已知函数.

（1）求证：；

（2）若函数无零点，求a的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）求出，讨论其符号后可得函数的单调性，结合原函数的最值可得不等式成立.

（2）分三种情况讨论，当时求出，利用导数可得函数最大值，根据无零点建立不等式求解，当时，可得满足无零点.

【小问1详解】

，

则当时，，当时，，

故在上为增函数，在上减函数，

故即.

【小问2详解】

，故，

当时，在定义域上无零点;

当时，，故，

所以当时，，当时，，

故在上为增函数，在上减函数，

因为函数无零点，故，即；

当时，因为，所以，

即，

所以在定义域上无零点.

综上，的取值范围是.

21. 已知椭圆C：的左，右顶点分别为A，B，且，椭圆C过点.

（1）求椭圆C的标准方程：

（2）斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，若直线BM的斜率是直线AN斜率的两倍，证明直线l经过定点，并求出定点的坐标.

【答案】（1）   

（2）证明见解析，.

【解析】

【分析】（1）根据椭圆长轴长及过点，列出方程组，求出的值，求出椭圆方程；

（2）设出直线l的方程，联立后得到根与系数的关系，由斜率关系得到方程，化简后得到，进而求出直线所过定点.

【小问1详解】

由题意：，且，解得：，，

所以椭圆标准方程为：.

【小问2详解】

由（1）得：，，设，，，

联立椭圆方程得：，

则，，

又，，所以，

化简得：，

将，代入得：，

由于不恒为0，所以，解得：，

故过定点，即直线l过定点.

【点睛】关键点点睛：这道题目的难点是在根据斜率关系得到的方程时，通过整理不能整理出两根之和的对称形式，此时要适当的进行整理，通过凑出对称式，因式分解求出的关系或者的值，进而求出直线所过的定点.

22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），若曲线上的点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍，得到曲线.以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）已知直线l：与曲线交于A，B两点，若，求k的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）消参求得曲线的普通方程，再根据图形变换求得曲线得直角坐标方程，再根据，即可求出曲线的极坐标方程；

（2）设，则为方程得两根，利用韦达定理求得，，再根据，得，结合同角三角函数得关系求得，即可的解.

【小问1详解】

解：由消去参数得曲线的普通方程为，

曲线上的点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍，

则曲线得直角坐标方程为，

即，即，

因，

所以，

所以曲线的极坐标方程为；

【小问2详解】

解：设，

则为方程得两根，

则①，②，

因为，所以③，

由①②③解得，所以，

所以直线l的斜率.

23. 已知a，b，c为非负实数，函数.

（1）当，，时，解不等式；

（2）若函数的最小值为2，证明：.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用分类讨论去掉绝对值符号后可得不等式的解.

（2）利用柯西不等式可证成立.

【小问1详解】

当，，时，，

即为：或或，

故或或即.

故的解为.

【小问2详解】

，

当且仅当即时等号成立，

故，

由柯西不等式可得，

即，当且仅当，

也就是时等号成立，

故成立.