2019重庆市数学中考B卷解析

这是一份2019重庆市数学中考B卷解析，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，五车间的所有成品同时检验完，解答题等内容，欢迎下载使用。

2019年重庆市初中毕业、升学考试
数学（B卷）
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．
1．（2019重庆市B卷，1，4）5的绝对值是（ ）
A.5 B.－5 C. D.
【答案】Ａ
【解析】正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数.所以5的绝对值是5.故选Ａ．
【知识点】绝对值

2．（2019重庆市B卷，2，4）如图是一个由5个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　　　）

【答案】Ｄ
【解析】三视图分为主视图，俯视图和左视图.三视图是观测者从上面、左面、正面三个不同角度观察同一个空间几何体而画出的图形.从正面看，有５个正方体表面组成，故选Ｄ．
【知识点】三视图

3．（2019重庆市B卷，3，4）下列命题是真命题的是（　　　　）
　A.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为2:3
　B.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9
　C.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个全角形的面积比为2:3
　D.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的面积比为4:9

【答案】Ｂ
【解析】如果两个三角形相似,那么这两个三角形的周长比等于相似比，面积比是相似比的平方.即如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9；面积比是相似比的平方，即16:81. 故选Ｂ．
【知识点】真命题，假命题，相似比

4．（2019重庆市B卷，4，4）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C＝40°则∠B的度数为（　　　）
A.60° B.50° C.40° D.30°

【答案】Ｂ
【解析】圆的切线垂直于经过切点的半径，因为AC是⊙O的切线，A为切点，所以∠BAC＝90°，根据三角形内角和定理，若∠C＝40°则∠B的度数为50°. 故选Ｂ．
【知识点】切线定义，三角形内角和 .

5．（2019重庆市B卷，5，4）物线y＝的对称轴是（　　　）
A.直线 B.直线 C.直线 D.直线

【答案】Ｃ
【解析】设二次函数的解析式是y=， 则二次函数的对称轴为直线,顶点横坐标为顶点纵坐标为.所以抛物线y＝的对称轴是直线 .故选Ｃ．
【知识点】二次函数对称轴

6．（2019重庆市B卷，6，4）某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分超过120分，他至少要答对的题的个数为（　　　）
A.13 B.14 C.15 D.16
【答案】Ｃ
【解析】设小华答对的题的个数为x题,则答错或不答的习题为（20－x）题，可列不等式10x－5(20－5x)≥120，解得x≥，即他至少要答对的题的个数为15题. 故选Ｃ．
【知识点】一次不等式的应用

7．（2019重庆市B卷，7，4） 估计的值应在
A.5和6之间 B.6和7之间 C.7和8之间 D.8和9之间
【答案】B
【解析】本题考查了二次根式的乘法、合并同类二次根式，以及估算
∵，∴＜＜，∴6＜＜7
故选B．
【知识点】二次根式的乘法、合并同类二次根式.

8．（2019重庆市B卷，8，4） 根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是7，则输出y的值是-2，若输入的x值是-8，则输出y的值是
A.5 B.10 C.19 D.21

【答案】C
【思路分析】本题主要考查的是程序运算和一次函数解析式的确定，解题关键是确定一次函数解析式中字母的值.
【解题过程】解：将x=7,y=-2 分别代入得，b＝3.所以一次函数解析式为．把x＝-8代入，y＝19.故选C．
【知识点】程序运算；一次函数解析式的确定
9．（2019重庆市B卷，9，4）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A（10,0），sin∠COA=.若反比例函数y=(k﹥0,x﹥0)经过点C，则k的值等于（ ）

【答案】C
【思路分析】根据菱形的性质得出OC=OA=10.过点C作CD⊥OA.
由sin∠COA=可得 OD=6，CD=8 ∴C（6,8）
根据发反比例函数图像过点C，求出k=48
【解题过程】解：过C作CD⊥OA交x轴于D
∵OABC为菱形，A（10,0）∴OC=OA=10.
∵sin∠COA= ∴ = 即=
∴CD=8, ∴OC=6, ∴C（6,8） ∵反比例函数y=(k﹥0,x﹥0)经过点C, k=6×8=48. 故选Ｃ．

