冀教版八年级下册第二十二章 四边形综合与测试精品精练

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八年级数学下册第二十二章四边形综合训练
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、在Rt△ABC中，∠B＝90°，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形AEDF的周长是（ ）

A．18 B．16 C．14 D．12
2、如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，，，E是OB的中点，P是CD的中点，连接PE，则线段PE的长为（ ）

A． B． C． D．
3、如图，点D，E分别是△ABC边BA，BC的中点，AC＝3，则DE的长为（ ）

A．2 B． C．3 D．
4、如图，已知长方形，，分别是，上的点，，分别是，的中点，当点在上从点向点移动，而点不动时，那么下列结论成立的是（ ）

A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减少
C．线段的长不变 D．线段的长先增大后变小
5、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC=10，BD=24，则FG的长为（ ）

A． B．8 C． D．
6、数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是( )
A．测量对角线是否互相平分 B．测量一组对角是否都为直角
C．测量对角线长是否相等 D．测量3个角是否为直角
7、将图1所示的长方形纸片对折后得到图2，图2再对折后得到图3，沿图3中的虚线剪下并展开，所得的四边形是（　　）

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
8、将一长方形纸条按如图所示折叠，，则（ ）

A．55° B．70° C．110° D．60°
9、如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为；⑤；⑥．其中正确结论有几个（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
10、如图，在平行四边形中，平分，交边于，，，则的长为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．5
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，如果BC=7，那么DE=____．

2、如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，连接EB，ED，当时，的度数为______．

3、如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下3个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③S△BEF＝．在以上3个结论中，正确的有______．（填序号）

4、如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，E为AB中点，若CE=3，则CD=____．

5、如图，正方形中，为上一动点（不含、，连接交于，过作交于，过作于，连接，．下列结论：①；②；③平分；④，正确的是__（填序号）．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、（1）【探究一】如图1，我们可以用不同的算法来计算图形的面积．

①方法1：如果把图1看成一个大正方形，那么它的面积为 ；
②方法2：如果把图1看成是由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形，那么它的面积为 ；（写成关于a、b的两次三项式）用两种不同的算法计算同一个图形的面积，可以得到等式 ．
（2）【探究二】如图2，从一个顶点处引n条射线，请你数一数共有多少个锐角呢?
①方法1：一路往下数，不回头数．
以OA1为边的锐角有∠A1OA2、∠A1OA3、∠A1OA4、…、∠A1OAn，共有（n－1）个；
以OA2为边的锐角有∠A2OA3、∠A2OA4、…、∠A2OAn，共有（n－2）个；
以OA3为边的锐角有∠A3OA4、…、∠A3OAn，共有（n－3）个；
以OAn－1为边的锐角有∠An－1OAn，共有1个；
则图中锐角的总个数是 ；
②方法2：每一条边都能和除它以外的（n－1）条边形成锐角，共有n条边，可形成n（n－1）个锐角，但所有锐角都数了两遍，所以锐角的总个数是 ；
用两种不同的方法数锐角个数，可以得到等式 ．
（3）【应用】分别利用【探究一】中得到的等式和【探究二】中运用的思想解决问题．
①计算：19782＋20222；
②多边形中连接任意两个不相邻顶点的线段叫做对角线，如五边形共有5条对角线，则十七边形共有 条对角线，n边形共有 条对角线．
2、数学学习小组在学习了三角形中位线定理后，对四边形中有关中点的问题进行了探究：如图，在四边形中，E，F分别是边的中点．

(1)若，，，，求的长．小兰说：取的中点P，连接，．利用三角形中位线定理就能解答此题，请你根据小兰提供的思路解答此题；
(2)小花说：根据小兰的解题思路得到启发，如果满足，就能得到、、的数量关系，你觉得小花说得对吗？若对，请你帮小花得到、、的数量关系，并说明理由．
3、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AD//BC

