2022年高考三轮复习之回归基础练第3练　函数的图象与性质

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第3练　函数的图象与性质
[考情分析]　以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性、周期性，分段函数求值或分段函数中参数的求解，以及函数图象的识别，多以选择题、填空题的形式考查，难度属中档及以上．

考点一　函数及其表示
要点重组　
1．复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域．
2．分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．
1．(2020·江西抚州七校联考)若函数f(x)的定义域为[0,6]，则函数的定义域为(　　)
A．(0,3) B．[1,3)∪(3,8]
C．[1,3) D．[0,3)
答案　D
解析　∵函数f(x)的定义域为[0,6]，
∴0≤2x≤6，解得0≤x≤3.
又x－3≠0，即x≠3，
∴函数的定义域为[0,3)．故选D.
2．已知函数f(x)＝则不等式f(x)<1的解集为________．
答案　(－1，e－1)
解析　当x<0时，由x2<1，解得－1 当x≥0时，由ln(x＋1)<1，解得0≤x 故f(x)<1的解集为(－1,0)∪[0，e－1)＝(－1，e－1)．
3．设函数f(x)＝则f(f(0))＝______，若f(m)>1，则实数m的取值范围是________．
答案　0　(－∞，0)∪(e，＋∞)
解析　f(f(0))＝f(1)＝ln 1＝0.
如图所示，可得f(x)＝的图象与直线y＝1的交点分别为(0,1)，(e,1)．若f(m)>1，则实数m的取值范围是(－∞，0)∪(e，＋∞)．

4．若函数f(x)＝(a>0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
答案　(1，]
解析　当x≤2时，y＝x2－4x＋8＝(x－2)2＋4≥4，符合条件，所以只需使y＝2＋logax≥4(x>2)恒成立，故当a>1时，y＝2＋logax>2＋loga2，所以2＋loga2≥4，即loga2≥2，解得12时，y＝2＋logax≥4不恒成立．综上所述，实数a的取值范围是(1，]．
考点二　函数的性质
要点重组　
1．函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有：
f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)．
2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法．
3．函数图象的对称中心或对称轴
(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
5．(多选)若函数f(x)＝x·ln(＋ax)为偶函数，则a的值为(　　)
A．0 B．－1 C．1 D．e
答案　BC
解析　∵f(x)＝x·ln(＋ax)为偶函数，
∴φ(x)＝ln(＋ax)为奇函数，
∴φ(－x)＋φ(x)＝0，
即ln(＋ax)＋ln(－ax)＝0，
∴ln(1＋x2－a2x2)＝0，
∴x2－a2x2＝0，
∴a2＝1，
∴a＝±1.
6．(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)
A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]
答案　D
解析　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，
则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示．

当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，
得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，
得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．
7．(多选)(2020·全国Ⅲ改编)关于函数f(x)＝sin x＋，则以下四个结论中正确的是(　　)
A．f(x)的图象关于y轴对称
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的图象关于直线x＝对称
D．f(x)的最小值为2
答案　BC
解析　∵f(x)＝sin x＋的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，
f(－x)＝sin(－x)＋＝－sin x－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，关于原点对称，故A错误，B正确；
∵f ＝cos x＋，
f ＝cos x＋，
∴f ＝f ，
∴f(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确；
当x∈时，f(x)<0，故D错误．
8．偶函数f(x)满足f(x＋1)为奇函数，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x2＋1，则f(2 020)＝________.
答案　1
解析　∵y＝f(x＋1)为奇函数，
∴y＝f(x＋1)的图象关于点(0,0)对称，
∴y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称，
∴f(－x)＝－f(x＋2)．
又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即f(x)＝－f(x＋2)，∴T＝4.
∴f(2 020)＝f(4×505)＝f(0)＝1.
考点三　函数的图象及应用
要点重组　
1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
2．由函数的解析式判断其图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，以及利用函数图象上的特殊点排除不符合要求的图象．
9．函数y＝ln|x|－x2的图象大致为(　　)

答案　A
解析　f(x)＝y＝ln|x|－x2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝ln|－x|－(－x)2＝ln|x|－x2＝f(x)，故函数y＝ln|x|－x2为偶函数，排除B，D；当x>0时，y＝ln x－x2，则y′＝－2x，当x∈时，y′＝－2x>0，y＝ln x－x2单调递增，排除C.
10．(2020·广州模拟)函数f(x)＝－2x＋的图象大致是(　　)

答案　C
解析　当x＜0时，f(x)＝－2x＋＞0，故排除B，D；
又f(2)＝－4＋＝－＜0，
故排除A.故选C.
11．设min{p，q，r}表示p，q，r三者中较小的一个，若函数f(x)＝min{x＋1，－2x＋7，x2－x＋1}，则不等式f(x)>1的解集为(　　)
A．(0,2) B．(－∞，0)
C．(1，＋∞) D．(1,3)
答案　D
解析　由题意得f(x)＝作出函数f(x)的图象如图所示，则f(x)>1的解集为(1,3)，故选D.

