2022年中考数学二轮专题复习《圆》解答题练习(2份教师版+学生版)

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如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于点D，点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.
(1)判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)过点F作FH⊥BC，垂足为点H.若等边△ABC的边长为4，求FH的长.(结果保留根号)
【答案解析】解：(1)DF与⊙O相切.
证明：连接OD，
∵△ABC是等边三角形，DF⊥AC，
∴∠ADF=30°.
∵OB=OD，∠DBO=60°，
∴∠BDO=60°.
∴∠ODF=180°﹣∠BDO﹣∠ADF=90°.
∴DF是⊙O的切线.
(2)∵△BOD、△ABC是等边三角形，
∴∠BDO=∠A=60°，
∴OD∥AC，
∵O是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴AD=BD=2，
又∵∠ADF=90°﹣60°=30°，
∴AF=1.
∴FC=AC﹣AF=3.
∵FH⊥BC，
∴∠FHC=90°.
在Rt△FHC中，sin∠FCH=，∴FH=FC•sin60°=.
即FH的长为.
如图,Rt△ABC中,∠ABC＝90°,以AB为直径⊙O交AC于点D,E是BC中点,连接DE、OE．
(1)判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
(2)若tanC=,DE=2,求AD的长．
【答案解析】解：
如图，已知在△ABC中，⊙O在AB上，AC为⊙O的弦，延长BC至D，使AD为⊙O切线，且DA=DC.
（1）求证：BD为⊙O切线；
（2）若AB=9，AD=12，求BD的长及⊙O的半径；
（3）若⊙O的半径为6，tan∠BAC=，求CD的长.

【答案解析】解：（1）连接OC，证明略；（2）BD=3，半径为4；（3）连OD，利用相似，AD=CD=18.
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于D点，交AC于F，过D作DE⊥AC.
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）求证：DC=DF；
（3）若CE=1，DE=2，求AE的长.

