课时训练19　等腰三角形

课时训练(十九)　等腰三角形

(限时:30分钟)

|夯实基础|

1.若等腰三角形的顶角为50°,则它的底角度数为 (　　)

A.40°                  B.50°                  C.60°                  D.65°

2.等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm,则它的周长为 (　　)

A.16 cm                               B.17 cm

C.20 cm                               D.16 cm或20 cm

3.[2018·福建A卷] 如图K19-1,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于 (　　)

图K19-1

A.15°                  B.30°                  C.45°                      D.60°

4.[2018·雅安] 已知:如图K19-2,在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,BC=,以点B为圆心,BC为半径画弧,交AC于点D,则线段AD的长为              (　　)

图K19-2

A.2                  B.2                    C.                       D.

5.[2018·凉山州] 如图K19-3,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以A,B为圆心,大于AB长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;②作直线MN交BC于D,连接AD.若AD=AC,∠B=25°,则∠C=              (　　)

图K19-3

A.70°                    B.60°                     C.50°                    D.40°

　6.如图K19-4,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线段MN的长为(　　)

图K19-4

A.6                        B.7                      C.8                       D.9

7.[2018·绥化] 已知等腰三角形的一个外角为130°,则它的顶角的度数为　　　　. 

8.[2018·张家界] 如图K19-5,将△ABC绕点A逆时针旋转150°,得到△ADE,这时点B,C,D恰好在同一直线上,则∠B的度数为　　　　. 

图K19-5

9.[2018·宁波] 如图K19-6,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A,B不重合),连接CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连接DE交BC于点F,连接BE.

(1)求证:△ACD≌△BCE;

(2)当AD=BF时,求∠BEF的度数.

图K19-6

|拓展提升|

10.[2017·淄博] 在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF=　　　　. 

参考答案

1.D　2.C

3.A　[解析] ∵△ABC是等边三角形,

∴∠ABC=∠ACB=60°,

∵AD⊥BC,∴BD=CD,AD是BC的垂直平分线,

∴BE=CE,

∴∠EBC=∠ECB=45°,

∴∠ECA=60°-45°=15°.

4.C　[解析] 在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,所以∠ABC=72°,∠A=36°,因为BC=BD,所以∠BDC=72°,所以∠ABD=36°,所以AD=BD=BC=,故选C.

5.C　[解析] 由作图可知MN为线段AB的垂直平分线,∴AD=BD,∠DAB=∠B=25°,∵∠CDA为△ABD的一个外角,∴∠CDA=∠DAB+∠B=50°.

∵AD=AC,∴∠C=∠CDA=50°.故选择C.

6.D　[解析] ∵∠ABC,∠ACB的平分线相交于点E,∴∠MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB.

∵MN∥BC,

∴∠EBC=∠MEB,∠NEC=∠ECB,

∴∠MBE=∠MEB,∠NEC=∠ECN,

∴BM=ME,EN=CN.

∵MN=ME+EN,∴MN=BM+CN.

∵BM+CN=9,

∴MN=9,故选D.

7.50°或80°　[解析] 当等腰三角形顶角的邻补角为130°时,顶角为180°-130°=50°;

当等腰三角形底角的邻补角为130°时,顶角为180°-2×(180°-130°)=80°.

故答案为50°或80°.

8.15°　[解析] ∵△ABC绕点A逆时针旋转150°得到△ADE,

∴∠BAD=150°,△ABC≌△ADE,AB=AD,

∴△BAD是等腰三角形,

∴∠B=∠ADB=(180°-∠BAD)=15°.

9.解:(1)证明:∵线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,

∴∠DCE=90°,CD=CE.

又∵∠ACB=90°,

∴∠ACB=∠DCE,

∴∠ACD=∠BCE.

在△ACD和△BCE中,∵

∴△ACD≌△BCE.

(2)∵∠ACB=90°,AC=BC,

∴∠A=45°,

∵△ACD≌△BCE,

∴AD=BE,∠CBE=∠A=45°.

又AD=BF,∴BE=BF,

∴∠BEF=∠BFE==67.5°.

10.2　[解析] 如图,作AG⊥BC于G,

∵△ABC是等边三角形,

∴∠B=60°,

∴AG=AB=2,

连接AD,则S△ABD+S△ACD=S△ABC,

∴AB·DE+AC·DF=BC·AG,

∵AB=AC=BC=4,

∴DE+DF=AG=2.