2019山东德州中考数学解析练习题

这是一份2019山东德州中考数学解析练习题，共17页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2019年山东省德州市初中毕业、升学考试
数学
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．
1．（2019山东省德州市，1，4） －的倒数是（ ）
A．－2 B． C．1 D．1
【答案】A
【解析】本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，由于－×(－2)＝1，故选A．
【知识点】倒数

2．（2019山东省德州市，2，4）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题考查了轴对称和中心对称图形的识别，A．轴对称图形；B．中心对称图形；C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选D．
【知识点】轴对称图形；中心对称图形

3．（2019山东省德州市，3，4）据国家统计局统计，我国 2018 年国民生产总值（GDP）为 900300 亿元．用科学记数法表示900300亿是（ ）
A．9.003´1012 B．90.03´1012 C．0.9003´1014 D．9.003´1013
【答案】D
【解析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．因此先将“900300亿”改写成90 030 000 000 000，再根据科学记数法的要求表示为9.003´1013．故选D．
【知识点】科学记数法

4．（2019山东省德州市，4，4）下列运算正确的是（ ）
A．(－2a)2＝－4a2 B．(a＋b)2＝a2＋b2
C．(a5)2＝a7 D．(－a＋2)(－a－2)＝a2－4
【答案】D
【解析】本题考查了整式的乘法及乘法公式，根据相关法则逐一判断．A项考查了积的乘方法则，正确结果应该是4a2；B项考查的是完全平方公式，正确的结果应该是a2＋2ab＋b2；C项考查的是幂的乘方法则，正确的结果应该是a10；D项考查了平方差公式，结果正确．故选D．
【知识点】积的乘方；完全平方公式；幂的乘方；平方差公式

5．（2019山东省德州市，5，4） 若函数与 y＝ax2＋bx＋c 的图象如下图所示，则函数 y＝kx＋b 的大致图象为（ ）
O
y
x
O
y
x

x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本题考查了反比例函数、一次函数和二次函数图像的性质，由反比例函数数和二次函数图象得出k、b的范围，再判断一次函数的图像．由于双曲线过二、四象限，因此k＜0，又由于抛物线开口向上，因此a＞0，又由于对称轴在y轴右侧，根据“左同右异”可知a，b异号，所以b＜0．所以直线应该呈下降趋势，与y轴交于负半轴，故选C．
【知识点】反比例函数的图像；一次函数的图像；二次函数的图像
6．（2019山东省德州市，6，4）不等式组 的所有非负整数解的和是（ ）
A． 10 B． 7 C． 6 D． 0
【答案】A
【解析】本题考查了一元一次不等式不等式组的非负整数解，先求出不等式组的解集，再确定非负整数解，最后求和．解答过程如下：解不等式①，得x＞－；解不等式②，得x≤4；∴不等式组的解集为－＜x≤4．∴不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，这些非负整数解的和为10．故选A．
【知识点】解不等式组

7．（2019山东省德州市，7，4）下列命题是真命题的是（ ）
A.两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
B.平分弦的直径垂直于弦
C.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D.两条直线别第三条直线所截，内错角相等
【答案】C．
【解析】解：A、由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等，故A错误，是假命题；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故B错误，是假命题；
C、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故C正确，是真命题；
D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故D错误，是假命题；
故选：C．
【知识点】三角形全等的判定；垂径定理；平行四边形的判定；平行线的性质

8．（2019山东省德州市，8，4）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x尺，木长y尺，则可列二元一次方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，等量关系是：绳长﹣木长＝4.5；木长﹣绳长＝1，据此可列方程组求解．设绳长x尺，长木为y尺，依题意得，故选：B．
【知识点】由实际问题抽象出二元一次方程组
9．（2019山东省德州市，9，4） 如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（　　）
A．130° B．140° C．150° D．160°

【答案】B．
【思路分析】根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．
【解题过程】由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°，故选：B．

【知识点】圆内接四边形

10．（2019山东省德州市，10，4）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字，，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C．
【思路分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求得乙获胜的概率．
【解题过程】画树状图如下：

