初中数学冀教版八年级下册第二十二章 四边形综合与测试优秀练习题

八年级数学下册第二十二章四边形章节训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是（       ）

A．5 B．4 C．7 D．6

2、如图．在长方形纸片ABCD中，AB=12，AD=20，所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．点P，Q分别在边AB、AD上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为（       ）

A．8 B．10 C．12 D．16

3、如图，正方形的边长为，对角线、相交于点．为上的一点，且，连接并延长交于点．过点作于点，交于点，则的长为（     ）

A． B． C． D．

4、如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点落在∠BAC内部．若，且，则∠DAE的度数为（       ）

A．12° B．24° C．39° D．45°

5、如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，菱形的对角线的交于点D；若将菱形OABC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D的坐标为（       ）

A．(1，1) B．(﹣1，﹣1) C．(-1，1) D．(1，﹣1)

6、如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为a、b，且a2＋b2＝ab＋10，那么小正方形的面积为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

7、在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（       ）

A．∠ABC＝90° B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB∥CD

8、如图，在中，，于点D，F在BC上且，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

9、如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，再以△AB2C2各边的中点为顶点作△A3B3C3，…如此下去，则△AnBnCn的周长为（　　）

A．a B．a C．a D．a

10、一个多边形从一个顶点引出的对角线条数是4条，这个多边形的边数是（       ）

A．5 B．6 C．7 D．8

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、平行四边形的判定方法：

（1）两组对边分别______的四边形是平行四边形

（2）两组对边分别______的四边形是平行四边形

（3）两组对角分别______的四边形是平行四边形

（4）对角线______的四边形是平行四边形

（5）一组对边______的四边形是平行四边形

2、若过某多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成3个三角形，则这个多边形是________边形．

3、如图，矩形中，，，以点为中心，将矩形旋转得到矩形，使得点落在边上，则的度数为__________．

4、如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作，垂足为点F．若，，则正方形ABCD的面积为______．

5、如图①，小刚沿菱形纸片ABCD各边中点的连线裁剪得到四边形纸片EFGH，再将纸片EFGH按图②所示的方式分别沿MN、PQ折叠，当PNEF时，若阴影部分的周长之和为16，△AEH，△CFG的面积之和为12，则菱形纸片ABCD的一条对角线BD的长为_____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在矩形ABCD中，

(1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作对角线BD的垂直平分线EF分别交AD、BC于E、F点，交BD于O点．

(2)在（1）的条件下，求证：AE=CF．

2、如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，AB＝5，CE＝2，T为AF的中点，求CT的长．

3、如图，正方形ABCD中，E为BD上一点，AE的延长线交BC的延长线于点F，交CD于点H，G为FH的中点．

(1)求证：AE=CE；

(2)猜想线段AE，EG和GF之间的数量关系，并证明．

4、数学学习小组在学习了三角形中位线定理后，对四边形中有关中点的问题进行了探究：如图，在四边形中，E，F分别是边的中点．

(1)若，，，，求的长．小兰说：取的中点P，连接，．利用三角形中位线定理就能解答此题，请你根据小兰提供的思路解答此题；

(2)小花说：根据小兰的解题思路得到启发，如果满足，就能得到、、的数量关系，你觉得小花说得对吗？若对，请你帮小花得到、、的数量关系，并说明理由．

5、已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．

(1)如图1，CDOB，CD＝OA，连接AD，BD．

①           ；

②若OA＝2，OB＝3，则BD＝           ；

(2)如图2，在射线OM上截取线段BE，使BE＝OA，连接CE，当点B在射线OM上运动时，求∠ABO和∠OCE的数量关系；

(3)如图3，当E为OB中点时，平面内一动点F满足FA=OA，作等腰直角三角形FQC，且FQ=FC，当线段AQ取得最大值时，直接写出的值．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题．