(1)在图中，用尺规作线段BD的垂直平分线EF，分别交BD、BC于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接DF，证明四边形ABFD为菱形．
4、在平面直角坐标系中，已知点，，，以点，，为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为，，，如图所示．

(1)若，则点，，的坐标分别是（　　），（　　），（　　）；
(2)若△是以为底的等腰三角形，
①直接写出的值；
②若直线与△有公共点，求的取值范围．
(3)若直线与△有公共点，求的取值范围．
5、如图，平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°．

(1)求作：AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)在（1）的条件下，设直线MN交AD于E，且∠C＝22.5°，求证：NE＝AB．

-参考答案-
一、单选题
1、B
【解析】
略
2、A
【解析】
【分析】
取OD的中点H，连接HP，由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO＝4，OB＝OD＝6，由三角形中位线定理可得，，可得EH＝6，，由勾股定理可求PE的长．
【详解】
解：如图，取OD的中点H，连接HP

∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，OB＝OD＝6
∵点H是OD中点，点E是OB的中点，点P是CD的中点
∴OH=3，OE=3，，
∴EH＝6，
在中，由勾股定理可得：
∴
故选：A
【点睛】
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
3、D
【解析】
略
4、C
【解析】
【分析】
因为R不动，所以AR不变．根据三角形中位线定理可得EF＝AR，因此线段EF的长不变．
【详解】
解：连接．

、分别是、的中点，
为的中位线，
，为定值．
线段的长不改变．
故选：．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AR不变，则对应的中位线的长度就不变．
5、A
【解析】
【分析】
由菱形的性质得出OA=OC=5，OB=OD=12，AC⊥BD，根据勾股定理求出AD=13，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE=6.5，证出四边形EFOG是矩形，得到EO=GF即可得出答案．
【详解】
解：连接OE，

∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=5，OB=OD=12，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，AD==13，
又∵E是边AD的中点，
∴OE=AD=×13=6.5，
∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，
∴∠EFO=90°，∠EGO=90°，∠GOF=90°，
∴四边形EFOG为矩形，
∴FG=OE=6.5．
故选：A．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边上中线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．
6、D
【解析】
【分析】
矩形的判定方法有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；由矩形的判定方法即可求解．
【详解】
解：A、对角线是否互相平分，能判定是否是平行四边形，故不符合题意；
B、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状，故不符合题意；
C、测量对角线长是否相等，不能判定形状，故不符合题意；
D、测量3个角是否为直角，若四边形中三个角都为直角，能判定矩形，故符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是矩形的判定、平行四边形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
7、B
【解析】
【分析】
根据操作过程可还原展开后的纸片形状，并判断其属于什么图形．
【详解】

展得到的图形如上图，
由操作过程可知：AB=CD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定，和菱形的判定，拥有良好的空间想象能力是解决本题的关键．
8、B
【解析】
【分析】
从折叠图形的性质入手，结合平行线的性质求解．
【详解】
解：由折叠图形的性质结合平行线同位角相等可知，，
，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查折叠的性质及平行线的性质，解题的关键是结合图形灵活解决问题．
9、D
【解析】
【分析】
如图，过点作于点，连接，可说明四边形为矩形，，，是等腰直角三角形，；①中，可得为等腰直角三角形，进而求，由于四边形是平行四边形，，故可知；②，四边形为矩形，进而可求矩形的周长；③证明，由全等可知，进而可说明；④，当最小时，最小，即时，最小，计算即可；⑤在和中，勾股定理求得，将线段等量替换求解即可；⑥如图1，延长与交于点，证明，得，，，进而可说明．
【详解】
解：如图，过点作于点，连接，

由题意知
∴四边形为平行四边形
∵
∴四边形为矩形
∴
∵
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
①∵，
∴为等腰直角三角形
∴
，
∴
∴四边形是平行四边形
∴
∴
故①正确；
②∵
∴四边形为矩形
∴四边形的周长
故②正确；
③四边形为矩形