由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使乙获胜的有4种结果数，
∴乙获胜的概率为，
故选：C．
【知识点】根的判别式；列表法与树状图法
11．（2019山东省德州市，11，4）在下列函数图象上任取不同两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），一定能使＜0成立的是（　　）
A．y＝3x﹣1（x＜0） B．y＝﹣x2+2x﹣1（x＞0）
C．y＝﹣（x＞0） D．y＝x2﹣4x﹣1（x＜0）
【答案】D
【思路分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，可根据各函数的增减性逐项进行判断．
【解题过程】解：A、∵k＝3＞0，∴y随x的增大而增大，即当x1＞x2时，必有y1＞y2，∴当x＜0时，＞0，故A选项不符合；B、∵对称轴为直线x＝1，∴当0＜x＜1时y随x的增大而增大，当x＞1时y随x的增大而减小，∴当0＜x＜1时：当x1＞x2时，必有y1＞y2，此时＞0，故B选项不符合；C、当x＞0时，y随x的增大而增大，即当x1＞x2时，必有y1＞y2，此时＞0，故C选项不符合；D、∵对称轴为直线x＝2，∴当x＜0时y随x的增大而减小，即当x1＞x2时，必有y1＜y2，此时＜0，故D选项符合；故选：D．
【知识点】：一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征．菁

12．（2019山东省德州市，12，4）如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG＝BC，连接CM．有如下结论：①DE＝AF；②AN＝AB；③∠ADF＝∠GMF；④S△ANF：S四边形CNFB＝1：8．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④
【答案】C
【思路分析】①正确．证明△ADF≌△DCE（ASA），即可判断．②正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可．③正确．作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC＝a，通过计算证明MH＝CH即可解决问题．④错误．设△ANF的面积为m，由AF∥CD，推出＝＝，△AFN∽△CDN，推出△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，推出△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，由此即可判断．
【解题过程】∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝CD＝BC，∠CDE＝∠DAF＝90°，∵CE⊥DF，∴∠DCE+∠CDF＝∠ADF+∠CDF＝90°，∴∠ADF＝∠DCE，在△ADF与△DCE中，，
∴△ADF≌△DCE（ASA），∴DE＝AF；故①正确；∵AB∥CD，∴＝，∵AF：FB＝1：2，∴AF：AB＝AF：CD＝1：3，∴＝，∴＝，∵AC＝AB，∴＝，∴AN＝AB；故②正确；
作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC＝a，由△CMD∽△CDE，可得CM＝a，由△GHC∽△CDE，可得CH＝a，∴CH＝MH＝CM，∵GH⊥CM，∴GM＝GC，∴∠GMH＝∠GCH，∵∠FMG+∠GMH＝90°，∠DCE+∠GCM＝90°，∴∠FEG＝∠DCE，∵∠ADF＝∠DCE，
∴∠ADF＝∠GMF；故③正确，设△ANF的面积为m，∵AF∥CD，∴＝＝，△AFN∽△CDN，∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，∴△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，∴S△ANF：S四边形CNFB＝1：11，故④错误，故选：C．

【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．
13．（2019山东省德州市，13，4） |x﹣3|＝3﹣x，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≤3
【解析】本题考查了实数的绝对值，根据绝对值的意义，绝对值表示距离，所以3﹣x≥0，即可求解．∵3﹣x≥0，∴x≤3；故答案为x≤3；
【知识点】绝对值

14．（2019山东省德州市，14，4）方程﹣＝1的解为　 　．
【答案】x＝﹣4
【解析】根据分式方程的解法，先将去分母，化为整式方程，再解这个整式方程，最后验证根的情况．两边同时乘以（x+1）（x－1），得6－3（x+1）=（x+1）（x－1） ，解得x1＝1，x2＝﹣4，经检验x＝1是原方程的增根，x＝﹣4是原方程的根；故答案为x＝﹣4．
【知识点】解分式方程
15．（2019山东省德州市，15，4） 如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为　 　米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）

【答案】1.02
【解析】本题考查了解直角三角形，直接利用锐角三角函数关系得出AO，CO的长，相减得出AC的长．∵∠ABO＝70°，AB＝6m，∴sin70°＝＝≈0.94，解得：AO＝5.64（m），∵∠CDO＝50°，DC＝6m，∴sin50°＝≈0.77，解得：CO＝4.62（m），则AC＝5.64﹣4.62＝1.02（m），答：AC的长度约为1.02米．故答案为：1.02．
【知识点】解直角三角形的应用

16．（2019山东省德州市，16，4）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]＝4，[﹣0.8]＝﹣1．现定义：{x}＝x﹣[x]，例：{1.5}＝1.5﹣[1.5]＝0.5，则{3.9}+{﹣1.8}﹣{1}＝　 　．
【答案】0.7
【解析】先读懂题意，再根据新定义的概念列出算式解题．根据题意可得：{3.9}+{﹣1.8}﹣{1}＝3.9﹣3﹣1.8+2﹣1+1＝0.7，故答案为：0.7．
【知识点】有理数的加减
17．（2019山东省德州市，17，4）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，＝，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为　 　．

