冀教版八年级下册第二十二章 四边形综合与测试精品课时作业

这是一份冀教版八年级下册第二十二章 四边形综合与测试精品课时作业，共30页。试卷主要包含了如图，菱形的对角线等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、平面上六个点A，B，C，D，E，F，构成如图所示的图形，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F度数是（ ）
A．135度B．180度C．200度D．360度
2、如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为；⑤；⑥．其中正确结论有几个（ ）
A．3B．4C．5D．6
3、将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，则∠EBD的度数（ ）
A．80°B．90°C．100°D．110°
4、如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为a、b，且a2＋b2＝ab＋10，那么小正方形的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5、下列命题中是真命题的是（ ）．A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形B．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形D．有一个角为直角的四边形是矩形
6、如图，菱形的对角线、相交于点，，，为过点的一条直线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．12
7、如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则下列四个说法：①x2+y2=49，②x﹣y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．
其中说法正确的是（ ）
A．②③B．①②③C．②④D．①②④
8、在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果AC＝6，BD＝8，那么菱形ABCD的面积是（ ）
A．6B．12C．24D．48
9、如图，在中，，于E，DE交AC于点F，M为AF的中点，连接DM，若，则的大小为（ ）．
A．112°B．108°C．104°D．98°
10、菱形ABCD的边长为5，一条对角线长为6，则菱形面积为（ ）
A．20B．24C．30D．48
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图①，小刚沿菱形纸片ABCD各边中点的连线裁剪得到四边形纸片EFGH，再将纸片EFGH按图②所示的方式分别沿MN、PQ折叠，当PNEF时，若阴影部分的周长之和为16，△AEH，△CFG的面积之和为12，则菱形纸片ABCD的一条对角线BD的长为_____．
2、平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线把AD分成5和7两部分，则平行四边形ABCD的周长为__．
3、如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为__．
4、如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，已知DF＝5，则AE＝_____．
5、矩形的性质定理1：矩形的四个角都是________．
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
矩形的性质定理2：矩形的对角线________．
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC ＝ BD．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，直线，线段分别与直线、交于点、点，满足．
(1)使用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，交线段于点，连接、、、．（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）
(2)求证：四边形为菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：
____①____
垂直平分
，
∴____②____
____③____
∴四边形是___④_____
∴四边形是菱形（______⑤__________）（填推理的依据）．
2、（1）【探究一】如图1，我们可以用不同的算法来计算图形的面积．
①方法1：如果把图1看成一个大正方形，那么它的面积为 ；
②方法2：如果把图1看成是由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形，那么它的面积为 ；（写成关于a、b的两次三项式）用两种不同的算法计算同一个图形的面积，可以得到等式 ．
（2）【探究二】如图2，从一个顶点处引n条射线，请你数一数共有多少个锐角呢?
①方法1：一路往下数，不回头数．
以OA1为边的锐角有∠A1OA2、∠A1OA3、∠A1OA4、…、∠A1OAn，共有（n－1）个；
以OA2为边的锐角有∠A2OA3、∠A2OA4、…、∠A2OAn，共有（n－2）个；
以OA3为边的锐角有∠A3OA4、…、∠A3OAn，共有（n－3）个；
以OAn－1为边的锐角有∠An－1OAn，共有1个；
则图中锐角的总个数是 ；
②方法2：每一条边都能和除它以外的（n－1）条边形成锐角，共有n条边，可形成n（n－1）个锐角，但所有锐角都数了两遍，所以锐角的总个数是 ；
用两种不同的方法数锐角个数，可以得到等式 ．
（3）【应用】分别利用【探究一】中得到的等式和【探究二】中运用的思想解决问题．
①计算：19782＋20222；
②多边形中连接任意两个不相邻顶点的线段叫做对角线，如五边形共有5条对角线，则十七边形共有 条对角线，n边形共有 条对角线．
3、如图所示，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出等腰△ABC，且△ABC为钝角三角形，点C在小正方形顶点上；
(2)在（1）的条件下确定点C后，再画出矩形BCDE，D，E都在小正方形顶点上，且矩形BCDE的周长为16，直接写出EA的长为 ．
4、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝5cm，∠BOC＝120°，求矩形对角线的长．
5、已知正方形与正方形，，．
(1)如图1，若点和点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接、、，将阴影部分三角形的面积记作，则 （用含有、的代数式表示）．
(2)如图2，若点与点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接、、，将阴影部分三角形的面积记作，则 （用含有、的代数式表示）．
(3)如图3，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点、在线段上（点不与点重合、点不与点重合），连接、、，设，将阴影部分三角形的面积记作，则 （用含有、、的代数式表示）．
(4)如图4，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点、在的延长线上，连接、、，设，将阴影部分三角形的面积记作，则 （用含有、、的代数式表示）．
-参考答案-
一、单选题
1、D
【解析】
【分析】
根据三角形外角性质及四边形内角和求解即可．
【详解】
解：如下图所示：
根据三角形的外角性质得，∠1=∠C+∠E，∠2=∠B+∠D，
