高考数学(文数)一轮课后刷题练习：第2章函数、导数及其应用 2.6（教师版）

一、选择题

1．若点(a，b)在y＝lg x图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是(　　)

A. B．(10a,1－b)

C. D．(a2,2b)

答案　D

解析　当x＝a2时，y＝lg a2＝2lg a＝2b，所以点(a2,2b)在函数y＝lg x图象上．故选D.

2．已知函数f(x)＝2＋log2x，x∈[1,2]，则函数y＝f(x)＋f(x2)的值域为(　　)

A．[4,5] B． 

C. D．[4,7]

答案　B

解析　y＝f(x)＋f(x2)＝2＋log2x＋2＋log2x2＝4＋3log2x，注意到为使得y＝f(x)＋f(x2)有意义，必有1≤x2≤2，得1≤x≤，从而4≤y≤.故选B.

3．已知函数f(x)＝x－log2x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0<x1<x0，则f(x1)(　　)

A．恒为负值 B．等于0

C．恒为正值 D．不大于0

答案　C

解析　作出y＝x和y＝log2x的图象，如图．

由图可知有0<x1<x0时， x1>log2x1.即 x1－log2x1>0.

∴f(x1)>0.故选C.

4．函数y＝的图象大致为(　　)

答案　B

解析　函数y＝的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，故排除A；∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，

∴排除C；当x＝2时，y＝>0，故排除D.故选B.

5．设函数f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，则f(x)是(　　)

A．奇函数，且在(0,1)上是增函数

B．奇函数，且在(0,1)上是减函数

C．偶函数，且在(0,1)上是增函数

D．偶函数，且在(0,1)上是减函数

答案　A

解析　解法一：函数f(x)的定义域为(－1,1)，任取x∈(－1,1)，f(－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数．当x∈(0,1)时，f′(x)＝＋＝>0，所以f(x)在(0,1)上是增函数．综上，故选A.

解法二：同解法一知f(x)是奇函数．

当x∈(0,1)时，f(x)＝ln ＝ln ＝ln .

∵y＝(x∈(0,1))是增函数，y＝ln x也是增函数，∴f(x)在(0,1)上是增函数．综上，故选A.

6．已知函数f(x)＝log(x2－ax－a)在上是增函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－1，＋∞) B．

C. D．(－∞，－1]

答案　B

解析　f(x)＝log(x2－ax－a)在上是增函数，说明内层函数μ(x)＝x2－ax－a在上是减函数且μ(x)>0成立，只需对称轴x＝≥－且μ(x)min＝μ>0，∴解得a∈.故选B.

7．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，若a＝f(20.3)，b＝f(log4)，c＝f(log25)，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>b>c B．c>b>a

C．c>a>b D．a>c>b

答案　B

解析　函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∵b＝f(log4)＝f(－2)＝f(2)，1<20.3<2<log25，∴c>b>a.故选B.

8．若函数f(x)＝(ex－e－x)x，f(log5x)＋f(logx)≤2f(1)，则x的取值范围是(　　)

A. B．[1,5]

C.   D.∪[5，＋∞)

答案　C

解析　∵f(x)＝(ex－e－x)x，∴f(－x)＝－x(e－x－ex)＝(ex－e－x)x

＝f(x)(x∈R)，∴函数f(x)是偶函数．

∵f′(x)＝(ex－e－x)＋x(ex＋e－x)>0在(0，＋∞)上恒成立，

∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

∵f(log5x)＋f(logx)≤2f(1)，

∴2f(log5x)≤2f(1)，即f(log5x)≤f(1)，

∴|log5x|≤1，∴≤x≤5.故选C.

9．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m>0，n>0，则＋的最小值为(　　)

A．2  B．4  C.  D.

答案　D

解析　由函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的解析式知：当x＝－2时，y＝－1，所以点A的坐标为(－2，－1)，又因为点A在直线mx＋ny＋2＝0上，所以－2m－n＋2＝0，即2m＋n＝2，又m>0，n>0，所以＋＝＋＝2＋＋＋≥＋2＝，当且仅当m＝n＝时等号成立，所以＋的最小值为.故选D.

10．已知函数f(x)＝ln ，若f＋f＋…＋f＝504(a＋b)，则a2＋b2的最小值为(　　)

A．6 B．8

C．9 D．12

答案　B

解析　∵f(x)＋f(e－x)＝ln ＋ln ＝ln e2＝2，∴504(a＋b)＝f＋f＋…＋f＝＝×(2×2016)＝2016，

∴a＋b＝4，∴a2＋b2≥＝＝8，当且仅当a＝b＝2时取等号．

∴a2＋b2的最小值为8.故选B.

二、填空题

11．已知函数f(x)＝|lg x|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则2a＋b的取值范围是________．

答案　[2，＋∞)

解析　画出y＝|lg x|的图象如图：

∵0<a<b，且f(a)＝f(b)，∴|lg a|＝|lg b|且0<a<1，b>1，

∴－lg a＝lg b，∴ab＝1，∴2a＋b≥2＝2.

当2a＝b时等号成立，∴2a＋b≥2.

12．函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为________．

答案　－

解析　显然x>0，∴f(x)＝log2·log(2x)＝log2x·log2(4x2)＝log2x·(log24＋2log2x)＝log2x＋(log2x)2＝2－≥－，当且仅当x＝时，取“＝”，故f(x)min＝－.

13．已知函数f(x)＝

若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)(x1，x2，x3互不相等)，且x1＋x2＋x3的取值范围为(1,8)，则实数m的值为________．

答案　1

解析　作出f(x)的图象，如图所示，可令x1<x2<x3，

则由图知点(x1,0)，(x2,0)关于直线x＝－对称，所以x1＋x2＝－1.又1<x1＋x2＋x3<8，所以2<x3<9.由f(x1)＝f(x2)＝f(x3)(x1，x2，x3互不相等)，结合图象可知点A的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log2(9－m)，解得m＝1.

14．已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0<m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________.

答案　9

解析　∵f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0<m<n，且f(m)＝f(n)，

∴m<1<n，－log3m＝log3n，∴mn＝1.

∵f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，函数f(x)在[m2,1)上是减函数，在(1，n]上是增函数，∴－log3m2＝2或log3n＝2.

若－log3m2＝2，则m＝，从而n＝3，此时log3n＝1，

符合题意，则＝3÷＝9.

若log3n＝2，则n＝9，从而m＝，此时－log3m2＝4，不符合题意．

三、解答题

15．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)解不等式f(x2－1)>－2.

解　(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x)．

因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log(－x)，

所以函数f(x)的解析式为

f(x)＝

(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，

所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4)．

又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

所以|x2－1|<4，解得－<x<，

即不等式的解集为(－，)．

16．设x∈[2,8]时，函数f(x)＝loga(ax)·loga(a2x)(a＞0且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求a的值．

解　由题意知f(x)＝(logax＋1)·(logax＋2)

＝[(logax)2＋3logax＋2]＝2－.

当f(x)取最小值－时，logax＝－.

又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)．

∵f(x)是关于logax的二次函数，

∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得．

若2－＝1，则a＝2，

此时f(x)取得最小值时，x＝(2)＝∉[2,8]，舍去．

若2－＝1，则a＝，

此时f(x)取得最小值时，x＝＝2∈[2,8]，符合题意，∴a＝.