【知识点作】反比例函数图像上点的特征；菱形的性质；锐角三角函\数

10．（2019重庆市B卷，10，4）
如图，AB是垂直于水平面的建筑物，为测量AB的高度，小红从建筑物底端B出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC=BC.在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A,B,C,D在同一平面内）.斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4,那么建筑物AB的高度约为 （ ）

【答案】B
【思路分析】作EN⊥AB于N,EM⊥BC交BC的延长线于M.先解直角三角形Rt△ECM,求出EM,CM，再根据tan27°=,求出AN，∴AB=AN+BN
【解题过程】解：作EN⊥AB于N,EM⊥BC交BC的延长线于M.
∵斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4,
DC=BC=52米，设DM=x米，则CM=2.4x米，
在Rt△ECM中，∵+ =，∴+=
解得 x=20 ∴CM=48米，EM=20+0.8=20.8米，BM=ED+DM=52+48=100米
∵EN⊥AB,EM⊥BC，AB⊥BC ∴四边形ENBM是矩形. ∴EN=BM=100米，BN=EM=20.8米.
在Rt△AEN中，∵∠AEF=27°∴AN=EN﹒tan27°≈100×0.51=51米
∴AB=AN+BN=51+20.8=71.8米. 故选B．
【知识点】解直角三角形的应用—坡度坡角问题；解直角三角形的应用—仰角俯角问题

11．（2019重庆市B卷，11，4）若数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是
A．－3 　 B．－2 　 C．－1 　D．1
【答案】A
【解析】第一部分：根据解一元一次不等式组的基本步骤解可得．
解：解不等式①，得：x≤3，
解不等式②，得：x>
因为有且仅有3个整数解，所以三个整数解分别为：3，2，1．
所以的大致范围为；
特别的，当=0的时候，不等式组的整数解仍是3，2，1，所以=0也成立
所以
化简为
第二部分：求分式方程的解，得
根据分式方程的解为正数和分式方程的分母不能为零，得
即：
解得：a<2且a≠1
第三部分：根据第一部分a的范围和第二部分a的范围，找出a的公共范围:
且a≠1
所以满足条件的整数a为－2，－1，0．
它们的和为：－2－1+0=-3．故选A．

【知识点】解一元一次不等式组，由整数解构建不等量关系，解分式方程，分式方程的解考虑分母不为零。
12．（2019重庆市B卷，12，4）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC与点E，AE=1.连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面，得△AEF，连接DF.过点D作DG⊥DE交BE于点G.则四边形DFEG的周长为( )
A.8 B. C. D.

【答案】D
【思路分析】由题意得△ABC是等腰直角三角形，BE⊥AC，可得∠DBH=∠DAC，因为DG⊥DE，AD⊥BC可得∠BDG=∠ADE，可得△BGD≌AED（ASA），BG=AE=1，DG=DE，∠GED=45°.在Rt△ABE中，由勾股定理得BE=，所以GE=，在Rt△DGE中，由勾股定理可得DE=DG=2-，因为D、F关于AE对称，所以∠FEC=∠DEC=45°，EF=DE=2-，可求四边形DFEG的周长为2（+2-）=.
【解析】∵∠ABC=45°，AD⊥BC
∴△ABC是等腰直角三角形
∴AD=BD
∵BE⊥AC，AD⊥BD
∴∠DAC=∠DBH
∴△DBH≌△DAC （ASA）
∵DG⊥DE，
∴∠BDG=∠ADE
∴△DBG≌△DAE（ASA）
∴BG=AE，DG=DE
∴△DGE是等腰直角三角形
∴∠DEC=45°
在Rt△ABE中，BE=
∴GE=
∴DE=
∵D、F关于AE对称
∴∠FEC=∠DEC=45°
∴EF=DE=DG=
DF=GE=
∴四边形DFEG的周长为2（+2-）=.故选D．

