2018中考数学试题分类汇编考点26正方形含解析_461

2018中考数学试题分类汇编：考点26 正方形

一．选择题（共4小题）

1．（2018•无锡）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（　　）

A．等于 B．等于

C．等于 D．随点E位置的变化而变化

【分析】根据题意推知EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答．

【解答】解：∵EF∥AD，

∴∠AFE=∠FAG，

∴△AEH∽△ACD，

∴==．

设EH=3x，AH=4x，

∴HG=GF=3x，

∴tan∠AFE=tan∠FAG===．

故选：A．

2．（2018•宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 （　　）

A．1 B． C． D．

【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可；

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，

∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．

∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，

∴S阴=S正方形ABCD=，

故选：B．

3．（2018•湘西州）下列说法中，正确个数有（　　）

①对顶角相等；

②两直线平行，同旁内角相等；

③对角线互相垂直的四边形为菱形；

④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质，可得答案．

【解答】解：①对顶角相等，故①正确；

②两直线平行，同旁内角互补，故②错误；

③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故③错误；

④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故④正确，

故选：B．

4．（2018•张家界）下列说法中，正确的是（　　）

A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等

B．对角线相等的平行四边形是正方形

C．相等的角是对顶角

D．角平分线上的点到角两边的距离相等

【分析】根据平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质逐个判断即可．

【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，错误，故本选项不符合题意；

B、对角线相等的四边形是矩形，不一定是正方形，错误，故本选项不符合题意；

C、相等的角不一定是对顶角，错误，故本选项不符合题意；

D、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，故本选项符合题意；

故选：D．

二．填空题（共7小题）

5．（2018•武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是　30°或150°　．

【分析】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得．

【解答】解：如图1，

∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，

∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，

∴∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE，

∴∠AEB=∠CED=15°，

则∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°．

如图2，

∵△ADE是等边三角形，

∴AD=DE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC，

∴DE=DC，

∴∠CED=∠ECD，

∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，

∴∠CED=∠ECD=（180°﹣30°）=75°，

∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°．

故答案为：30°或150°．

6．（2018•呼和浩特）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有DM=HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为　①②③　．

【分析】先判定△MEH≌△DAH（SAS），即可得到△DHM是等腰直角三角形，进而得出DM=HM；依据当∠DHC=60°时，∠ADH=60°﹣45°=15°，即可得到Rt△ADM中，DM=2AM，即可得到DM=2BE；依据点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，可得∠AHM＜∠BAC=45°，即可得出∠CHM＞135°．

【解答】解：由题可得，AM=BE，

∴AB=EM=AD，

∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，

∴EM=AH，∠AHE=90°，∠MEH=∠DAH=45°=∠EAH，

∴EH=AH，

∴△MEH≌△DAH（SAS），

∴∠MHE=∠DHA，MH=DH，

∴∠MHD=∠AHE=90°，△DHM是等腰直角三角形，

∴DM=HM，故②正确；

当∠DHC=60°时，∠ADH=60°﹣45°=15°，

∴∠ADM=45°﹣15°=30°，

∴Rt△ADM中，DM=2AM，

即DM=2BE，故①正确；

∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，

∴∠AHM＜∠BAC=45°，

∴∠CHM＞135°，故③正确；

故答案为：①②③．

7．（2018•青岛）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为　　．

【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF，进一步得∠AGE=∠BGF=90°，从而知GH=BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．

【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD，

在△ABE和△DAF中，

∵，

∴△ABE≌△DAF（SAS），

∴∠ABE=∠DAF，

∵∠ABE+∠BEA=90°，

∴∠DAF+∠BEA=90°，

∴∠AGE=∠BGF=90°，

∵点H为BF的中点，

∴GH=BF，

∵BC=5、CF=CD﹣DF=5﹣2=3，

∴BF==，

∴GH=BF=，

故答案为：．

8．（2018•咸宁）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为　（﹣1，5）　．

【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标．

【解答】解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线EG，垂足为G，连接GE、FO交于点O′．

∵四边形OEFG是正方形，

∴OG=EO，∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH，

在△OGM与△EOH中，

∴△OGM≌△EOH（ASA）

∴GM=OH=2，OM=EH=3，

∴G（﹣3，2）．

∴O′（﹣，）．

∵点F与点O关于点O′对称，

∴点F的坐标为 （﹣1，5）．

故答案是：（﹣1，5）．

9．（2018•江西）在正方形ABCD中，AB=6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD=2AP，则AP的长为　2或2或﹣　．

【分析】根据正方形的性质得出AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=90°，根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD，画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=6，

∴AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=∠DAB=90°，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC===6，