【答案】
【思路分析】连接OA、OB，OB交AF于G，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝3，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，OA＝r，根据勾股定理得到32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，再利用垂径定理得到OB⊥AF，AG＝FG，则AG2+OG2＝52，AG2+（5﹣OG）2＝62，然后解方程组求出AG，从而得到AF的长．
【解题过程】连接OA、OB，OB交AF于G，如图，∵AB⊥CD，∴AE＝BE＝AB＝3，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，OA＝r，在Rt△OAE中，32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，∵＝，∴OB⊥AF，AG＝FG，
在Rt△OAG中，AG2+OG2＝52，①在Rt△ABG中，AG2+（5﹣OG）2＝62，②解由①②组成的方程组得到AG＝，∴AF＝2AG＝．故答案为．

【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

18．（2019山东省德州市，18，4）如图，点A1、A3、A5…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A2、A4、A6……在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∠OA1A2＝∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝…＝∠α＝60°，且OA1＝2，则An（n为正整数）的纵坐标为　 　．（用含n的式子表示）

【答案】（﹣1）n+1（）
【思路分析】先证明△OA1E是等边三角形，求出A1的坐标，作高线A1D1，再证明△A2EF是等边三角形，作高线A2D2，设A2（x，﹣），根据OD2＝2+＝x，解方程可得等边三角形的边长和A2的纵坐标，同理依次得出结论，并总结规律：发现点A1、A3、A5…在x轴的上方，纵坐标为正数，点A2、A4、A6……在x轴的下方，纵坐标为负数，可以利用（﹣1）n+1来解决这个问题．
【解题过程】过A1作A1D1⊥x轴于D1，∵OA1＝2，∠OA1A2＝∠α＝60°，∴△OA1E是等边三角形，
∴A1（1，），∴k＝，∴y＝和y＝﹣，过A2作A2D2⊥x轴于D2，∵∠A2EF＝∠A1A2A3＝60°，
∴△A2EF是等边三角形，设A2（x，﹣），则A2D2＝，Rt△EA2D2中，∠EA2D2＝30°，∴ED2＝，
∵OD2＝2+＝x，解得：x1＝1﹣（舍），x2＝1+，∴EF＝＝＝＝2（﹣1）＝2﹣2，A2D2＝＝＝，即A2的纵坐标为﹣；过A3作A3D3⊥x轴于D3，
同理得：△A3FG是等边三角形，设A3（x，），则A3D3＝，Rt△FA3D3中，∠FA3D3＝30°，∴FD3＝，∵OD3＝2+2﹣2+＝x，解得：x1＝（舍），x2＝+；∴GF＝＝＝2（﹣）＝2﹣2，A3D3＝＝＝（﹣），即A3的纵坐标为（﹣）；…∴An（n为正整数）的纵坐标为：（﹣1）n+1（）；故答案为：（﹣1）n+1（）．

【知识点】反比例函数的性质；等边三角形

三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019山东省德州市，19，8） 先化简，再求值：（﹣）÷（﹣）•（++2），其中+（n﹣3）2＝0．
【思路分析】先通分，再利用因式分解，把可以分解的分解，然后统一化成乘法运算，约分化简，再将所给等式化简，得出m和n的值，最后代回化简后的分式求出分式的值．
【解题过程】（﹣）÷（﹣）•（++2）＝÷•
＝••＝﹣．
∵+（n﹣3）2＝0．∴m+1＝0，n﹣3＝0，∴m＝﹣1，n＝3．∴﹣＝﹣＝．
∴原式的值为．
【知识点】非负数的性质；分式的化简求值

20．（2019山东省德州市，20，10）《中学生体质健康标准》规定的等级标准为：90分及以上为优秀，80～89分为良好，60～79分为及格，59分及以下为不及格．某校为了解七、八年级学生的体质健康情况，现从两年级中各随机抽取10名同学进行体质健康检测，并对成绩进行分析．成绩如下：
七年级
80
74
83
63
90
91
74
61
82
62
八年级
74
61
83
91
60
85
46
84
74
82
（1）根据上述数据，补充完成下列表格．
整理数据：

优秀

良好
及格
不及格
七年级
2
3
5
0
八年级
1
4
　　
1
分析数据：
年级
平均数
众数
中位数
七年级
76
74
77
八年级
　 　
74
　　
（2）该校目前七年级有200人，八年级有300人，试估计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有多少人？
（3）结合上述数据信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好，并说明理由．
【思路分析】（1）根据平均数和中位数的概念来解答；（2）根据样本估计总体来解答；（3）根据数据调查信息来解答．
【解题过程】（1）八年级及格的人数是4，平均数＝，中位数＝；故答案为：4；74；78；
（2）计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有200×人；
（3）根据以上数据可得：七年级学生的体质健康情况更好．
【知识点】用样本估计总体；算术平均数；中位数；众数