【知识点】等腰直角三角形的判定、三角形全等的判定和性质、勾股定理、轴对称的性质

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．

13．（2019重庆市B卷，13，4）计算：=
【答案】3
【解析】解题关键是理解零指数幂和负整数指数幂的意义．思路：利用“任意不为0的数的0次幂都等于1”，“任意不为零的数的－n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数”，然后求和即可．故答案为3．

【知识点】零指数幂，负整数指数幂.

14．（2019重庆市B卷，14，4） 2019年1月1日，“学习强国”平台全国上线，截至2019年3月17日止，重庆市党员“学习强国”APP注册人数约1 180 000，参学覆盖率达71％，稳居全国前列.将数据1 180 000用科学记数法表示为
【答案】1.18×106
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≦|a|≦10,n为整数。确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值>1时，n为正数；当原数的绝对值<1时，n为负数. 故答案为1.18×106．
【知识点】科学记数法

15．（2019重庆市B卷，15，4）一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数。连续掷两次骰子，在骰子向上的一面上，第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的概率是
【答案】
【解析】因为本题两次抛掷结果互不影响，所以所有可能出现的结果为6×6=36种，其中第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的结果有（1,2），（2,4）,(3,6)共3种，所以根据概率计算公式P=故答案为
【知识点】概率计算

16．（2019重庆市B卷，16，4）如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是

【答案】8-8
【解题过程】连结AE.
∵在矩形ABCD中，AB=4,AD=2，∴AB=AD，∴∠EAD=∠EAB=45°，∴AE=AD=2,
∴ = =×（8-2）×2-×2×2=8-8
【知识点】扇形面积的计算

17．（2019重庆市B卷，17，4）
一天，小明从家出发匀速步行去学校上学，几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家.小明拿到书后以原速的5/4快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）.两人之间相距到达路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 米.

【答案】2080米
【解题过程】解：小明被爸爸追上以前的速度为x米/分钟，
爸爸的速度为y米/分钟，
由题意得：11x = 5y 解得 x=80
5×x+5y=1380 y=176
∴小明家到学校的路程为：
11×80+（23-11）××80 =880+1200 = 2080（米）
【知识点】二元一次方程组;一次函数的实际应用

18．（2019重庆市B卷，18，4）某磨具厂共有六个生产车间，第一、二、三、四车间每天生产相同数量的产品，第五、六车间每天生产的产品数量分别是第一车间每天生产的产品数量的 和 .甲、乙两组检验员进驻该厂进行产品检验.在同时开始检验产品时，每个车间原有成品一样多，检验期间各车间继续生产.甲组用了6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完；乙组先用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完后，再用了4天检验完第六车间的所有成品（所有成品指原有的和检验期间生产的成品）.如果每个检验员的检验速度一样，则甲、乙两组检验员的人数之比是
【答案】
【思路分析】 先设第一车间每天生产的产品数量为12m,用含有m的式子表达出每个生产车间每天生产的产品数量；然后利用工作效率=工作总量÷工作时间表示出甲乙两组检验组的检验速度，根据甲乙检验速度一样列出方程.
【解题过程】解：设第一车间每天生产的产品数量为12m，则第五、六车间每天生产的产品数量分别9m、32m;
设甲、乙两组检验员的人数分别为x，y人；
检查前每个车间原有成品为n.
∵甲组6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完
∴每个甲检验员的速度=
∵乙组先用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完
∴每个乙检验员的速度=
∵乙再用了4天检验完第六车间的所有成品
∴每个乙检验员的速度=
∵每个检验员的检验速度一样
∴
∴.故答案为
【知识点】工作效率=工作总量÷工作时间 列方程解决实际问题


