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    2022年高考三轮复习之回归基础练第23练 排列与组合、二项式定理
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    2022年高考三轮复习之回归基础练第23练 排列与组合、二项式定理

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    这是一份2022年高考三轮复习之回归基础练第23练 排列与组合、二项式定理,共7页。

    23练 排列与组合、二项式定理

    [考情分析] 1.高考中主要考查两个计数原理排列与组合的应用难度中等偏下.2.二项式定理以求二项展开式的特定项特定项的系数及二项式系数为主难度中等

    考点一 两个计数原理

    要点重组 

    1在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时一般先分类再分步每一步当中又可能用到分类加法计数原理

    2对于复杂的两个计数原理综合应用的问题可恰当列出示意图或表格使问题形象化直观化

    1如果一个三位正整数a1a2a3满足a1<a2a3<a2则称这样的三位数为凸数(120,343,275)那么所有凸数的个数为(  )

    A240  B204  C729  D920

    答案 A

    解析 8类,

    当中间数为2时,有1×22()

    当中间数为3时,有2×36()

    当中间数为4时,有3×412()

    当中间数为5时,有4×520()

    当中间数为6时,有5×630()

    当中间数为7时,有6×742()

    当中间数为8时,有7×856()

    当中间数为9时,有8×972()

    故共有26122030425672240()

    2.1,2,39这九个数字填在如图所示的9个空格中要求每一行从左到右每一列从上到下增大3,4固定在图中的位置时填写空格的方法有(  )

    A6  B12  C18  D24

    答案 A

    解析 分为三个步骤:

    第一步,数字1,2,9必须放在如图的位置,只有1种方法

    第二步,数字5可以放在左下角或右上角两个位置,故数字52种方法

    第三步,数字6如果和数字5相邻,则7,8只有1种方法;数字6如果不和数字5相邻,则7,82种方法,故数字6,7,8共有3种方法

    根据分步乘法计数原理,有1×2×36()填写空格的方法

    3(2020·河北六校联考)甲与其四位同事各有一辆私家车车牌尾数分别是9,0,2,1,5为遵守当地某月5日至95天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行偶数日车牌尾数为偶数的车通行)五人商议拼车出行每天任选一辆符合规定的车但甲的车最多只能用一天则不同的用车方案种数为(  )

    A64  B80  C96  D120

    答案 B

    解析 5日至9日,分别为5,6,7,8,9,有3天奇数日,2天偶数日,第一步,安排偶数日出行,每天都有2种选择,共有224();第二步,安排奇数日出行,分两类,第一类,选1天安排甲的车,另外2天安排其他车,有3×2×212(),第二类,不安排甲的车,每天都有2种选择,共有238(),共计12820(),根据分步乘法计数原理,不同的用车方案种数为4×2080,故选B.

    4如果一条直线与一个平面平行那么称此直线与平面构成一个平行线面组在一个长方体中由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的平行线面组的个数是(  )

    A60  B48  C36  D24

    答案 B

    解析 长方体的6个表面构成的平行线面组的个数为6×636,另含4个顶点的6个面(非表面)构成的平行线面组的个数为6×212,故符合条件的平行线面组的个数是361248.

    考点二 排列、组合

    要点重组 

    1求解排列组合问题的关注点

    排组分清加乘明确有序排列无序组合分类相加分步相乘

    2无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则一是按元素的性质分类二是按时间发生的过程进行分步

    对于有限制条件的排列组合问题通常从以下三个途径考虑

    (1)以元素为主考虑即先满足特殊元素的要求再考虑其他元素

    (2)以位置为主考虑即先满足特殊位置的要求再考虑其他位置

    (3)先不考虑限制条件计算出排列数或组合数再减去不符合要求的排列数或组合数

    5(2020·遂宁模拟)2019年庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式彰显了中华民族从站起来富起来迈向强起来的雄心壮志阅兵式规模之大类型之全均创历史之最编组之新要素之全彰显强军成就装备方阵堪称强军利刃”“强国之盾见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐其中空中梯队编有12个梯队在领队机梯队预警指挥机梯队轰炸机梯队舰载机梯队歼击机梯队陆航突击梯队这6个梯队中某学校为宣传的需要要求甲同学需从中选3个梯队了解其组成情况其中舰载机梯队歼击机梯队两个梯队中至少选择一个则不同的选法种数为(  )

    A12  B16  C18  D20

    答案 B

    解析 6个梯队中任选3个的选法有C20(),若没有舰载机梯队、歼击机梯队的选法有C4(),则舰载机梯队、歼击机梯队两个梯队中至少选择一个的选法有20416()

    6(2020·长沙模拟)学习强国学习平台是由中宣部主管以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容立足全体党员面向全社会的优质平台现已日益成为老百姓了解国家动态紧跟时代脉搏的热门APP.该款软件主要设有阅读文章视听学习两个学习板块和每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题四个答题板块某人在学习过程中将六大板块依次各完成一次阅读文章视听学习两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有________

    答案 432

    解析 阅读文章视听学习两大学习板块相邻,则学习方法有2A240()

    阅读文章视听学习两大学习板块之间间隔一个答题板块的学习方法有2CA192()

    因此共有240192432()

    7(2020·全国)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动每名同学只去1个小区每个小区至少安排1名同学则不同的安排方法共有________

    答案 36

    解析 4名同学分成人数为2,1,13组,有C6()分法,再将3组同学分到3个小区,共有A6()分法,由分步乘法计数原理可得不同的安排方法共有6×636()

    8某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等则该停车点的车位数为______

    答案 10

    解析 设停车位有n个,这3辆共享汽车都不相邻相当于先将(n3)个停车位排好,再将这3辆汽车插入到所成的(n2)个间隔中,故有A种,恰有2辆共享汽车相邻,可先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素,再和另一辆插入到将(n3)个停车位排好所成的(n2)个间隔中,故有AA种,因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等,所以AAA,解得n10.

