初中数学冀教版八年级下册第二十二章 四边形综合与测试精品随堂练习题

八年级数学下册第二十二章四边形定向攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，在边长为的正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且于点F，连接DE，当时，（　　　）

A．1 B． C． D．

2、已知：在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至点F，使得EF=DE，那么四边形AFCD一定是（     ）

A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形

3、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A和点C分别落在x轴和y轴正半轴上，AO＝4，直线l：y＝3x+2经过点C，将直线l向下平移m个单位，设直线可将矩形OABC的面积平分，则m的值为（　　）

A．7 B．6 C．4 D．8

4、如图，平行四边形ABCD，∠BCD=120°，AB=2，BC=4，点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF，AE，EF，点M，N分别是AF，EF的中点．连接MN，则MN的最小值为（       ）

A．1 B． C． D．

5、下列选项中，不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖的图形是（       ）

A．长度为的线段 B．边长为2的等边三角形

C．斜边为2的直角三角形 D．面积为4的菱形

6、一多边形的每一个内角都等于它相邻外角的4倍，则该多边形的内角和是（　　）

A．360° B．900° C．1440° D．1800°

7、若n边形每个内角都为156°，那么n等于（       ）

A．8 B．12 C．15 D．16

8、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（       ）

A．四个角相等 B．对角线互相垂直

C．对角互补 D．对角线相等

9、如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（       ）

A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AO＝CO

C．AB＝CD，AD＝BC D．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD

10、若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（       ）

A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在平行四边形ABCD中，

（1）若∠A＝130°，则∠B＝______ 、∠C＝______ 、∠D＝______．

（2）若∠A＋ ∠C＝ 200°，则∠A＝______ 、∠B＝______；

（3）若∠A：∠B＝ 5：4，则∠C＝______ 、∠D＝______．

2、一个多边形的每个内角都等于120°，则这个多边形的边数是______．

3、在任意△ABC中，取AB、AC边中点D、E，连接DE．像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的______．

一个三角形有______条中位线．

4、已知平行四边形ABCD的周长是30，若AB＝10，则BC＝________．

5、过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，这个多边形是___边形．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图1，已知∠ACD是ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？

(1)尝试探究：如图2，已知：∠DBC与∠ECB分别为ABC的两个外角，则∠DBC＋∠ECB－∠A     180°．（横线上填＜、＝或＞）

(2)初步应用：如图3，在ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：∠P=     ．

(3)解决问题：如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠BAD、∠CDA的数量关系．

2、如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D′处，BC交于点E．AB＝6cm，BC＝8cm．

(1)求证AE＝EC；

(2)求阴影部分的面积．

3、如图，正方形ABCD中，E为BD上一点，AE的延长线交BC的延长线于点F，交CD于点H，G为FH的中点．

(1)求证：AE=CE；

(2)猜想线段AE，EG和GF之间的数量关系，并证明．

4、如图，已知正方形ABCD，点E在边BC上，连接AE．

(1)尺规作图：作，使，点F是的边与线段AB的交点．（不写作法，保留作图痕迹）；

(2)探究：AE，DF的位置关系和数量关系，并说明理由．

5、如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边CD、BC的中点

(1)求证：四边形BDEG是平行四边形；

(2)若菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，求EG的长．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

证明，则，计算的长，得，证明是等腰直角三角形，可得的长．

【详解】

解：四边形是正方形，

，，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，

故选：C．

【点睛】

本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是在正方形中学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．

2、B

【解析】

【分析】

先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明AC=DF即可．

【详解】

解：∵E是AC中点，

∴AE=EC，

∵DE=EF，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵AD=DB，AE=EC，

∴DE=BC，

∴DF=BC，

∵CA=CB，

∴AC=DF，

∴四边形ADCF是矩形；

故选：B．

【点睛】

本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理；熟记对角线相等的平行四边形是矩形是解决问题的关键．

3、A

【解析】

【分析】

如图所示，连接AC，OB交于点D，先求出C和A的坐标，然后根据矩形的性质得到D是AC的中点，从而求出D点坐标为（2，1），再由当直线经过点D时，可将矩形OABC的面积平分，进行求解即可．

【详解】

解：如图所示，连接AC，OB交于点D，

∵C是直线与y轴的交点，

∴点C的坐标为（0，2），

∵OA=4，

∴A点坐标为（4，0），

∵四边形OABC是矩形，

∴D是AC的中点，

∴D点坐标为（2，1），

当直线经过点D时，可将矩形OABC的面积平分，

由题意得平移后的直线解析式为，

∴，

∴，

故选A．

【点睛】

本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数的平移，矩形的性质，解题的关键在于能够熟知过矩形中心的直线平分矩形面积．