三、解答题（本大题共7小题，每小题10分，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019重庆市B卷，19，10）计算：（1）(a+b)2+a(a-2b) ；（2）m-1+÷
【思路分析】
（1）利用完全平方和公式和单项式乘多项式运算法则将原式展开，再去括号合并得到最简结果.
（2）首先对分子分母进行因式分解，再把除法转化成乘法进行约分计算，最后通分化简得到最简结果.
【解题过程】解：（1）(a+b)2+a(a-2b)
= a2+2ab+b2+a2-2ab
=(a2+a2)+(2ab-2ab)+b2
=2a2+b2
（2） m-1+÷
=m-1+÷
=m-1+•
=m-1+
=
=
=
【知识点】整式的混合运算；分式的的混合运算及化简。

20．（2019重庆市B卷，20，10）如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D．
（1） 若∠C=42°，求∠BAD的度数；
（2） 若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．
求证：AE=FE

【思路分析】
（1）根据∠C=42°,AB=AC结合等腰三角形的性质及内角和180°可得顶角度数．
由AD⊥BC根据三线合一推出∠BAD的度数为顶角一半．
（2）根据EF∥AC可以得出内错角 ∠F=∠BAF,利用等角对等边得出结果．
（3）考虑到△ABD为直角三角形，也可以结合内角和算出∠BAD．
【解题过程】
（1）证明 ：
（方法一）：∵AB=AC ，∠C=42°，
∴∠B=∠C=42°，
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－42°－42°=96°
∵AD⊥BC
∴∠BAD=∠BAC=×96°=48°
（方法二）：∵AB=AC ∠C=42°
∴∠B=∠C=42°
∵AD⊥BC于点D
∴∠ADB=90°
∴∠BAD=180°－90°－42°=48°
（2）证明：
∵EF∥AC
∴∠CAF=∠F
∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠CAF=∠BAF
∴∠F=∠BAF
∴AE=FE
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线性质，三线合一，等边对等角，等角对等边．

21．（2019重庆市B卷，21，10）为落实视力保护工作，某校组织七年级学生开展了视力保健活动活动前随机测查了30名学生的视力，活动后再次测查这部分学生的视力.两次相关数据记录如下:
活动前被测查学生视力数据
4.0 4.1 4.1 4.2 4.2 4.3 4.3 4.4 4.4 4.4 4.5 4.5 4.6 4.6 4.6
4.7 4.7 4.7 4.7 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.9 4.9 4.9 5.0 5.0 5.1
活动后被测查学生视力数据:
4.0 4.2 4.3 4.4 4.4 4.5 4.5 4.6 4.6 4.6 4.7 4.7 4.7 4.7 4.8
4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.9 4.9 4.9 4.9 4.9 5.0 5.0 5.1 5.1

根据以上信息回答下列问题：
（1）填空:a= ，b= ，活动前被测查学生视力样本数据的中位数是 ，活动后被测查学生视力样本数据的众数是 .
（2）若视力在4.8及以上为达标，估计七年级600名学生活动后视力达标的人数有多少?
（3）分析活动前后相关数据，从一个方面评价学校开展视力保使活动的效果
【思路分析】（1）可以根据频数分布直方图和频数分布表中的数据，用总数和已知数据的差就求出a，b的值，也可以根据所给出的视力数据数出来；要求中位数，数据已经按从小到大排列了，而且是30个数据，中间两个的平均数就是中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据.
（2）要求全校七年级总数的达标人数，必须得先知道样本的达标率，用样本的达标人数÷30就=样本的达标率，然后再用600乘以达标率就可以求出来全校七年级的达标人数.
（3）可以从视力数据中位数变化情况来说明开展视力保健活动的效果，也可以从众数的变化来说明，说理有理有据即可
【解题过程】
解：（1）a=30-（3+4+7+8+3）=5，b=30-（1+2+7+12+4）=4.活动后出现次数最多的数为4.8，所以其众数为4.8
故答案为：5，4，4.8 .
（2）活动后样本中视力达标的人数有16人，所以.
故答案为：
（3）活动前中位数为4.65，活动后中位数为4.8，说明学生在做完视力保健活动后整体视力情况变好.
【知识点】条形统计图，统计表，频数，样本与整体，中位数，众数


