2020-2021学年第二十二章 四边形综合与测试精品课时作业

八年级数学下册第二十二章四边形定向测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、一个多边形的每个内角均为150°，则这个多边形是（       ）

A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形

2、下列多边形中，内角和与外角和相等的是（　　）

A． B． C． D．

3、平行四边形ABCD中，若∠A＝2∠B，则∠C的度数为（　　）

A．120° B．60° C．30° D．15°

4、如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（       ）

A．14 B．16 C．18 D．12

5、十边形中过其中一个顶点有（       ）条对角线．

A．7 B．8 C．9 D．10

6、如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE=AD，则∠ACE的度数为（　　　）

A．22.5° B．27.5° C．30° D．35°

7、如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B′恰好落在AD边上，则BE的长度为（       ）

A．1 B． C． D．2

8、在下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（            ）

A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD，AD＝BC

C．AB ∥CD，AB＝CD D．AB∥CD，AD＝BC

9、下列命题错误的是（       ）

A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形

B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

D．对角线互相平分的四边形是平行四边形

10、如图，点A，B，C在同一直线上，且，点D，E分别是AB，BC的中点．分别以AB，DE，BC为边，在AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作，，，若，则等于（       ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，∠EAD和∠DCF是四边形ABCD的外角，∠EAD的平分线AG和∠DCF的平分线CG相交于点G．若∠B＝m°，∠D＝n°，则∠G＝______°．（用含m、n的代数式表示）

2、如图，已知长方形ABCD中，AD=3cm，AB=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ADE的面积为_______cm2．

3、四边形ABCD中，AD∥BC，要使它平行四边形，需要增加条件________（只需填一个 条件即可）．

4、如图，A、B、C均为一个正十边形的顶点，则∠ACB=_____°．

5、若一个多边形的内角和是外角和的倍，则它的边数是_______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、数学学习小组在学习了三角形中位线定理后，对四边形中有关中点的问题进行了探究：如图，在四边形中，E，F分别是边的中点．

(1)若，，，，求的长．小兰说：取的中点P，连接，．利用三角形中位线定理就能解答此题，请你根据小兰提供的思路解答此题；

(2)小花说：根据小兰的解题思路得到启发，如果满足，就能得到、、的数量关系，你觉得小花说得对吗？若对，请你帮小花得到、、的数量关系，并说明理由．

2、如图，在中，于点E，延长BC至点F，使，连接AF，DE，DF．

(1)求证：四边形AEFD为矩形；

(2)若，，，求DF的长．

3、尺规作图并回答问题：（保留作图痕迹）

已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．

求作：菱形AECF，使点E，F分别在BC，AD上．

请回答：在你的作法中，判定四边形AECF是菱形的依据是　 　．

4、【问题情境】如图1，在中，，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①；②；③，这些结论是由古希酷著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”．

(1)请证明“射影定理”中的结论③．

(2)【结论运用】如图2，正方形的边长为6，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接．

①求证：．

②若，求的长．

5、如图，正方形ABCD中，E为BD上一点，AE的延长线交BC的延长线于点F，交CD于点H，G为FH的中点．

(1)求证：AE=CE；

(2)猜想线段AE，EG和GF之间的数量关系，并证明．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

先求出多边形的外角度数，然后即可求出边数．

【详解】

解：∵多边形的每个内角都等于150°，

∴多边形的每个外角都等于180°-150°=30°，

∴边数n=360°÷30°=12，

故选：D．

【点睛】

本题考查多边形的内角和、外角来求多边形的边数，属于基础题，熟练掌握多边形中内角和定理公式是解决本类题的关键．

2、B

【解析】

【分析】

根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．

【详解】

解：设所求多边形的边数为n，根据题意得：

（n-2）•180°=360°，

解得n=4．

故选：B．

【点睛】

本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．

3、A

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质得出BCAD，根据平行线的性质推出∠A＋∠B＝180°，代入求出即可．