【详解】

解：根据题意，得：（n-2）×180=360×2，

解得n=6．

故选：D．

【点睛】

本题考查了多边形内角与外角，解答本题的关键是根据多边形内角和公式和外角和定理，利用方程法求边数．

2、A

【解析】

【分析】

根据翻折的性质，可得BA′与AP的关系，根据线段的和差，可得A′C，根据勾股定理，可得A′C，根据线段的和差，可得答案．

【详解】

解：①在长方形纸片ABCD中，AB=12，AD=20，

∴BC=AD=20，

当p与B重合时，BA′=BA=12，

CA′=BC-BA′=20-12=8，

②当Q与D重合时，

由折叠得A′D=AD=20，

由勾股定理，得

CA′==16，

CA′最远是16，CA′最近是8，点A′在BC边上可移动的最大距离为16-8=8，

故选：A．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键．

3、C

【解析】

【分析】

根据正方形的性质以及已知条件求得的长，进而证明，即可求得，勾股定理即可求得的长

【详解】

解：如图，设的交点为，

四边形是正方形

，,

，，

，,

在与中

在中，

故选C

【点睛】

本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质是解题的关键．

4、C

【解析】

【分析】

由折叠的性质得到，由长方形的性质得到，根据角的和差倍分得到，整理得 ，最后根据解题．

【详解】

解：折叠，

是矩形

故选：C．

【点睛】

本题考查角的计算、折叠性质、数形结合思想等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

5、B

【解析】

【分析】

分别过点和点作轴于点，作轴于点，根据菱形的性质以及中位线的性质求得点的坐标，进而计算旋转的度数，7.5周，进而根据中心对称求得点旋转后的D坐标

【详解】

如图，分别过点和点作轴于点，作轴于点，

∴，

∵四边形为菱形，

∴点为的中点，

∴点为的中点，

∴，，

∵，

∴；

由题意知菱形绕点逆时针旋转度数为：，

∴菱形绕点逆时针旋转周，

∴点绕点逆时针旋转周，

∵，

∴旋转60秒时点的坐标为．

故选B

【点睛】

根据菱形的性质及中点的坐标公式可得点D坐标，再根据旋转的性质可得旋转后点D的坐标，熟练掌握菱形的性质及中点的坐标公式、中心对称的性质是解题的关键．

6、A

【解析】

【分析】

由正方形1性质和勾股定理得，再由，得，则，即可解决问题．

【详解】

解：设大正方形的边长为，

大正方形的面积是18，

，

，

，

，

，

小正方形的面积，

故选：A．

【点睛】

本题考查了勾股定理、正方形的性质以及完全平方公式等知识，解题的关键是求出．

7、B

【解析】

略

8、B

【解析】

【分析】

先求出，再根据等腰三角形的三线合一可得点是的中点，然后根据三角形中位线定理即可得．

【详解】

解：，

，

，

（等腰三角形的三线合一），

即点是的中点，

为的中点，

是的中位线，

，

故选：B．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形中位线定理，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．

9、A

【解析】

【分析】

根据三角形中位线的性质可知的周长的周长，的周长的周长，以此类推找出规律，写出代数式，再整理即可选择．

【详解】

解：∵以△ABC的各边的中点为顶点作，

∴的周长的周长．

∵以各边的中点为顶点作，

∴的周长的周长，

…，

∴的周长

故选：A．

【点睛】

本题主要考查三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质求出前2个三角形的面积总结出规律是解答本题的关键．

10、C

【解析】

【分析】

根据从n边形的一个顶点引出对角线的条数为(n-3)条，可得答案．

【详解】

解：∵一个n多边形从某个顶点可引出的对角线条数为(n-3)条，

而题目中从一个顶点引出4条对角线，

∴n-3=4，得到n=7，

∴这个多边形的边数是7．

故选：C．

【点睛】

本题考查了多边形的对角线，从一个顶点引对角线，注意相邻的两个顶点不能引对角线．

二、填空题

1、     平行     相等     相等     互相平分     平行且相等

【解析】

略

2、五

【解析】

【分析】

根据过多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成(n-2)个三角形，计算可求解．

【详解】

解：设这是个n边形，由题意得

n-2=3，

∴n=5，

故答案为：五．

【点睛】

本题主要考查多边形的对角线，掌握多边形对角线的性质是解题的关键．

3、90

【解析】

【分析】

根据旋转的性质和矩形的性质可得CD=C'D=AB=AB'=3，A'D=AD=BC=B'C'=4，由勾股定理可求AC=AC'的长，延长C'B'交BC于点E，连接CC'，由勾股定理求出CC'的长，最后由勾股定理逆定理判断是直角三角形即可．

【详解】

解：∵将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转90°，得到矩形AB′C′D′，

∴CD=C'D=AB=AB'=3，A'D=AD=BC=B'C'=4，

∴

延长C'B'交BC于点E，连接CC'，如图，

则四边形是矩形

∴

∴

∴

而

∴

∴是直角三角形

∴

故答案为：90

【点睛】

本题考查勾肥定理、旋转的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，

4、49

【解析】

【分析】

延长FE交AB于点M，则，，由正方形的性质得，推出是等腰直角三角形，得出，由勾股定理求出CM，故得出BC，由正方形的面积公式即可得出答案．

【详解】

如图，延长FE交AB于点M，则，，

∵四边形ABCD是正方形，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

在中，，

∴，

∴．

故答案为：49．

【点睛】

本题考查正方形的性质以及勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键．

5、12

【解析】

【分析】

证出EH是△ABD的中位线，得出BD=2EH=4HN，由题意可以设AN=PC=x，EN=HN=PF=PG=y．构建方程组求出x，y即可解决问题．

【详解】

解：连接BD，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，AC与BD垂直平分，

∵E是AB的中点，H是AD的中点，

∴AE=AH，EH是△ABD的中位线，

∴EN=HN，BD=2EH=4HN，

由题意可以设AN=PC=x，EN=HN=PF=PG=y．

则有，

解得：，

∴AN=2，HN=3，

∴BD=4HN=12；

故答案为：12．

【点睛】

本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质、三角形中位线定理、方程组的解法等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．