22．（2019重庆市B卷，22，10）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、 奇数、合数、质数等. 现在我们来研究一种特殊的自然数——“纯数”.
定义：对于自然数，在通过列竖式进行的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数为“纯数”.
例如：是“纯数”，因为在列竖式计算时各位都不产生进位现象；
不是“纯数”，因为在列竖式计算时个位产生了进位.
⑴ 请直接写出1949到2019之间的“纯数”；
⑵ 求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由。
【思路分析】解决此题首先要准确理解新的定义，然后根据新定义中“不产生进位”合理分析出各个数位上的值，列举即可．此题主要考察新定义的理解与分析，新定义中的“不产生进位”是分析的关键，即和不能大于10，在列举时要注意“不重不漏”．
【解题过程】解：（1）1949到2019之间的“纯数”为2000、2001、2002、2010、2011、2012 .
（2） 由题意：不大于100的“纯数”包含：一位数、两位数和三位数100
若n为一位数，则有n+（n+1）+（n+2）＜10，解得：n＜3，所以：小于10的“纯数数”有0、1、2，共3个．
两位数须满足：十位数可以是1、2、3，个位数可以是0、1、2，列举共有9个分别是10、11、12、20、21、22、30、31、32；三位数为100，共1个所以：不大于100的“纯数”共有13个
【知识点】规律型：数字的变化类．不等式、分类讨论.
23．（2019重庆市B卷，23，10）函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索画函数的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如下图所示；经历同样的过程画函数和的图象如右图所示.
(1)观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解析式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化.写出点A，B的坐标和函数的对称轴；
(2)探索思考：平移函数的图象可以得到函数和的图象，分别写出平移的方向和距离；
(3)拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数的图象.若点(，)和(，)在该函数图象上，且＞＞3，比较、的大小.

【思路分析】（1）A点的坐标是=0时函数的值，代入即可求出；B点的坐标是=0时函数的值，代入即可求得；观察函数的图象即可得到对称轴；
（2）根据函数顶点坐标O（0，0）和函数的顶点坐标A（0，2）即可得出平移的方向和距离；根据函数顶点坐标O（0，0）和函数的顶点坐标B（-2，0）即可得出平移的方向和距离；
（3）根据函数图象的性质可推断出,的大小关系. 也可用特值法求解：∵＞＞3，∴可以取4，可以取5，分别代入函数中，得=-1，=-3，∴＞.
【解题过程】解：（1）当=0，，∴A的坐标分别为（-2，0）；
当=0时，，∴=-2，∴ B的坐标分别为（-2，0），观察图象，其对称轴为；
∴A，B的坐标分别为（0，2）、（-2，0）；函数的对称轴为；
（2）是由向上平移2个单位长度得到的，是由向左平移2个单位长度得到的.
（3）∵是由向右平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得到的，
∴其顶点坐标为（3，1），对称轴为，在对称轴的右侧，函数图象呈下降趋势，
∴随的增大而减小，∵>＞>3,＞3，∴＞.
【知识点】新函数的应用；函数的性质；函数图象的画法；