【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BCAD，

∴∠A＋∠B＝180°，

把∠A＝2∠B代入得：3∠B＝180°，

∴∠B＝60°，

∴∠C＝120°

故选：A．

【点睛】

本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出∠A＋∠B＝180°是解此题的关键．

4、B

【解析】

【分析】

根据中位线的性质及直角三角形斜边上中线的性质可得：，结合图形得出的周长为，再由中位线的性质得出，在中，利用勾股定理确定，即可得出结论．

【详解】

解：在正方形ABCD中，，，，

∵F为DE的中点，O为BD的中点，

∴OF为的中位线且CF为斜边上的中线，

∴，

∴的周长为，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

在中，，，，

∴，

∴的周长为，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，理解题意，熟练掌握运用各个知识点是解题关键．

5、A

【解析】

【分析】

根据多边形对角线公式解答．

【详解】

解：十边形中过其中一个顶点有10-3=7条对角线，

故选：A．

【点睛】

此题考查了多边形对角线公式，理解公式的得来方法是解题的关键．

6、A

【解析】

【分析】

利用正方形的性质证明∠DBC=45°和BE=BC，进而证明∠BEC=67.5°．

【详解】

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=AD，∠DBC=45°，

∵BE=AD，

∴BE=BC，

∴∠BEC=∠BCE=（180°﹣45°）÷2=67.5°，

∵AC⊥BD，

∴∠COE=90°，

∴∠ACE=90°﹣∠BEC=90°﹣67.5°=22.5°，

故选：A．

【点睛】

本题考查正方形的性质，以及等腰三角形的性质，掌握正方形的性质并加以利用是解决本题的关键．

7、D

【解析】

【分析】

由正方形的性质得出∠EFD=∠BEF=60°，由折叠的性质得出∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，设BE=x，则B'E=x，AE=3-x，由直角三角形的性质可得：2（3-x）=x，解方程求出x即可得出答案．

【详解】

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，∠A=90°，

∴∠EFD=∠BEF=60°，

∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，

∴∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，

∴∠AEB'=180°-∠BEF-∠FEB'=60°，

∴B'E=2AE，

设BE=x，则B'E=x，AE=3-x，

∴2（3-x）=x，

解得x=2．

故选：D．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．

8、D

【解析】

略

9、C

【解析】

【分析】

根据平行四边形的判定逐项分析即可得．

【详解】

解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意；

B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意；

C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，此项符合题意；

D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意，

故选：C．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定是解题关键．

10、B

【解析】

【分析】

设BE＝x，根据正方形的性质、平行四边形的面积公式分别表示出S1，S2，S3，根据题意计算即可．

【详解】

∵，

∴AB＝2BC，

又∵点D，E分别是AB，BC的中点，

∴设BE＝x，则EC＝x，AD＝BD＝2x，

∵四边形ABGF是正方形，

∴∠ABF＝45°，

∴△BDH是等腰直角三角形，

∴BD＝DH＝2x，

∴S1＝DH•AD＝，即2x•2x＝，

∴x2＝，

∵BD＝2x，BE＝x，

∴S2＝MH•BD＝（3x−2x）•2x＝2x2，

S3＝EN•BE＝x•x＝x2，

∴S2＋S3＝2x2＋x2＝3x2＝，

故选：B．

【点睛】

本题考查的是正方形的性质、平行四边形的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是90°是解题的关键．

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

根据四边形的内角和定理可得 ，从而得到，再由∠EAD的平分线AG和∠DCF的平分线CG相交于点G．可得，进而得到，再根据 ，即可求解．

【详解】

解：∵∠B＝m°，∠D＝n°，

∴ ，

∵∠EAD和∠DCF是四边形ABCD的外角，

∴ ，

∵∠EAD的平分线AG和∠DCF的平分线CG相交于点G．

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角和定理，角平分线的应用，补角的应用，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键．

2、6

【解析】

【分析】

根据折叠的条件可得：，在直角中，利用勾股定理就可以求解．

【详解】

解：将此长方形折叠，使点与点重合，

．

．

，

根据勾股定理可知：．

．

解得：．

的面积为：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了折叠的性质，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是注意掌握方程思想的应用．