21．（2019山东省德州市，21，10） 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人字样浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆． 据统计，第一个月进馆 128 人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆 608 人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力补超过 500 人次，在进馆人次的月平均增长率的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【思路分析】（1）套用公式a(1＋x)2＝b即可；（2）根据第（1）小题算出的增长率，算出第四个月的进馆人数，然后与608进行比较得出结果．
【解题过程】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，根据题意，得： 128＋128 (1＋x)＋128 (1＋x)2＝608
解得 x1＝0.5；x2＝－3.5（舍去）．答：进馆人次的月平均增长率为50%．
（2）第四个月进馆人数为128(1＋)3＝432（人次），∵432＜500， ∴校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
【知识点】一元二次方程的应用

22．（2019山东省德州市，22，12）如图，∠BPD＝120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠PAC＝30°，AC＝2．
（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；
（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；
（3）求所得的劣弧与线段PA、PC围成的封闭图形的面积．

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（2）写出已知、求证，然后进行证明；连接OP，先证明Rt△PAO≌Rt△PCO，然后根据切线的判定方法判断PB、PC为⊙O的切线；
（3）先证明△OAC为等边三角形得到OA＝AC＝2，∠AOC＝60°，再计算出AP＝2，然后根据扇形的面积公式，利用劣弧AC与线段PA、PC围成的封闭图形的面积进行计算．
【解题过程】（1）如图，
（2）已知：如图，∠BPD＝120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠PAC＝30°，AC＝2，过A、C分别作PB、PD的垂线，它们相交于O，以OA为半径作⊙O，OA⊥PB，
求证：PB、PC为⊙O的切线；
证明：∵∠BPD＝120°，PAC＝30°，
∴∠PCA＝30°，
∴PA＝PC，
连接OP，
∵OA⊥PA，PC⊥OC，
∴∠PAO＝∠PCO＝90°，
∵OP＝OP，
∴Rt△PAO≌Rt△PCO（HL）
∴OA＝OC，
∴PB、PC为⊙O的切线；
（3）∵∠OAP＝∠OCP＝90°﹣30°＝60°，
∴△OAC为等边三角形，
∴OA＝AC＝2，∠AOC＝60°，
∵OP平分∠APC，
∴∠APO＝60°，
∴AP＝×2＝2，∴劣弧AC与线段PA、PC围成的封闭图形的面积＝S四边形APCO﹣S扇形AOC＝2××2×2﹣＝4﹣2π．

【知识点】尺规作图；圆周角定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算

23．（2019山东省德州市，23，12）下表中给出A，B，C三种手机通话的收费方式．
收费方式
月通话费/元
包时通话时间/h
超时费/（元/min）
A
30
25
0.1
B
50
50
0.1
C
100
不限时

（1）设月通话时间为x小时，则方案A，B，C的收费金额y1，y2，y3都是x的函数，请分别求出这三个函数解析式．
（2）填空：
若选择方式A最省钱，则月通话时间x的取值范围为　 　；
若选择方式B最省钱，则月通话时间x的取值范围为　 　；
若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为　 　；
（3）小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，求小王该月的通话时间．
【思路分析】（1）根据题意可以分别写出y1、y2、y3关于x的函数关系式，并写出相应的自变量的取值范围；
（2）根据题意作出图象，结合图象即可作答；
（3）结合图象可得：小张选择的是方式A，小王选择的是方式B，将y＝81代入y2关于x的函数关系式，解方程即可得出小王该月的通话时间．
【解题过程】（1）∵0.1元/min＝6元/h，
∴由题意可得，
y1＝，
y2＝，
y3＝100（x≥0）；
（2）作出函数图象如图：

结合图象可得：
若选择方式A最省钱，则月通话时间x的取值范围为：0≤x≤，
若选择方式B最省钱，则月通话时间x的取值范围为：≤x≤，
若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为：x＞．
故答案为：0≤x≤，≤x≤，x＞．
（3）∵小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，
∴结合图象可得：小张选择的是方式A，小王选择的是方式B，
将y＝80分别代入y2＝，可得
6x﹣250＝80，
解得：x＝55，
∴小王该月的通话时间为55小时．
【知识点】一次函数的应用

24．（2019山东省德州市，24，12） （1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，请直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）
（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD：GC：EB；
（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD：AB＝AH：AE＝1：2，此时HD：GC：EB的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．