24．（2019重庆市B卷，24，10）某菜市场有2.5平方米和4平方米两种摊位，2.5平方米的摊位数是4平方米摊位数的2倍.管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费.该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额繳管理费.
(1〕菜市场毎月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4平方米的摊位?
(2)为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一:“使用环保袋送礼物”，2.5平方米和4平方米两种摊位的商户分别有40％和20％参加了此项活动.为提高大家使用环保袋的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二:“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一，经调查与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6月份参加活动二的2.5平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加2a％，每个位的管理费将会减少；6月份参加活动二的4平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加6a％，每个推位的管理费将会减少，这样，参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少，求a的值.
【思路分析】（1）利用题目中所给出来的已知条件，先设4平方米的摊位有x个，则用含x的代数式来表达出2.5平方米的摊位个数，然后利用2.5平方米的摊位个数×每个摊位的管理费+4平方米的摊位个数×每个摊位的管理费=可收取的总共的管理费这个等量关系，就可以列出方程进行求解。
（2）根据题目中的已知条件，就可以计算出来5月份参加活动两种摊位个数，然后再根据已知条件中6月份的摊位个数的增加百分比和管理费用减少的百分比，就可以列出6月份两种摊位的总管理费，而这个管理费还可以用第二种表示方法，就是按原方式共缴纳的管理费×减少后的百分比，就可以找到等量关系，列出方程，进而求得a的值.
【解题过程】
解：（1）设该菜市场共有x个4平方米的摊位,则有2x个2.5平方米的摊位.
根据题意的：
20（4x+2x·2.5）=4500
解得：x=25.
答：设该菜市场共有25个4平方米的摊位
（2）设4平方米的数量为y，则2.5平方米的数量为2y，由题意可得:
（2y×40%）（1+2a%）（2.5×20）（1-a%）+（y×20%）（1+6a%）（4×20）（1-a%）=[（2y×40%）（1+2a%）（2.5×20）+（y×20%）（1+6a%）（4×20）]（1-a%）
解得：:a1=50. a2=0（舍去）.
答：a的值为50.
【知识点】一元一次方程、一元二次方程的应用



25．（2019重庆市B卷，25，10）在□ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E.
（1）如图1，若∠D=30°，AB=，求△ABE的面积；
（2）如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB=AF，
求证：ED－AG=FC.

【思路分析】（1）过点E作EN⊥AB，交BA延长线于点N，先利用平行四边形及角平分线相关性质，求得特殊角及AE的值，再在Rt△ANE中，利用特殊角三角函数值，求出NE的长，最后根据三角形的面积公式，得到△ABE的面积；
（2）延长BE交CD延长线于点M，设，，，，根据AB∥CD，推得；再在Rt△ADF中，利用勾股定理推得，计算并进行相关字母的代换运算即可得出所求证的结论．
【解题过程】解：（1）过点E作EN⊥AB，交BA延长线于点N，垂足为N，
在□ABCD中，AD∥BC，AD∥CB，∠D=∠ABC=30°，∴∠ABC=∠EAN=30°；
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE=；
在Rt△AEN中，，，∴．
（2）延长BE交CD延长线于点M，设，，，，
∴在□ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且CD=，
∵AB=AF，∴AF=，∴GF=，
∵AB∥CD，∴∠ABM=∠M，∠CBE=∠AEB，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBE，∴∠ABM=∠AEB，∴AE=；
∵∠AEB=∠DEM，∴∠DEM=∠M，∴DM=，∴FM=，
∵AB∥CD，∴，∴，解得：；
∵AF⊥DC，∴∠F=90°，∵，，，，
∴，
∴，
∴，
∴AG+CF=
，∴DE-AG=CF.
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质；平行四边形；相似三角形；角平分线性质

四、解答题（本大题共1小题，满分8分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
26．（2019重庆市B卷，26，8）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q.
（1）如图1，连接AC，BC．若点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴交BC于点E，作PF⊥BC于点F，过点B作BG∥AC交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接PH，HK．当△PEF的周长最大时，求PH+HK+KG的最小值及点H的坐标．
（2）如图2，将抛物线沿射线AC方向平移，当抛物线经过原点O时停止平移，此时抛物线顶点记作D’，N为直线DQ上一点，连接点D’，C，N，△D’CN能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．

