高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第2章　函数、导数及其应用2.6(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第2章　函数、导数及其应用2.6(教师版)，共10页。

一、选择题
1．若点(a，b)在y＝lg x图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，b)) B．(10a,1－b)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,a)，b＋1)) D．(a2,2b)
答案 D
解析 当x＝a2时，y＝lg a2＝2lg a＝2b，所以点(a2,2b)在函数y＝lg x图象上．故选D.
2．已知函数f(x)＝2＋lg2x，x∈[1,2]，则函数y＝f(x)＋f(x2)的值域为( )
A．[4,5] B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4，\f(11,2))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4，\f(13,2))) D．[4,7]
答案 B
解析 y＝f(x)＋f(x2)＝2＋lg2x＋2＋lg2x2＝4＋3lg2x，注意到为使得y＝f(x)＋f(x2)有意义，必有1≤x2≤2，得1≤x≤eq \r(2)，从而4≤y≤eq \f(11,2).故选B.
3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x－lg2x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0A．恒为负值 B．等于0
C．恒为正值 D．不大于0
答案 C
解析
4．函数y＝eq \f(2x,ln |x|)的图象大致为( )
答案 B
解析 函数y＝eq \f(2x,ln |x|)的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，故排除A；∵f(－x)＝eq \f(－2x,ln |x|)＝－eq \f(2x,ln |x|)＝－f(x)，
∴排除C；当x＝2时，y＝eq \f(4,ln 2)>0，故排除D.故选B.
5．设函数f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
答案 A
解析 解法一：函数f(x)的定义域为(－1,1)，任取x∈(－1,1)，
f(－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数．
当x∈(0,1)时，f′(x)＝eq \f(1,1＋x)＋eq \f(1,1－x)＝eq \f(2,1－x2)>0，
所以f(x)在(0,1)上是增函数．综上，故选A.
解法二：同解法一知f(x)是奇函数．
当x∈(0,1)时，f(x)＝ln eq \f(1＋x,1－x)＝ln eq \f(2－1－x,1－x)＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1－x)－1)).
∵y＝eq \f(2,1－x)(x∈(0,1))是增函数，y＝ln x也是增函数，∴f(x)在(0,1)上是增函数．综上，故选A.
6．已知函数f(x)＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) (x2－ax－a)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A．[－1，＋∞) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2))) D．(－∞，－1]
答案 B
解析 f(x)＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) (x2－ax－a)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))上是增函数，说明内层函数μ(x)＝x2－ax－a在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))上是减函数且μ(x)>0成立，只需对称轴x＝eq \f(a,2)≥－eq \f(1,2)且μ(x)min＝μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))>0，∴解得a∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))，故选B.
7．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，若a＝f(20.3)，b＝f(lg eq \s\d8(\f(1,2)) 4)，c＝f(lg25)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．c>b>a C．c>a>b D．a>c>b
答案 B
解析 函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∵b＝f(lg eq \s\d8(\f(1,2)) 4)＝f(－2)＝f(2)，1<20.3<2b>a，故选B.
8．已知函数f(x)＝(ex－e－x)x，f(lg5x)＋f(lg eq \s\d8(\f(1,5)) x)≤2f(1)，则x的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，1)) B．[1,5]
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，5)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,5)))∪[5，＋∞)
答案 C
解析 ∵f(x)＝(ex－e－x)x，
∴f(－x)＝－x(e－x－ex)＝(ex－e－x)x＝f(x)(x∈R)，
∴函数f(x)是偶函数．
∵f′(x)＝(ex－e－x)＋x(ex＋e－x)>0在(0，＋∞)上恒成立．
∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∵f(lg5x)＋f(lg eq \s\d8(\f(1,5)) x)≤2f(1)，
∴2f(lg5x)≤2f(1)，即f(lg5x)≤f(1)，
∴|lg5x|≤1，∴eq \f(1,5)≤x≤5.故选C.