∵∠1+∠2+∠A+∠F=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°，
故选：D．
【点睛】
此题考查了三角形的外角性质，熟记三角形外角性质及四边形内角和为360°是解题的关键．
2、D
【解析】
【分析】
如图，过点作于点，连接，可说明四边形为矩形，，，是等腰直角三角形，；①中，可得为等腰直角三角形，进而求，由于四边形是平行四边形，，故可知；②，四边形为矩形，进而可求矩形的周长；③证明，由全等可知，进而可说明；④，当最小时，最小，即时，最小，计算即可；⑤在和中，勾股定理求得，将线段等量替换求解即可；⑥如图1，延长与交于点，证明，得，，，进而可说明．
【详解】
解：如图，过点作于点，连接，
由题意知
∴四边形为平行四边形
∵
∴四边形为矩形
∴
∵
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
①∵，
∴为等腰直角三角形
∴
，
∴
∴四边形是平行四边形
∴
∴
故①正确；
②∵
∴四边形为矩形
∴四边形的周长
故②正确；
③四边形为矩形
∵在和中
∵
∴
∴
∴
故③正确；
④∵
当最小时，最小
∴当时，即时，的最小值等于
故④正确；
⑤在和中，，
∴
故⑤正确；
⑥如图1，延长与交于点

∵在和中
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故⑥正确；
综上，①②③④⑤⑥正确，
故选：．
【点睛】
本题考查了正方形，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形全等．解题的关键在于对知识的灵活综合运用．
3、B
【解析】
【分析】
根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，又∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，且∠EBD=∠A′BE+∠DBC′，继而即可求出答案．
【详解】
解：根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，
又∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，
∴∠EBD=∠A′BE+∠DBC′=180°×=90°．
故选B．
【点睛】
此题考查翻折变换的性质，三角形折叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，得出∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′是解题的关键．
4、A
【解析】
【分析】
由正方形1性质和勾股定理得，再由，得，则，即可解决问题．
【详解】
解：设大正方形的边长为，
大正方形的面积是18，
，
，
，
，
，
小正方形的面积，
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理、正方形的性质以及完全平方公式等知识，解题的关键是求出．
5、A
【解析】
【分析】
根据平行线四边形的性质得到对边相等，加上一组邻边相等，可得到四边都相等，根据菱形的定义对A、B进行判断；根据矩形的判定方法对C、D进行判断．
【详解】
解：A、平行四边形的对边相等，若有一组邻边相等，则四边都相等，所以该选项正确；
B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，所以该选项不正确；
C、对角线互相平分且相等的四边形为矩形，所以该选项不正确；
D、有三个角是直角的四边形是矩形，所以该选项不正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断事情的语句叫命题；正确的命题叫真命题；经过证明其正确性的命题称为定理．也考查了平行四边形、矩形和菱形的判定与性质．
6、B
【解析】
【分析】
根据菱形的性质可证出，可将阴影部分面积转化为的面积，根据菱形的面积公式计算即可．
【详解】
解：四边形为菱形，
，，，
，
,
∴,
∴,
∴
故选：．
【点睛】
此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为的面积为解题关键．
7、B
【解析】
【分析】
根据正方形的性质，直角三角形的性质，直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可．
【详解】
如图所示，
∵△ABC是直角三角形，
∴根据勾股定理：，故①正确；
由图可知，故②正确；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为，
即，故③正确；
由可得，
又∵，
两式相加得：，
整理得：，
，故④错误；
故正确的是①②③．
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，正方形性质，完全平方公式的应用，算术平方根，准确分析判断是解题的关键．
8、C
【解析】
【分析】
利用菱形的面积公式即可求解．
【详解】
解：菱形ABCD的面积＝＝＝24，
故选：C．
【点睛】
本题考查菱形的面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半．
9、C
【解析】
【分析】
根据平行四边形及垂直的性质可得为直角三角形，再由直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角及三角形外角的性质得出，根据三角形内角和定理即可得出．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∵M为AF的中点，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】
题目主要考查平行四边形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角及三角形外角的性质和三角形内角和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
10、B
【解析】
【分析】
根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得菱形的面积．
【详解】
解：如图，当BD＝6时，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝3，
∵AB＝5，
∴AO＝=4，
∴AC＝8，
∴菱形的面积是：6×8÷2＝24，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查菱形的面积公式，以及菱形的性质和勾股定理，关键是掌握菱形的面积等于两条对角线的积的一半．
二、填空题
1、12
【解析】
【分析】
证出EH是△ABD的中位线，得出BD=2EH=4HN，由题意可以设AN=PC=x，EN=HN=PF=PG=y．构建方程组求出x，y即可解决问题．
【详解】
解：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC与BD垂直平分，
∵E是AB的中点，H是AD的中点，
∴AE=AH，EH是△ABD的中位线，
∴EN=HN，BD=2EH=4HN，
由题意可以设AN=PC=x，EN=HN=PF=PG=y．
则有，
解得：，
∴AN=2，HN=3，
∴BD=4HN=12；
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质、三角形中位线定理、方程组的解法等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
2、34或38##38或34
【解析】
【分析】
由平行四边形ABCD推出∠AEB=∠CBE，由已知得到∠ABE=∠CBE，推出AB=AE，分两种情况（1）当AE=5时，求出AB的长；（2）当AE=7时，求出AB的长，进一步求出平行四边形的周长．