【思路分析】本题是二次函数与几何图形相综合的压轴题目。考查了最值问题以及等腰三角形存在性问题。在中考中考查最值问题往往是以阿氏圆，（加权）费马点，胡不归等形式来出现的，当线段的系数为1的最值问题，可以通过平移、旋转、轴对称的手段进行转化。当线段的系数不为1时，可以通过相似或者锐角三角函数来进行转化为系数为1的情况处理.本题第一问就是典型的胡不归问题。是一个特殊的数据，那就特殊处理这个数.因为60度的正弦值就是，所以可以构造含有60度的直角三角形来转化，再利用垂线段最短就可以解决问题，至于△PEF的周长最值既可以用点P的坐标结合锐角三角函数表示三边长,也可以用相似三角形之间的周长进行转化，用后一种方法较简单一些。
第二问关键是平移后的顶点的坐标如何求解.由A点和C点的坐标得出平移规律：向右平移个单位的再向上平移个单位。由此平移规律可得出的坐标，△等腰三角形存在性问题是两定一动的常规问题.我们可以先用两圆一线的方法找到点N的位置，然后用两点间的距离公式建立关于N点坐标的方程，进而可求出N点坐标.

【解题过程】解：（1）∵与x轴交于A，B两点，
∴当y=0时，即，∴，即A（－2，0），B（4，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，∵C（0，），B（4，0），
∴，∴，∴直线BC的解析式为.
设点
∵PE∥y轴且点E在直线BC上，∴∠PEF=∠OCE，
∴
∵PF⊥BC，∴∠PFE=∠COB=90°，∴△PEF∽△BCO，
设△PEF的周长为，△BCO的周长为，
则，∵B（4，0），C（0，），∴BC=，∴，
∴
∴当m=2时，取最大值此时点P的坐标为（2，），
∵A（－2，0），C（0，），∴∠ACO=30°，∠CAO=60°，
∵BG∥AC，∴. ∠BGD=30°，∠OBG=60°，∴G（0，），
直线BG解析式为，直线PM解析式为，
过点G作GN⊥BG，过点P作PM⊥GN于点M，
如图1，此时，点H为PM与对称轴的交点，K为PM与y轴的交点，点K与点O重合，
则KM=OM=KG，PH+HK+KG的最小值为线段PM的长.（此问题是胡不归问题）.

解法一：（作一线三直角利用相似求解）如图2，过点P作PQ∥x轴交对称轴于点T，
过点M作MQ⊥y轴交PT于点Q，过点G作GJ⊥MQ交MQ于点J.
设点Q（n，），∴J（n，），∴PQ=2－n，MQ=PQ=（2－n），
∵GJ=－n，∴MJ=，∴MQ+MJ=CG=，
∴（2－n）+=，∴n=-3，∴Q（－3，），∴PQ=5，
∴PM=2PQ=10，∴PH+HK+KG的最小值为10，
∵∠OGM=60°，∠PHT=30°，∠HPT=60°，∴PT=1，∴HT=，∴H（1，）.

解法二：由上面的解法可知MG⊥BG，直线MG的解析式为：，
如图3，过点P作PR⊥x轴交MG于点R，∴R（2，），
由第一种解法可知∠PRG=60°，∴PM=PR=（+）=10，
∴PH+HK+KG的最小值为10，同理可求H（1，）.

（2） 这样的N点存在.当△为等腰三角形时，这样的N 有：,，,,.
【提示】由（1）可知∠ACO=30°，∠OAC=60°,
又∵，即顶点D（1，），
∵抛物线按射线AC的方向平移，设平移后顶点，
平移后的抛物线解析式为
该抛物线经过原点，则
∴，∴a=4或a=－2（舍去），
即.
设点N（1，b）



如图4，当△为等腰三角形时，分三种情况：
①当时，，可得,；
②当时，，可得,,
③当时，,可得,
∴当△为等腰三角形时，这样的N 有：,，,,.

【知识点】二次函数；一次函数；相似三角形；一元二次方程的解法；勾股定理；平移；最值问题；等腰三角形；分类思想；数形结合思想；探究性问题；压轴题；