    考点三 二项式定理

    要点重组 

    1二项式定理的常用结论

    (1)(ab)nCanCan1b(1)kCankbk(1)nCbn.

    (2)(1x)nCCxCxkCxn.

    2求解二项式有关问题时一定要注意二项式系数项的系数之间的区别与联系

    3求二项展开式系数最大的项一般采用不等式组法设展开式各项系数分别为A1A2An1则最大的系数Ak满足

    9(2020·全国)(xy)5的展开式中x3y3的系数为(  )

    A5  B10  C15  D20

    答案 C

    解析 方法一 (xy)5

    (x55x4y10x3y210x2y35xy4y5)

    x3y3的系数为10515.

    方法二 x中取x时,x3y3的系数为C

    x中取时,x3y3的系数为C

    x3y3的系数为CC10515.

    10(多选)(2020·甘肃诊断)n的展开式中二项式系数和为256则二项展开式中下列结论正确的是(  )

    A各项系数和为256

    Bx4的项为56

    C二项式系数最大的项为第5

    D展开式中有3项有理项

    答案 ACD

    解析 依题意2n256n8,其系数和为2n256,故A正确;

    Tk1C xkC

    =-4k5.

    x4的项为第6项,即T6Cx456x4,故B错误;

    n8二项式系数最大的项为第5项,故C正确;

    Zk0,1,28,解得k2,5,8

    有理项有3项,故D正确

    11(2020·全国)6的展开式中常数项是________(用数字作答)

    答案 240

    解析 6的展开式的通项为

    Tk1C(x2)6kkC2kx123k

    123k0,解得k4

    所以常数项为C24240.

    12(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32a________.

    答案 3

    解析 (ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5

    x1,得16(a1)a0a1a2a3a4a5

    x=-1,得0a0a1a2a3a4a5.

    ,得16(a1)2(a1a3a5)

    即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1a3a58(a1),所以8(a1)32,解得a3.

    1某公司有五个不同的部门现有4名在校大学生来该公司实习要求安排到该公司的两个部门且每部门安排两名则不同的安排方案种数为(  )

    A60   B40

    C120   D240

    答案 A

    解析 由题意得,先将4名大学生平均分为两组,共有3()不同的分法

    再将两组安排在其中的两个部门,有A20()不同的安排方案,

    所以共有不同的安排方案种数为3×2060.

    2(2020·山西八校联考)已知n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等则奇数项的二项式系数和为(  )

    A29  B210  C211  D212

    答案 A

    解析 由题意得CC,由组合数性质得n10,则奇数项的二项式系数和为2n129,故选A.

    3(2020·汕头模拟)2020331某地援外地医护人员ABCDEF6(其中A是队长)圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地他们受到当地群众与领导的热烈欢迎当地媒体为了宣传他们的优秀事迹让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站成一排进行拍照则领导和队长站在两端且BC相邻BD不相邻的排法种数为(  )

    A36   B48

    C56   D72

    答案 D

    解析 因为让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站成一排进行拍照,则领导和队长站在两端且BC相邻,分2步进行分析:

    领导和队长站在两端,有A2()情况,

    中间5人分2种情况讨论:

    BC相邻且与D相邻,有AA12()安排方法,

    BC相邻且不与D相邻,有AAA24()安排方法,

    则中间5人有122436()安排方法,

    则有2×3672()不同的安排方法

    故选D.

    4(多选)已知(2xa)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9且展开式中各项系数和为39.则下列结论正确的是(  )

    Aa1

    Ba01

    Ca236

    Da1a3a5a7a9

    答案 ABD

    解析 x1txt1

    原展开式为(2t2a)9a0a1ta2t2a9t9

    t1a0a1a2a9(4a)939

    a1,故A正确;

    (2t1)9a0a1ta2t2a9t9

    t0,得a01,故B正确;

    (2t1)9的展开式中含t2的项为C(2t)2·17144t2

    a2144,故C错误;

    t1,得a0a1a2a8a939

    t=-1,得a0a1a2a3a8a9=-1

    得,a1a3a5a7a9,故D正确

    5已知(ax1)2(x2)5的展开式中含x3项的系数为40则展开式中所有项的系数和为________

    答案 0

    解析 (x2)5展开式的通项为Tk1Cx5k2k,所以(ax1)2(x2)5的展开式中含x3项的系数为a2C×242aC×23C×2240(2a24a1)=-40,解得a1.

    所以(ax1)2(x2)5(x1)2(x2)5,令x1,得展开式中所有项的系数和为0.

    6如图玩具计数算盘的三档上各有7个算珠现将每档算珠分为左右两部分左侧的每个算珠表示数2右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无珠)记上下三档的数字和分别为abc例如图中上档的数字和a9.abc成等差数列则不同的分珠计数法有________

    答案 32

    解析 根据题意知,abc的取值范围都是区间[7,14]中的8个整数,故公差d的范围是区间[3,3]中的整数当公差d0时,有C8()当公差d±1时,b不取714,有2×C12()当公差d±2时,b不取7,8,13,14,有2×C8()当公差d±3 b只能取1011,有2×C4()

    综上,共有8128432()不同的分珠计数法

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