专题27 特殊三角形【考点精讲】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）课件PPT

考点1：等腰三角形的性质与判定

1．定义:两边相等的三角形叫做等腰三角形.

2．性质:① 等腰三角形的两腰相等;

② 等腰三角形的两底角相等，即“等边对等角”;

③ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，即“三线合一”;

④ 等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴是底边的垂直平分线. 

3．判定:

① 有两条边相等的三角形是等腰三角形;

② 有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”.

【例1】（2021·江苏扬州市）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．

【详解】

解：如图：分情况讨论：

①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；

②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．

故共有3个点，

故选：B．

【例2】（2021·浙江绍兴市）如图，在中，，，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则的度数是_______．

【答案】或

【分析】分①点P在BC的延长线上，②点P在CB的延长线上两种情况，再利用等腰三角形的性质即可得出答案．

【详解】

解：①当点P在BC的延长线上时，如图

∵，，

∴

∴

∵以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，

∴AC=PC

∴

∵

∴

∴

②当点P在CB的延长线上时，如图

由①得，

∵AC=PC

∴

∴

故答案为：或

1．（2020•福建）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（　　）

A．10 B．5 C．4 D．3

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．

【解析】∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，

∴CD＝5．

故选：B．

2．（2020•齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是　    　．

【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．

【解析】①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，

∵此时能组成三角形，

∴周长＝3+3+4＝10；

②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，

此时能组成三角形，

所以周长＝3+4+4＝11．

综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．

故答案为：10或11．

3．（2021·湖南）如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，．

（1）求证：；

（2）求的度数．

【答案】（1）见详解；（2）

【分析】

（1）由题意易得，，则有，然后问题可求证；

（2）由（1）可得，然后可得，进而根据三角形外角的性质可进行求解．

【详解】

（1）证明：∵，

∴，即，

∵，，

∴，

∴；

（2）解：∵，，

∴，

∴根据三角形内角和可得，

∴，

由（1）可得，

∵，

∴，

∴．

考点2：等边三角形的性质与判定

1．定义:三边相等的三角形是等边三角形.

2．性质:

① 等边三角形的三边相等,三角相等,且都等于60°;

② “三线合一”;

③ 等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴. 

3．判定:

① 三条边都相等的三角形是等边三角形;

② 三个角都相等的三角形是等边三角形;

③ 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 

【例3】（2021·广东）如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且

（1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．

【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析．

【分析】

（1）根据基本作图—角平分线作法，作出的平分线AF即可解答；

（2）根据直角三角形斜边中线性质得到并求出，再根据等腰三角形三线合一性质得出，从而得到EF为中位线，进而可证，，从而由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论．

【详解】

解：（1）如图，AF平分，

（2）∵，且，

∴，，

∵，，

∴，

∴，

∴，

又∵AF平分，，

∴，

又∵，

∴，，

∴，

∴

又∵

∴为等边三角形．

（1）等边三角形与全等三角形的结合运用;

（2）等边三角形与含30°角的直角三角形的结合运用.

1．（2021·重庆）在等边中，， ，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．

图1                                图2                            图3

（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．

①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；

②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：；

（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当最小时，直接写出的面积．

【答案】（1）①；②见解析；（2）

【分析】

（1）①连接AG，根据题意得出△ABC和△GEF均为等边三角形，从而可证明△GBC≌△GAC，进一步求出AD=3，AG=BG=，然后利用勾股定理求解即可；②以点F为圆心，FB的长为半径画弧，与BH的延长线交于点K，连接KF，先证明出△BFK是顶角为120°的等腰三角形，然后推出△FEB≌△FHK，从而得出结论即可；

（2）利用“胡不归”模型构造出含有30°角的直角三角形，构造出，当N、P、J三点共线的时候满足条件，然后利用相似三角形的判定与性质分别计算出PN与DN的长度，即可得出结论．