4、C

【解析】

【分析】

先证明NM为△AEF的中位线，根据中位线性质得出MN=，可得AE最小时，MN最小，根据点E在直线BC上，根据点到直线的距离最短得出AE⊥BC时AE最短，根据在平行四边形ABCD中，∠BCD=120°，求出∠ABC=180°-∠BCD=180°-120°=60°，利用三角形内角和∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB=180°-60°-90°=30°，利用30°直角三角形性质得出BE=，再利用勾股定理求出AE即可．

【详解】

解：∵M为FA中点，N为FE中点，

∴NM为△AEF的中位线，

∴MN=

∴AE最小时，MN最小，

∵点E在直线BC上，

根据点A到直线BC的距离最短，

∴AE⊥BC时AE最短，

∵在平行四边形ABCD中，∠BCD=120°，

∴∠ABC+∠BCD=180°，

∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-120°=60°，

∴∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB=180°-60°-90°=30°，

在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=2，

∴BE=，

根据勾股定理AE最小值=,

∴MN=．

故选择C．

【点睛】

本题考查三角形中位线性质，平行四边形性质，点到直线距离，三角形内角和，30°直角三角形性质，勾股定理，掌握三角形中位线性质，平行四边形性质，点到直线距离，三角形内角和，30°直角三角形性质，勾股定理是解题关键．

5、D

【解析】

【分析】

先计算出正方形的对角线长，即可逐项进行判定求解．

【详解】

解：A、正方形的边长为2，

对角线长为，

长度为的线段能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故不符合题意；

B、边长为2的等边三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故不符合题意；

C、斜边为2的直角三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故不符合题意；

D、而面积为4的菱形对角线长可以为8，故不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故符合题意，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是掌握相关图形的特征进行判断．

6、C

【解析】

【分析】

设每一个外角都为x，则相邻的内角为4x，然后根据“邻补角和为180°”列方程求得外角的大小，然后再根据多边形外角和定理求得多边形边数，最后运用多边形内角和公式求解即可．

【详解】

解：设每一个外角都为x，则相邻的内角为4x，

由题意得，4x+x＝180°，

解得：x＝36°，

多边形的外角和为360°，

360°÷36°＝10，

所以这个多边形的边数为10，

则该多边形的内角和是：（10﹣8）×180＝1440°．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了多边形内角和相邻外角的关系、多边形的外角和、多边形内角和等知识点，掌握多边形的外角和为360°是解答本题的关键．

7、C

【解析】

【分析】

首先求得外角的度数，然后利用多边形的外角和是360度，列式计算即可求解．

【详解】

解：由题意可知：n边形每个外角的度数是：180°-156°=24°，

则n=360°÷24°=15．

故选：C．

【点睛】

本题考查了多边形的外角与内角，熟记多边形的外角和定理是关键．

8、B

【解析】

略

9、B

【解析】

略

10、C

【解析】

【分析】

实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．

【详解】

解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7．

故选C

【点睛】

本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．

二、填空题

1、     50°     130°     50°     100°     80°     100°     80°

【解析】

略

2、6

【解析】

【分析】

先求出这个多边形的每一个外角的度数，然后根据任意多边形外角和等于360°，再用360°除以外角的度数，即可得到边数．

【详解】

∵多边形的每一个内角都等于120°，

∴多边形的每一个外角都等于180°-120°=60°，

∴边数n=360°÷60°=6．

故答案为：6．

【点睛】

此题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是解答本题的关键．

3、     中位线     3

【解析】

略

4、5

【解析】

略

5、八

【解析】

【分析】

根据n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线，可组成(n-2)个三角形，依此可得n的值，即得出答案．

【详解】

解：由题意得，n-2=6，

解得：n=8，

故答案为：八．

【点睛】

本题考查了多边形的对角线，解题的关键是熟知一个n边形从一个顶点出发，可将n边形分割成(n-2)个三角形．

三、解答题

1、 (1)＝

(2)∠P＝90°－∠A

(3)∠P＝180°－∠BAD－∠CDA，探究见解析

【解析】

【分析】

（1）根据三角形外角的性质得：∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，两式相加可得结论；

（2）根据角平分线的定义得：∠CBP=∠DBC，∠BCP=∠ECB，根据三角形内角和可得：∠P的式子，代入（1）中得的结论：∠DBC+∠ECB=180°+∠A，可得：∠P=90°−∠A；

（3）根据平角的定义得：∠EBC=180°-∠1，∠FCB=180°-∠2，由角平分线得：∠3=∠EBC=90°−∠1，∠4=∠FCB=90°−∠2，相加可得：∠3+∠4=180°−（∠1+∠2），再由四边形的内角和与三角形的内角和可得结论．

(1)