12．(2020·长沙模拟)已知函数f(x)＝若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，且x1 答案　6
解析　函数f(x)的图象如图所示，

易知＝3，
则x3＋x4＝6.
又－log2x1＝log2x2，
所以log2(x1x2)＝0，即x1x2＝1，
所以x1x2(x3＋x4)＝6.

1．(2020·珠海模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－a，则f(－1)等于(　　)
A．3 B．－3 C．－2 D．－1
答案　B
解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数，
且当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－a，
∴f(0)＝1－a＝0，
∴a＝1，f(1)＝4－a＝3，则f(－1)＝－f(1)＝－3.
故选B.
2．(2020·常德模拟)函数f(x)＝的大致图象是(　　)


答案　A
解析　令x＝，
则f ＝＝2ln 2>0，排除B，C；
f(2－x)＝＝
＝－＝－f(x)，
即f(2－x)＋f(x)＝0，故函数的图象关于点(1,0)成中心对称，故选A.
3．已知函数y＝f(x)，对于任意x∈R都有f(2－x)＝f(x＋2)，当x1，x2∈(－∞，2]，且x1≠x2时都有<0.则下列结论正确的是(　　)
A．f(π) C．f() 答案　C
解析　∵f(2－x)＝f(x＋2)，
∴y＝f(x)的图象关于x＝2对称，
又当x1，x2∈(－∞，2]且x1≠x2时，
<0，
∴y＝f(x)在(－∞，2]上单调递减，又f(x)的图象关于x＝2对称，
∴y＝f(x)在[2，＋∞)上单调递增，
∴f() 故选C.
4．(多选)(2020·山东菏泽一中月考)设函数f(x)的定义域为D，∀x∈D，∃y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称f(x)为“美丽函数”．下列所给出的函数中，是“美丽函数”的是(　　)
A．y＝x2 B．y＝
C．y＝ln(2x＋3) D．y＝2x＋3
答案　BCD
解析　函数f(x)的定义域为D，∀x∈D，∃y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，所以函数f(x)的值域关于原点对称．
对于选项A，函数y＝x2的值域为[0，＋∞)，不关于原点对称，不符合题意；
对于选项B，函数y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，符合题意；
对于选项C，函数y＝ln(2x＋3)的值域为R，关于原点对称，符合题意；
对于选项D，函数y＝2x＋3的值域为R，关于原点对称，符合题意，故选BCD.
5．(多选)(2020·日照联考)已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f(x＋2)＝－f(x)，且函数y＝f(x－1)为奇函数，则下列说法正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)是周期函数
B．函数y＝f(x)的图象关于点(－1,0)成中心对称
C．函数y＝f(x)为R上的偶函数
D．函数y＝f(x＋4)为R上的奇函数
答案　ABC
解析　因为f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即T＝4，故A正确；
因为函数y＝f(x－1)为奇函数，所以函数y＝f(x－1)的图象关于原点成中心对称，故f(x)的图象关于点(－1，0)成中心对称，故B正确；
又函数y＝f(x－1)为奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，
根据f(x＋2)＝－f(x)，
令x－1代替x有f(x＋1)＝－f(x－1)，
所以f(x＋1)＝f(－x－1)，
令x－1代替x有f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为R上的偶函数，故C正确；
因为y＝f(x)为R上的偶函数且T＝4，
所以f(x＋4)＝f(x)，
所以y＝f(x＋4)为R上的偶函数，故D不正确．
6．已知函数f(x)＝log2(x2＋1)－，则不等式f(x－1)>0的解集为________．
答案　(－∞，0)∪(2，＋∞)
解析　∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，
当x≥0时，f(x)＝log2(x2＋1)－，
∴f(x)为增函数，
∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
又f(1)＝0，
∴原不等式等价于f(x－1)>f(1)，
∴|x－1|>1，解得x>2或x<0，
∴原不等式的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．