3、AD=BC

【解析】

略

4、

【解析】

【分析】

根据正多边形外角和和内角和的性质，得、；根据四边形内角和的性质，计算得；根据五边形内角和的性质，计算得，再根据三角形外角的性质计算，即可得到答案．

【详解】

如图，延长BA

∵正十边形

∴，正十边形内角，即

根据题意，得四边形内角和为：，且

∴

∴

根据题意，得五边形内角和为：，且

∴

∴

故答案为：．

【点睛】

本题考查了正多边形、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形外角和、正多边形内角和的性质，从而完成求解．

5、

【解析】

【分析】

根据多边形的内角和公式（n−2）•180°以及外角和定理列出方程，然后求解即可．

【详解】

解：设这个多边形的边数是n，

根据题意得，（n−2）•180°＝2×360°，

解得n＝6．

答：这个多边形的边数是6．

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．

三、解答题

1、 (1)

(2)，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意作出辅助线，根据中位线的性质求得，根据平行线的性质求得，进而勾股定理即可求得;

（2）方法同（1）．

(1)

解：如图，取的中点P，连接，，

P，E，F分别是边的中点, ，，

,，

，，

,，

，

在中，，

(2)

，理由如下，

如图，取的中点P，连接，，

P，E，F分别是边的中点,，

,，

，

,，

，

在中，，

即

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行线的性质，掌握中位线定理是解题的关键．

2、 (1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据线段的和差关系可得BC＝EF，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，即可得出AD＝EF，可证明四边形AEFD为平行四边形，根据AE⊥BC即可得结论；

（2）根据矩形的性质可得AF＝DE，可得△BAF为直角三角形，利用“面积法”可求出AE的长，即可得答案．

(1)

∵BE＝CF，

∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，

∵ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴AD＝EF，

∵AD∥EF，

∴四边形AEFD为平行四边形，

∵AE⊥BC，

∴∠AEF＝90°，

∴四边形AEFD为矩形．

(2)

∵四边形AEFD为矩形，

∴AF＝DE＝4，DF=AE，

∵，，，

∴AB2+AF2＝BF2，

∴△BAF为直角三角形，∠BAF＝90°，

∴，

∴AE=，

∴．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．

3、证明见解析；邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形．

【解析】

【分析】

根据邻边相等的平行四边形是菱形或对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．

【详解】

解：如图，四边形AECF即为所求作．

理由：四边形ABCD是平行四边形，

∴AE∥CF，

∴∠EAO=∠FCO，

∵EF垂直平分线段AC，

∴OA=OC，

在△AEO和△CFO中，

，

∴△AEO≌△CFO（ASA），

∴AE=CF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵EA=EC或AC⊥EF，

∴四边形AECF是菱形．

故答案为：邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形．

【点睛】

本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

4、 (1)见解析；

(2)①见解析；②．

【解析】

【分析】

（1）由AA证明，再由相似三角形对应边称比例得到，继而解题；

（2）①由“射影定理”分别解得，，整理出，再结合即可证明；

②由勾股定理解得，再根据得到，代入数值解题即可．

(1)

证明：

(2)

①四边形ABCD是正方形

②在中，

在，

．

【点睛】

本题考查相似三角形的综合题，涉及勾股定理、正方形等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

5、 (1)见解析

(2)AE2+ GF2=EG2，证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据“SAS”证明△ADE≌△CDE即可；

（2）连接CG，可得CG=GF=GH=FH，再证明∠ECG=90°，然后在Rt△CEG中，可得CE2+CG2=EG2，进而可得线段AE，EG和GF之间的数量关系．

(1)

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD，∠ADE=∠CDE，

在△ADE和△CDE中

，

∴△ADE≌△CDE，

∴AE=CE；

(2)

AE2+ GF2=EG2，理由：

连接CG

∵△ADE≌△CDE，

∴∠1=∠2．

∵G为FH的中点，

∴CG=GF=GH=FH，

∴∠6=∠7．

∵∠5=∠6，

∴∠5=∠7．

∵∠1+∠5=90°，

∴∠2+∠7=90°，即∠ECG=90°，

在Rt△CEG中，CE2+CG2=EG2，

∴AE2+ GF2=EG2．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，证明△ADE≌△CDE是解（1）的关键，证明∠ECG=90°是解（2）的关键．