【详解】
解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
（1）当AE=5时，AB=5，
平行四边形ABCD的周长是2×（5+5+7）=34；
（2）当AE=7时，AB=7，
平行四边形ABCD的周长是2×（5+7+7）=38；
故答案为：34或38．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形的角平分线等知识点，解此题的关键是求出AE=AB．用的数学思想是分类讨论思想．
3、
【解析】
【分析】
在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．证明，推出点在射线上运动，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，求出即可．
【详解】
解：在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．
，，
是等边三角形，
，，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
点在射线上运动，
根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，
，，
，，
，
∴GT//AB
∵BG//AT
四边形是平行四边形，
，，
∴

在中，
∴
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
4、5
【解析】
【分析】
依题意，可得DF是△ABC的中位线，得到BC的边长；又结合直角三角形斜边中线是斜边的一半，即可求解；
【详解】
∵ D，F分别为AB，AC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴BC＝2DF＝10，
在Rt△ABC中，E为BC的中点，
故答案为：5．
【点睛】
本题主要考查直角三角形性质及中线的性质，关键在熟练综合使用和分析；
5、 直角 相等
【解析】
略
三、解答题
1、 (1)见解析
(2)①；②；③；④平行四边形；⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【解析】
【分析】
（1）分别以A、D为圆心，大于AD的一半长为半径，画弧，两弧交于两点，然后过这两点作直线交l1于E，交l2于F，直线EF为线段AD的垂直平分线，连接、、、即可；
（2）：根据，内错角相等得出∠2①，根据垂直平分 ，得出，，可证②△EOC，根据全等三角形性质得出OF③，再证，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形④，根据对角线互相垂直即可得出四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形⑤）．
(1)
解：分别以A、D为圆心，大于AD的一半长为半径，画弧，两弧交于两点，然后过这两点作直线交l1于E，交l2于F，直线EF为线段AD的垂直平分线，连接、、、即可；
如图所示
(2)
证明：，
∠2①，
垂直平分 ，
，，
∴②△EOC，
OF③，
，
，
，
∴四边形是平行四边形④，
，
∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形⑤），
故答案为：①；②；③；④平行四边形；⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【点睛】
本题考查尺规作图，垂直平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形的判定，掌握尺规作图，垂直平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形的判定是解题关键．
2、（1）①；②；=；（2）①（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；②；（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=；（3）①8000968；②119，n(n-3)
【解析】
【分析】
（1）①根据边长为(a+b)的正方形面积公式求解即可；
②利用矩形和正方形的面积公式求解即可；
（2）①根据题中的数据求和即可；
②根据题意求解即可；
（3）①利用（1）的规律求解即可；
②根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为n(n-3)（n≥3，且n为整数）可得答案．
【详解】
解：（1）①大正方形的面积为；
②由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形的面积为；
可以得到等式：=；
故答案为：①；②；=；
（2）①图中锐角的总个数是：（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；
②锐角的总个数是n（n－1）；
可以得到等式为（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=n（n－1）；
故答案为：①（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；②n（n－1）；（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=n（n－1）；
（3）①19782＋20222＝[2000＋（－22）]2＋（2000＋22）2
＝20002＋（－22）2＋2×2000×（－22）＋20002＋222＋2×2000×22
＝2×（20002＋222）
＝2×[4000000＋（20＋2）2]
＝2×[4000000＋（202＋22＋2×20×2）]＝8000968；
②一个四边形共有2条对角线，即×4×(4-3)=2；
一个五边形共有5条对角线，即×5×(5-3)=5；
一个六边形共有9条对角线，即×6×(6-3)=9；
……，
一个十七边形共有×17×(17-3)=119条对角线；
一个n边形共有n(n-3)（n≥3，且n为整数）条对角线．
故答案为：119，n(n-3)．
【点睛】
本题考查了图形的变化规律，完全平方公式，多边形的对角线，对于这种图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键．
3、 (1)见解析
(2)画图见解析，
【解析】
【分析】
（1）作出腰为5且∠ABC是钝角的等腰三角形ABC即可；
（2）作出边长分别为5，3的矩形ABDE即可．
(1)
解：如图，AB==BC，∠ABC>90°，所以△ABC即为所求；
(2)
解：如图，矩形BCDE即为所求．AE= ．
故答案为：．
【点睛】
本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定，矩形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
4、10cm
【解析】
【分析】
根据矩形性质得出∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，推出OA＝OB，求出等边三角形AOB，求出OA＝OB＝AB＝5，即可得出答案．
【详解】
解：∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB＝5cm，
∴OA＝OB＝AB＝5cm，
∴AC＝2AO＝10cm，BD＝AC＝10cm．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OA、OB的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．
5、 (1)
(2)
(3)
(4)