∵在和中
∵
∴
∴
∴
故③正确；
④∵
当最小时，最小
∴当时，即时，的最小值等于
故④正确；
⑤在和中，，
∴
故⑤正确；
⑥如图1，延长与交于点

∵在和中
∵
∴
∴
∵
∴
∴

故⑥正确；
综上，①②③④⑤⑥正确，
故选：．
【点睛】
本题考查了正方形，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形全等．解题的关键在于对知识的灵活综合运用．
10、B
【解析】
【分析】
先由平行四边形的性质得，，再证，即可求解．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．
二、填空题
1、3.5##72
【解析】
【分析】
根据DE是△ABC的中位线，计算求解即可．
【详解】
解：∵D，E分别是边AB，AC的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴DEBC3.5
故答案为：3.5．
【点睛】
本题考查了中位线．解题的关键在于正确的求值．
2、18°##18度
【解析】
【分析】
由“SAS”可证△DCE≌△BCE，可得∠CED=∠CEB=∠BED=63°，由三角形的外角的性质可求解．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC=AB，∠DAE=∠BAE=∠DCA=∠BCA=45°，
在△DCE和△BCE中，
，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴∠CED=∠CEB=∠BED=63°，
∵∠CED=∠CAD+∠ADE，
∴∠ADE=63°-45°=18°，
故答案为：18°．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△DCE≌△BCE是本题的关键．
3、①②③
【解析】
【分析】
根据正方形的性质和折叠的性质可得，，于是根据“”判定，再由，，为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出，，进而求出的面积．
【详解】
解：由折叠可知，，，，
，
在和中，
，
，故①正确；
，
正方形边长是12，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
即：，
解得：
，，，故②正确；
，，故③正确；
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用这些性质解决问题．
4、6
【解析】
【分析】
由AC⊥BC，E为AB中点，若CE=3，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得AB的长，然后由平行四边形的性质，求得答案．
【详解】
解：∵AC⊥BC，E为AB中点，
∴AB=2CE=2×3=6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=6．
故答案为：6．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质．注意平行四边形的对边相等．
5、①②④
【解析】
【分析】
连接，延长交于点．可证，进而可得，由此可得出；再由，即可得出；连接交于点，则，证明，即可得出，进而可得；过点作于点，交于点，由于是动点，的长度不确定，而是定值，即可得出不一定平分．
【详解】
解：如图，连接，延长交于点．

∵为正方形的对角线
∴，
在和中

∴
∴，
∵， ，
∴
∵，
∴
∴
∴
故①正确；
∵，
∴是等腰直角三角形
∴
故②正确；
连接交于点，则
∵
∴
在和中

∴
∴
∴
故④正确．
过点作于点，交于点，是动点
∵的长度不确定，而是定值
∴不一定等于
不一定平分
故③错误；
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，角平分线性质和判定，等腰三角形的性质与判定等，熟练掌握全等三角形判定和性质，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
三、解答题
1、（1）①；②；=；（2）①（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；②；（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=；（3）①8000968；②119，n(n-3)
【解析】
【分析】
（1）①根据边长为(a+b)的正方形面积公式求解即可；
②利用矩形和正方形的面积公式求解即可；
（2）①根据题中的数据求和即可；
②根据题意求解即可；
（3）①利用（1）的规律求解即可；
②根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为n(n-3)（n≥3，且n为整数）可得答案．
【详解】
解：（1）①大正方形的面积为；
②由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形的面积为；
可以得到等式：=；
故答案为：①；②；=；
（2）①图中锐角的总个数是：（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；
②锐角的总个数是n（n－1）；
可以得到等式为（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=n（n－1）；
故答案为：①（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；②n（n－1）；（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=n（n－1）；
（3）①19782＋20222＝[2000＋（－22）]2＋（2000＋22）2
＝20002＋（－22）2＋2×2000×（－22）＋20002＋222＋2×2000×22
＝2×（20002＋222）
＝2×[4000000＋（20＋2）2]
＝2×[4000000＋（202＋22＋2×20×2）]＝8000968；
②一个四边形共有2条对角线，即×4×(4-3)=2；
一个五边形共有5条对角线，即×5×(5-3)=5；
一个六边形共有9条对角线，即×6×(6-3)=9；
……，
一个十七边形共有×17×(17-3)=119条对角线；
一个n边形共有n(n-3)（n≥3，且n为整数）条对角线．
故答案为：119，n(n-3)．
【点睛】
本题考查了图形的变化规律，完全平方公式，多边形的对角线，对于这种图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键．
2、 (1)
(2)，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意作出辅助线，根据中位线的性质求得，根据平行线的性质求得，进而勾股定理即可求得;
（2）方法同（1）．
(1)
解：如图，取的中点P，连接，，