【详解】

（1）解：①如图所示，连接AG，

由题意可知，△ABC和△GEF均为等边三角形，

∴∠GFB=60°，

∵BD⊥AC，

∴∠FBC=30°，

∴∠FCB=30°，∠ACG=30°，

∵AC=BC，GC=GC，

∴△GBC≌△GAC（SAS），

∴∠GAC=∠GBC=90°，AG=BG，

∵AB=6，

∴AD=3，AG=BG=，

∴在Rt△ADG中，，

∴；

②证明：以点F为圆心，FB的长为半径画弧，与BH的延长线交于点K，连接KF，如图，

∵△ABC和△GEF均为等边三角形，

∴∠ABC=60°，∠EFH=120°，

∴∠BEF+∠BHF=180°，

∵∠BHF+∠KHF=180°，

∴∠BEF=∠KHF，

由辅助线作法可知，FB=FK，则∠K=∠FBE，

∵BD是等边△ABC的高，

∴∠K=∠DBC=∠DBA=30°，

∴∠BFK=120°，

在△FEB与△FHK中，

∴△FEB≌△FHK（AAS），

∴BE=KH，

∴BE+BH=KH+BH=BK，

∵FB=FK，∠BFK=120°，

∴BK=BF，

即：；

（2）如图1所示，以MP为边构造∠PMJ=30°，∠PJM=90°，则PJ=MP，

∴求的最小值，即为求的最小值，

如图2所示，当运动至N、P、J三点共线时，满足最小，

此时，连接EQ，则根据题意可得EQ∥AD，且EQ=AD，

∴∠MEQ=∠A=60°，∠EQF=90°，

∵∠PEF=60°，

∴∠MEP=∠QEF，

由题意，EF=EP，

∴△MEP≌△QEF（SAS），

∴∠EMP=∠EQF=90°，

又∵∠PMJ=30°，

∴∠BMJ=60°，

∴MJ∥AC，

∴∠PMJ=∠DNP=90°，

∵∠BDC=90°，

∴四边形ODNJ为矩形，NJ=OD，

由题，AD=3，BD=，

∵MJ∥AC，

∴△BMO∽△BAD，

∴，

∴OD=BD=，OM=AD=，

设PJ=x，则MJ=x，OJ=x-，

由题意可知，DN=CD=2，

∴，

解得：，

即：PJ=，

∴，

∴．

2．（2021·江苏连云港市）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．

（1）是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图1，求的长；

（2）是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；

（3）是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；

（4）正方形的边长为3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F、G都在直线上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．

【答案】（1）1；（2）3；（3）；（4）；

【分析】

（1）由、是等边三角形，，， ，可证即可；

（2）连接，、是等边三角形，可证，可得，又点在处时，，点在A处时，点与重合．可得点运动的路径的长；

（3）取中点，连接，由、是等边三角形，可证，可得．又点在处时，，点在处时，点与重合．可求点所经过的路径的长；

（4）连接CG ,AC ，OB，由∠CGA=90°，点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运动，由四边形ABCD为正方形，BC为边长，设OC=x，由勾股定理即，可求，点G所经过的路径长为长=，点H所经过的路径长为的长．

【详解】

解:（1）∵、是等边三角形，

∴，，．

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）连接，

∵、是等边三角形，

∴，，．

∴，

∴，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

又点在处时，，点在A处时，点与重合．

∴点运动的路径的长；

（3）取中点，连接，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵、是等边三角形，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，，

∴，

又点在处时，，点在处时，点与重合，

∴点所经过的路径的长；

（4）连接CG ,AC ，OB，

∵∠CGA=90°，

∴点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运动，

∵四边形ABCD为正方形，BC为边长，

∴∠COB=90°，设OC=x，

由勾股定理即，

∴，

点G所经过的路径长为长=，

点H在以BC中点为圆心，BC长为直径的弧上运动，

点H所经过的路径长为的长度，

∵点G运动圆周的四分之一，

∴点H也运动圆周的四分一，

点H所经过的路径长为的长=，

故答案为；．

考点3：直角三角形的性质

1．性质:

① 直角三角形的两锐角互余;

② 直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半;

③ 直角三角形中,斜边上的 中线长等于斜边长的一半.

2．判定:有一个角是直角的三角形是直角三角形. 

【例4】（2020•泰州）如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重

叠形成的角为65°，则图中角α的度数为　   　．

【分析】求出∠ACD，根据三角形内角和定理求出∠AFC，求出∠DFB，根据三角形的外角性质求出即可．

【详解】如图，

∵∠ACB＝90°，∠DCB＝65°，

∴∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣65°＝25°，

∵∠A＝60°，

∴∠DFB＝∠AFC＝180°﹣∠ACD﹣∠A＝180°﹣25°﹣60°＝95°，

∵∠D＝45°，

∴∠α＝∠D+∠DFB＝45°+95°＝140°，

故答案为：140°．

1．（2021·四川乐山市）如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长线的垂线，垂足分别为点、．若，，则的值为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】

根据菱形的基性质，得到∠PAE=30°，,利用勾股理求出AC=，则AP= +PC，PE=AP=+PC ，由∠PCF=∠DCA=30°，得到PF=PC ，最后算出结果．

【详解】

解：∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=120°，AB=2，

∴AB=BC=CD=DA=2，∠BAD=60°，AC⊥BD，

∴∠CAE=30︒，

∵AC⊥BD，∠CAE=30°，AD=2，

∴AC=，

∴AP=+PC，

在直角△AEP中，

∵∠PAE=30°，AP=+PC，

∴PE=AP=+PC，

在直角△PFC中，

∵∠PCF=30°，

∴PF=PC，

∴=+PC-PC=，

故选：B．

考点4：勾股定理及其逆定理

①勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方;

②勾股定理的逆定理:若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形.

【例5】（2021·江苏宿迁市）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（示意图如图，则水深为                       尺．

【答案】12

【分析】

依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，利用勾股定理求出x的值即可得到答案．

【详解】

解：依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，

因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，

在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2=x2，

解之得x=13，

即水深12尺，芦苇长13尺．

故答案为：12．

．

（1）已知直角三角形的两边长，求第三边长.

（2）已知直角三角形的一边长，求另两边长的关系.

（3）用于证明平方关系的问题.

1．（2021·四川自贡市）如图，，，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

先根据题意得出OA=8，OC=2，再根据勾股定理计算即可

【详解】

解：由题意可知：AC=AB

∵，

∴OA=8，OC=2

∴AC=AB=10

在Rt△OAB中，

∴B(0，6)

故选：D

2．（2021·浙江金华市）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定△ABC是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到，再由勾股定理解得，解得，据此解题即可．

【详解】

解：如图所示，正方形的顶点都在同一个圆上，

圆心在线段的中垂线的交点上，即在斜边的中点，且AC=MC，BC=CG，

∴AG=AC+CG=AC+BC，BM=BC+CM=BC+AC，

∴AG=BM，

又∵OG=OM，OA=OB，

∴△AOG≌△BOM，

∴∠CAB=∠CBA，

∵∠ACB=90°，

∴∠CAB=∠CBA=45°，

，

，

．

故选：C．