【答案解析】解：（1）连OD，证明略；（2）证明略；（3）AE=4.
如图，已知Rt△ABC中，C=90°，O在AC上，以OC为半径作⊙O，切AB于D点，且BC=BD.
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若BC=6，sinA=，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，将O沿CD方向向右平移m个单位，使圆心O落在AB上，求m的值.
【答案解析】解：（1）连OD，证明略；（2）半径为3；（3）m=.
如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连结AC，将△ACE沿AC翻转得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若B为OG的中点，CE=，求⊙O的半径长；
（3）①求证：∠CAG=∠BCG；
②若⊙O的面积为4π，GC=2，求GB的长．
【答案解析】（1）证明：连接OC，如图，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵△ACE沿AC翻折得到△ACF，
∴∠OAC=∠FAC，∠F=∠AEC=90°，
∴∠OCA=∠FAC，∴OC∥AF，
∴∠OCG=∠F=90°，∴OC⊥FG，
∴直线FC与⊙O相切；
（2）解：连接BC．
∵点B是Rt△OCG斜边的中点，
∴CB=OG=OB=OC，∴△OCB是等边三角形，且EC是OB上的高，
在Rt△OCE中，∵OC2=OE2+CE2，即OC2=OC2+（）2，
∴OC=2，即⊙O的半径为2．
（3）①∵OC=OB，∴∠CBA=∠OCB，
∵∠CAG+∠CBA=90°，∠BCG+∠BCO=90°，
∴∠CAG=∠BCG．
②∵4π=π•OB2，∴OB=2，
由①可知：△GCB∽△GAC，
∴=，即=，∴=，解得GB=2．
如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：AB•CP=BD•CD；
（3）当AB=5cm，AC=12cm时，求线段PC的长．
【答案解析】（1）证明：连接OD．
∵∠BAD=∠CAD，
∴=，
∴∠BOD=∠COD=90°，
∵BC∥PA，
∴∠ODP=∠BOD=90°，
∴OD⊥PA，
∴PD是⊙O的切线．
（2）证明：∵BC∥PD，
∴∠PDC=∠BCD．
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠BAD=∠PDC，
∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠PCD=180°，
∴∠ABD=∠PCD，
∴△BAD∽△CDP，∴=，∴AB•CP=BD•CD．
（3）解：∵BC是直径，∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵AB=5，AC=12，
∴BC==13，
∴BD=CD=，
∵AB•CP=BD•CD．
∴PC==．
如图，已知等边△ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求FG的长；
（3）求tan∠FGD的值．
【答案解析】（1）证明：连结OD，如图，
∵△ABC为等边三角形，∴∠C=∠A=∠B=60°，
而OD=OB，∴△ODB是等边三角形，∠ODB=60°，
∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥AC，点O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，∴BD=CD=6．
在Rt△CDF中，∠C=60°，∴∠CDF=30°，
∴CF=CD=3，∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，
在Rt△AFG中，∵∠A=60°，∴FG=AF×sinA=9×=；
（3）解：过D作DH⊥AB于H．
∵FG⊥AB，DH⊥AB，∴FG∥DH，∴∠FGD=∠GDH．
在Rt△BDH中，∠B=60°，∴∠BDH=30°，∴BH=BD=3，DH=BH=3．
在Rt△AFG中，∵∠AFG=30°，∴AG=AF=，
∵GH=AB﹣AG﹣BH=12﹣﹣3=，∴tan∠GDH===，
∴tan∠FGD=tan∠GDH=．
如图，已知Rt△ACE中，∠AEC=90°，CB平分∠ACE交AE于点B，AC边上一点O，⊙O经过点B、C，与AC交于点D，与CE交于点F，连结BF．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若cs∠CBF=，AE=8，求⊙O的半径；
（3）在（2）条件下，求BF的长．
【答案解析】（1）证明：连接OB，
∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC，
∵CB平分∠ACE，∴∠OCB=∠BCF，∴∠OBC=∠BCF，
∴∠ABO=∠AEC=90°，∴OB⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：连接DF交OB于G，
∵CD是⊙O的直径，∴∠CFD=90°，∴∠CFD=∠CEA，
∴DF∥AE，∴∠CDF=∠CAB，
∵∠CDF=∠CBF，∴∠A=∠CBF，∴cs∠CBF=cs∠CEF=，
∵AE=8，∴AC=10，∴CE=6，
∵DF∥AE，∴DF⊥OB，∴DG=GF=BE，
设BE=2x，则DF=4x，CD=5x，
∴OC=OB=2.5x，∴AO=10﹣2.5x，AB=8﹣2x，
∵AO2=AB2+OB2，
∴（10﹣2.5x）2=（8﹣2x）2+（2.5x）2，解得：x=（负值舍去），
∴⊙O的半径=；
（3）解：由（2）知BE=2x=3，
∵AE是⊙O的切线；∴∠BCE=∠EBF，
∵∠E=∠E，∴△BEF∽△CEB，
∴，∴=，∴EF=，∴BF==．
如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE、OD，
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）连接OC交DE于F，若OF=FC，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若，求⊙O的半径．
【答案解析】解：如图所示，连接BD，
（1）∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
∵O是AB的中点，∴OA=OB=OD，
∴∠OAD=∠ODA，∠ODB=∠OBD，
同理在Rt△BDC中，E是BC的中点，∴∠EDB=∠EBD，
∵∠OAD+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠OAD=∠CBD，∴∠ODA=∠EBD，
又∵∠ODA+∠ODB=90°，∴∠EBD+∠ODB=90°，即∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切线．
（2）答：△ABC的形状是等腰直角三角形．
理由是：∵E、F分别是BC、OC的中点，
∴EF是三角形OBC的中位线，∴EF∥AB，DE⊥BC，
OB=OD，四边形OBED是正方形，连接OE，
OE是△ABC的中位线，OE∥AC，∠A=∠EOB=45度，
∴∠A=∠ACB=45°，∵∠ABC=90°，∴△ACB是等腰直角三角形．
（3）设AD=x，CD=2x，
∵∠CDB=∠CBA=90°，∠C=∠C，∴△CDB∽△CBA，
∴=，∴=，x=2，AC=6，
由勾股定理得：AB==6，∴圆的半径是3．答：⊙O的半径是3．