P，E，F分别是边的中点, ，，
,，
，，
,，
，
在中，，

(2)
，理由如下，
如图，取的中点P，连接，，

P，E，F分别是边的中点,，
,，
，
,，
，
在中，，
即

【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行线的性质，掌握中位线定理是解题的关键．
3、 (1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；
（2）结合垂直平分线的性质得出△ADE≌△FBE，即可得出AE=EF，进而利用菱形的判定方法得出答案．
(1)
（1）如图：EF即为所求作

(2)
证明：如图，连接DF，
∵AD//BC，
∴∠ADE=∠EBF，
∵AF垂直平分BD，
∴BE=DE．
在△ADE和△FBE中，
，
∴△ADE≌△FBE（ASA），
∴AE=EF，
∴BD与AF互相垂直且平分，
∴四边形ABFD为菱形．
【点睛】
此题主要考查了菱形的判定以及线段垂直平分线的性质与作法，正确应用线段垂直平分线的性质是解题关键．
4、 (1)-3，3，1，3，-3，-1
(2)①-2；②
(3)或
【解析】
【分析】
（1）分别以、、为对角线，利用平行四边形以及平移的性质可得点，，的坐标；
（2）①根据平行公理得，、在同一直线上，、、在同一直线上，可得是等腰三角形△的中位线，求出，即可得的值；
②由①求得的的值可得，的坐标，分别求出直线过点，时的值即可求解；
（3）由题意用表示出点，，的坐标，画出图形，求出直线与△交于点，时的值即可求解．
(1)
解：，，
，轴．
以为对角线时，
四边形是平行四边形，
，，
将向左平移2个单位长度可得，即；
以为对角线时，
四边形是平行四边形，
，，
将向右平移2个单位长度可得，即；
以为对角线时，
四边形是平行四边形，
对角线的中点与的中点重合，
的中点为，，
．
故答案为：，，；
(2)
解：①如图，若△是以为底的等腰三角形，

四边形，，是平行四边形，
，，，
、、在同一直线上，、、在同一直线上，，
是等腰三角形△的中位线，
，，
，，，
，
；
②由①得，
，．
当直线过点时，，解得：，
当直线过点时，，解得：，
的取值范围为；
(3)
解：如图，，，，
，．

连接、交于点，
四边形是平行四边形，
点、关于点对称，
，
直线与△有公共点，
当直线与△交于点，，解得：，
时，直线与△有公共点；
当直线与△交于点，，解得：，
时，直线与△有公共点；
综上，的取值范围为或．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，平移的性质，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识，解题的关键是利用数形结合与分类讨论的思想进行求解．
5、 (1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意作AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N
（2）连接，根据平行四边形的性质求得，进而根据垂直平分线的性质以及导角可求得 是等腰直角三角形，进而证明即可得证NE＝AB．
(1)
如图，AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N

(2)
如图，连接

四边形是平行四边形

，
，

则
是的垂直平分线



又


在与中，



【点睛】
本题考查了作垂直平分线，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形全等的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．