【思路分析】（1）连接AG，由菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，易得A，G，C共线，延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，利用菱形对角线互相垂直，结合三角函数可得结论；
（2）连接AG，AC，由△ADC和△AHG都是等腰三角形，易证△DAH∽△CAG与△DAH≌△BAE，利用相似三角形的性质及菱形的性质可得结论；
（3）连接AG，AC，易证△ADC∽△AHG和△ADH∽△ABE，利用相似三角形的性质可得结论．
【解题过程】（1）连接AG，
∵菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，
∴∠GAE＝∠CAB＝30°，AE＝AH，AB＝AD，
∴A，G，C共线，AB﹣AE＝AD﹣AH，
∴HD＝EB，
延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，
∴GC⊥MN，∠NGO＝∠AGE＝30°，
∴＝cos30°＝，
∵GC＝2OG，
∴＝，
∵HGND为平行四边形，
∴HD＝GN，
∴HD：GC：EB＝1：：1．

（2）如图2，连接AG，AC，
∵△ADC和△AHG都是等腰三角形，
∴AD：AC＝AH：AG＝1：，∠DAC＝∠HAG＝30°，
∴∠DAH＝∠CAG，
∴△DAH∽△CAG，
∴HD：GC＝AD：AC＝1：，
∵∠DAB＝∠HAE＝60°，
∴∠DAH＝∠BAE，
在△DAH和△BAE中，

∴△DAH≌△BAE（SAS）
∴HD＝EB，
∴HD：GC：EB＝1：：1．

（3）有变化．
如图3，连接AG，AC，
∵AD：AB＝AH：AE＝1：2，∠ADC＝∠AHG＝90°，
∴△ADC∽△AHG，
∴AD：AC＝AH：AG＝1：，
∵∠DAC＝∠HAG，
∴∠DAH＝∠CAG，
∴△DAH∽△CAG，
∴HD：GC＝AD：AC＝1：，
∵∠DAB＝∠HAE＝90°，
∴∠DAH＝∠BAE，
∵DA：AB＝HA：AE＝1：2，
∴△ADH∽△ABE，
∴DH：BE＝AD：AB＝1：2，
∴HD：GC：EB＝1：：2

【知识点】矩形；菱形；正方形；相似三角形的性质与判定

25．（2019山东省德州市，25，14） 如图，抛物线y＝mx2﹣mx﹣4与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x2﹣x1＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤x1≤a+2，x2≥时，均有y1≤y2，求a的取值范围；
（3）抛物线上一点D（1，﹣5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC＝∠MCE时，求点M的坐标．

【思路分析】（1）函数的对称轴为：x＝﹣＝＝，而且x2﹣x1＝，将上述两式联立并解得：x1＝﹣，x2＝4，从而求出抛物线的解析式；
（2）由（1）知，函数的对称轴为：x＝，则x＝和x＝﹣2关于对称轴对称，故其函数值相等，结合函数图象求出a的取值范围；
（3）确定△BOC、△CDG均为等腰直角三角形来求解．
【解题过程】解：（1）函数的对称轴为：x＝﹣＝＝，而且x2﹣x1＝，
将上述两式联立并解得：x1＝﹣，x2＝4，
则函数的表达式为：y＝a（x+）（x﹣4）＝a（x2﹣4x+x﹣6），
即：﹣6a＝﹣4，解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4；
（2）由（1）知，函数的对称轴为：x＝，
则x＝和x＝﹣2关于对称轴对称，故其函数值相等，
又a≤x1≤a+2，x2≥时，均有y1≤y2，
结合函数图象可得：，解得：﹣2≤a≤；
（3）如图，连接BC、CM，过点D作DG⊥OE于点G，

而点B、C、D的坐标分别为：（4，0）、（0，﹣4）、（1，﹣5），
则OB＝OC＝4，CG＝GC＝1，BC＝4，CD＝，
故△BOC、△CDG均为等腰直角三角形，
∴∠BCD＝180°﹣∠OCB﹣∠GCD＝90°，
在Rt△BCD中，tan∠BDC＝＝4，
∠BDC＝∠MCE，
则tan∠MCE＝4，
将点B、D坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：
直线BD的表达式为：y＝x﹣，故点E（0，﹣），
设点M（n，n﹣），过点M作MF⊥CE于点F，
则MF＝n，CF＝OF﹣OC＝﹣，
tan∠MCE＝＝＝4，
解得：n＝，
故点M（，﹣）．
【知识点】二次函数；；一次函数；等腰三角形性质