∴OA=OB=OC=OD=3，

有三种情况：①点P在AD上时，

∵AD=6，PD=2AP，

∴AP=2；

②点P在AC上时，

设AP=x，则DP=2x，

在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2=DO2+OP2，

（2x）2=（3）2+（3﹣x）2，

解得：x=﹣（负数舍去），

即AP=﹣；

③点P在AB上时，

设AP=y，则DP=2y，

在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2=DP2，

y2+62=（2y）2，

解得：y=2（负数舍去），

即AP=2；

故答案为：2或2或﹣．

10．（2018•潍坊）如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为　（﹣1，）　．

【分析】连接AM，由旋转性质知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°，证Rt△ADM≌Rt△AB′M得∠DAM=∠B′AD=30°，由DM=ADtan∠DAM可得答案．

【解答】解：如图，连接AM，

∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′，

∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°，

∴∠B′AD=60°，

在Rt△ADM和Rt△AB′M中，

∵，

∴Rt△ADM≌Rt△AB′M（HL），

∴∠DAM=∠B′AM=∠B′AD=30°，

∴DM=ADtan∠DAM=1×=，

∴点M的坐标为（﹣1，），

故答案为：（﹣1，）．

11．（2018•台州）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　+3　．

【分析】根据面积之比得出△BGC的面积等于正方形面积的，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长．

【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，

∴阴影部分的面积为×9=6，

∴空白部分的面积为9﹣6=3，

由CE=DF，BC=CD，∠BCE=∠CDF=90°，可得△BCE≌△CDF，

∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3=，

设BG=a，CG=b，则ab=，

又∵a2+b2=32，

∴a2+2ab+b2=9+6=15，

即（a+b）2=15，

∴a+b=，即BG+CG=，

∴△BCG的周长=+3，

故答案为： +3．

三．解答题（共6小题）

12．（2018•盐城）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．

（1）求证：△ABE≌△ADF；

（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．

【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；

（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；

【解答】证明：（1）∵正方形ABCD，

∴AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∴∠ABE=∠ADF，

在△ABE与△ADF中

，

∴△ABE≌△ADF（SAS）；

（2）连接AC，

四边形AECF是菱形．

理由：∵正方形ABCD，

∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，

∴OB+BE=OD+DF，

即OE=OF，

∵OA=OC，OE=OF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AC⊥EF，

∴四边形AECF是菱形．

13．（2018•吉林）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．

【分析】根据正方形的性质，利用SAS即可证明；

【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF．

14．（2018•白银）已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．

（1）求证：△BGF≌△FHC；

（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．

【分析】（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可；

（2）利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可．

【解答】解：（1）∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，

∴FH∥BE，FH=BE，FH=BG，

∴∠CFH=∠CBG，

∵BF=CF，

∴△BGF≌△FHC，

（2）当四边形EGFH是正方形时，可得：EF⊥GH且EF=GH，

∵在△BEC中，点，H分别是BE，CE的中点，

∴GH=，且GH∥BC，

∴EF⊥BC，

∵AD∥BC，AB⊥BC，

∴AB=EF=GH=a，

∴矩形ABCD的面积=．

15．（2018•潍坊）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE．

（1）求证：AE=BF；

（2）已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．

【分析】（1）通过证明△ABF≌△DEA得到BF=AE；

（2）设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到•x•x+•x•2=24，解方程求出x得到AE=BF=6，则EF=x﹣2=4，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用正弦的定义求解．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴BA=AD，∠BAD=90°，

∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，

∴∠AFB=90°，∠DEA=90°，

∵∠ABF+∠BAF=90°，∠EAD+∠BAF=90°，

∴∠ABF=∠EAD，

在△ABF和△DEA中

，

∴△ABF≌△DEA（AAS），

∴BF=AE；

（2）解：设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，

∵四边形ABED的面积为24，

∴•x•x+•x•2=24，解得x1=6，x2=﹣8（舍去），

∴EF=x﹣2=4，

在Rt△BEF中，BE==2，

∴sin∠EBF===．

16．（2018•湘潭）如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O．

（1）求证：△DAF≌△ABE；

（2）求∠AOD的度数．

【分析】（1）利用正方形的性质得出AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，即可得出结论；

（2）利用（1）的结论得出∠ADF=∠BAE，进而求出∠ADF+∠DAO=90°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB，

在△DAF和△ABE中，，

∴△DAF≌△ABE（SAS），

（2）由（1）知，△DAF≌△ABE，

∴∠ADF=∠BAE，

∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°，

∴∠AOD=180°﹣（∠ADF+DAO）=90°．

17．（2018•遵义）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．

（1）求证：OM=ON．

（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．

【分析】（1）证△OAM≌△OBN即可得；

（2）作OH⊥AD，由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH=HA=2、HM=4，再根据勾股定理得OM=2，由直角三角形性质知MN=OM．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°，

∴∠OAM=∠OBN=135°，

∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，

∴∠AOM=∠BON，

∴△OAM≌△OBN（ASA），

∴OM=ON；

（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，

∵正方形的边长为4，

∴OH=HA=2，

∵E为OM的中点，

∴HM=4，

则OM==2，

∴MN=OM=2．