∠DBC+∠ECB-∠A=180°，

理由是：∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，

∴∠DBC+∠ECB=2∠A+∠ACB+∠ABC=180°+∠A，

∴∠DBC+∠ECB-∠A=180°，

故答案为：=；

(2)

∠P=90°-∠A，

理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，

∴∠CBP=∠DBC，∠BCP=∠ECB，

∵△BPC中，∠P=180°-∠CBP-∠BCP=180°-（∠DBC+∠ECB），

∵∠DBC+∠ECB=180°+∠A，

∴∠P=180°-（180°+∠A）=90°-∠A．

故答案为：∠P=90°-∠A，

(3)

∠P=180°-∠BAD-∠CDA，

理由是：如图，

∵∠EBC=180°-∠1，∠FCB=180°-∠2，

∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，

∴∠3=∠EBC=90°-∠1，∠4=∠FCB=90°-∠2，

∴∠3+∠4=180°-（∠1+∠2），

∵四边形ABCD中，∠1+∠2=360°-（∠BAD+∠CDA），

又∵△PBC中，∠P=180°-（∠3+∠4）=（∠1+∠2），

∴∠P=×[360°-（∠BAD+∠CDA）]=180°-（∠BAD+∠CDA）=180°-∠BAD-∠CDA．

【点睛】

本题是四边形和三角形的综合问题，考查了三角形和四边形的内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形外角的性质是关键．

2、 (1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）先根据折叠的性质可得，再根据矩形的性质、平行线的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证；

（2）设，从而可得，先在中，利用勾股定理可得的值，再利用三角形的面积公式即可得．

(1)

证明：由折叠的性质得：，

四边形是长方形，

，

，

，

．

(2)

解：四边形是长方形，

，

设，则，

在中，，即，

解得，

即，

则阴影部分的面积为．

【点睛】

本题考查了矩形与折叠问题、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．

3、 (1)见解析

(2)AE2+ GF2=EG2，证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据“SAS”证明△ADE≌△CDE即可；

（2）连接CG，可得CG=GF=GH=FH，再证明∠ECG=90°，然后在Rt△CEG中，可得CE2+CG2=EG2，进而可得线段AE，EG和GF之间的数量关系．

(1)

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD，∠ADE=∠CDE，

在△ADE和△CDE中

，

∴△ADE≌△CDE，

∴AE=CE；

(2)

AE2+ GF2=EG2，理由：

连接CG

∵△ADE≌△CDE，

∴∠1=∠2．

∵G为FH的中点，

∴CG=GF=GH=FH，

∴∠6=∠7．

∵∠5=∠6，

∴∠5=∠7．

∵∠1+∠5=90°，

∴∠2+∠7=90°，即∠ECG=90°，

在Rt△CEG中，CE2+CG2=EG2，

∴AE2+ GF2=EG2．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，证明△ADE≌△CDE是解（1）的关键，证明∠ECG=90°是解（2）的关键．

4、 (1)见解析；

(2)，，见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意作出即可；

（2）证明即可得结论．

(1)

如图，即为所求．

(2)

，．

∵四边形ABCD是正方形，

∴，．

在和中，

∴（AAS），

∴．

∵，．

∴，即．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，三角形全等的性质与判定，作一个角等于已知角，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．

5、 (1)证明见解析

(2)10

【解析】

【分析】

（1）利用AC平分∠BAD，AB∥CD，得到∠DAC＝∠DCA，即可得到AD＝DC，利用一组对边平行且相等可证明四边形ABCD是平行四边形，再结合AB＝AD，即可求证结论；

（2）根据菱形的性质，得到CD＝13，AO＝CO＝12，结合中位线性质，可得四边形BDEG是平行四边形，利用勾股定理即可得到OB、OD的长度，即可求解．

(1)

证明：∵AC平分∠BAD，AB∥CD，

∴∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BAC，

∴∠DAC＝∠DCA，

∴AD＝DC，

又∵AB∥CD，AB＝AD，

∴AB∥CD且AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB＝AD，

∴四边形ABCD是菱形．

(2)

解：连接BD，交AC于点O，如图：

∵菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，

∴CD＝13，AO＝CO＝12，

∵点E、F分别是边CD、BC的中点，

∴EF∥BD（中位线），

∵AC、BD是菱形的对角线，

∴AC⊥BD，OB＝OD，

又∵AB∥CD，EF∥BD，

∴DE∥BG，BD∥EG，

∵四边形BDEG是平行四边形，

∴BD＝EG，

在△COD中，

∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，

∴，

∴EG＝BD＝10．

【点睛】

本题考查了平行四边形性质判定方法、菱形的判定和性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识，关键在于熟悉四边形的判定方法和在题目中找到合适的判定条件．