9．函数y＝lga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m>0，n>0，则eq \f(2,m)＋eq \f(1,n)的最小值为( )
A．2eq \r(2) B．4 C.eq \f(5,2) D.eq \f(9,2)
答案 D
解析 由函数y＝lga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的解析式知：当x＝－2时，y＝－1，所以点A的坐标为(－2，－1)，又因为点A在直线mx＋ny＋2＝0上，所以－2m－n＋2＝0，即2m＋n＝2，又m>0，n>0，所以eq \f(2,m)＋eq \f(1,n)＝eq \f(2m＋n,m)＋eq \f(2m＋n,2n)＝2＋eq \f(n,m)＋eq \f(m,n)＋eq \f(1,2)≥eq \f(5,2)＋2＝eq \f(9,2)，当且仅当m＝n＝eq \f(2,3)时等号成立，所以eq \f(2,m)＋eq \f(1,n)的最小值为eq \f(9,2)，故选D.
10．已知函数f(x)＝ln eq \f(ex,e－x)，若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e,2017)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2e,2017)))＋…＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2016e,2017)))＝504(a＋b)，则a2＋b2的最小值为( )
A．6 B．8 C．9 D．12
答案 B
解析 ∵f(x)＋f(e－x)＝ln eq \f(ex,e－x)＋ln eq \f(ee－x,x)＝ln e2＝2，
∴504(a＋b)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e,2017)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2e,2017)))＋…＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2016e,2017)))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e,2017)))＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2016e,2017)))＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2e,2017)))＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2015e,2017)))＋…＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2016e,2017)))＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e,2017)))))
＝eq \f(1,2)×(2×2016)＝2016，
∴a＋b＝4，∴a2＋b2≥eq \f(a＋b2,2)＝eq \f(42,2)＝8，
当且仅当a＝b＝2时取等号．
∴a2＋b2的最小值为8.故选B.
二、填空题
11．已知函数f(x)＝|lg x|，若0答案 [2eq \r(2)，＋∞)
解析 画出y＝|lg x|的图象如图：
∵01，
∴－lg a＝lg b，∴ab＝1，∴2a＋b≥2eq \r(2ab)＝2eq \r(2).
当2a＝b时等号成立，∴2a＋b≥2eq \r(2).
12．函数f(x)＝lg2eq \r(x)·lgeq \r(2)(2x)的最小值为________．
答案 －eq \f(1,4)
解析 显然x>0，∴f(x)＝lg2eq \r(x)·lgeq \r(2)(2x)＝eq \f(1,2)lg2x·lg2(4x2)
＝eq \f(1,2)lg2x·(lg24＋2lg2x)＝lg2x＋(lg2x)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2x＋\f(1,2)))2－eq \f(1,4)≥－eq \f(1,4)，
当且仅当x＝eq \f(\r(2),2)时，取“＝”，故f(x)min＝－eq \f(1,4).
13．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|2x＋1|，x<1，,lg2x－m，x>1，))若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)(x1，x2，x3互不相等)，且x1＋x2＋x3的取值范围为(1,8)，则实数m的值为________．
答案 1
解析 作出f(x)的图象，如图所示，可令x1则由图知点(x1,0)，(x2,0)关于直线x＝－eq \f(1,2)对称，所以x1＋x2＝－1.又114．已知函数f(x)＝|lg3x|，实数m，n满足0答案 9
解析 ∵f(x)＝|lg3x|，实数m，n满足0∴m<1∵f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，函数f(x)在[m2,1)上是减函数，在(1，n]上是增函数，∴－lg3m2＝2或lg3n＝2.
若－lg3m2＝2，则m＝eq \f(1,3)，
从而n＝3，此时lg3n＝1，符合题意，则eq \f(n,m)＝3÷eq \f(1,3)＝9.
若lg3n＝2，则n＝9，从而m＝eq \f(1,9)，此时－lg3m2＝4，不符合题意．
三、解答题
15．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解
16．设x∈[2,8]时，函数f(x)＝eq \f(1,2)lga(ax)·lga(a2x)(a＞0且a≠1)的最大值是1，最小值是－eq \f(1,8)，求a的值．
解