三、解答题

1、 (1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）利用尺规作出图形即可．

（2）利用全等三角形的性质证明即可．

(1)

解：如图，直线EF即为所求作．

．

(2)

证明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠ADB=∠DBC，

∵EF为BD的垂直平分线，

∴∠EOD=∠FOB=90°，OB=OD，

在△EOD与△FOB中，

，

∴△EOD≌△FOB（ASA），

∴ED=BF，

∴AD-ED=BC-BF，即AE=CF．

【点睛】

本题考查了作图-复杂作图，线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

2、

【解析】

【分析】

连接AC，CF，如图，根据正方形的性质得到AC=，AB=5，CF=CE=2，∠ACD=45°，∠GCF=45°，则利用勾股定理得到AF=，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到CT的长．

【详解】

解：连接AC、CF，如图，

∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，

∴AC=AB=5，CF=CE=2，∠ACD=45°，∠GCF=45°，

∴∠ACF=45°+45°=90°，

在Rt△ACF中，

∵T为AF的中点，

∴，

∴CT的长为．

【点睛】

本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，也考查了直角三角形斜边上的中线性质．

3、 (1)见解析

(2)AE2+ GF2=EG2，证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据“SAS”证明△ADE≌△CDE即可；

（2）连接CG，可得CG=GF=GH=FH，再证明∠ECG=90°，然后在Rt△CEG中，可得CE2+CG2=EG2，进而可得线段AE，EG和GF之间的数量关系．

(1)

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD，∠ADE=∠CDE，

在△ADE和△CDE中

，

∴△ADE≌△CDE，

∴AE=CE；

(2)

AE2+ GF2=EG2，理由：

连接CG

∵△ADE≌△CDE，

∴∠1=∠2．

∵G为FH的中点，

∴CG=GF=GH=FH，

∴∠6=∠7．

∵∠5=∠6，

∴∠5=∠7．

∵∠1+∠5=90°，

∴∠2+∠7=90°，即∠ECG=90°，

在Rt△CEG中，CE2+CG2=EG2，

∴AE2+ GF2=EG2．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，证明△ADE≌△CDE是解（1）的关键，证明∠ECG=90°是解（2）的关键．

4、 (1)

(2)，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意作出辅助线，根据中位线的性质求得，根据平行线的性质求得，进而勾股定理即可求得;

（2）方法同（1）．

(1)

解：如图，取的中点P，连接，，

P，E，F分别是边的中点, ，，

,，

，，

,，

，

在中，，

(2)

，理由如下，

如图，取的中点P，连接，，

P，E，F分别是边的中点,，

,，

，

,，

，

在中，，

即

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行线的性质，掌握中位线定理是解题的关键．

5、 (1)△DCA；

(2)∠ABO+∠OCE=45°，理由见解析

(3)

【解析】

【分析】

（1）①由平行线的性质可得∠ACD=∠BOA=90°，再由OB=CA，OA=CD，即可利用SAS证明△AOB≌△DCA；②过点D作DR⊥BO交BO延长线于R，由①可知△AOB≌△DCA，得到CD=OA=2，AC=OB=3，再由OC⊥OB，DR⊥OB，CD∥OB，得到DR=OC=OA+AC=5（平行线间距离相等），同理可得OR=CD=3，即可利用勾股定理得到；

（2）如图所示，过点C作CW⊥AC，使得CW=OA，连接AW，BW，先证明△AOB≌△WCA得到AB=AW，∠ABO=∠WAC，然后推出∠ABW=∠AWB=45°，证明四边形BECW是平行四边形，得到BW∥CE，则∠WJC=∠BWA=45°，由三角形外角的性质得到∠WJC=∠WAC+∠JCA，则∠ABO+∠OCE=45°；

（3）如图3-1所示，连接AF，则，如图3-2所示，当A、F、Q三点共线时，AQ有最大值，由此求解即可．

(1)

解：①∵CD∥OB，

∴∠ACD=∠BOA=90°，

又∵OB=CA，OA=CD，

∴△AOB≌△DCA（SAS）；

故答案为：△DCA；

②如图所示，过点D作DR⊥BO交BO延长线于R，

由①可知△AOB≌△DCA，

∴CD=OA=2，AC=OB=3，

∵OC⊥OB，DR⊥OB，CD∥OB，

∴DR=OC=OA+AC=5（平行线间距离相等），

同理可得OR=CD=3，

∴BR=OB+OR=5，

∴；

故答案为：；

(2)

解：∠ABO+∠OCE=45°，理由如下：

如图所示，过点C作CW⊥AC，使得CW=OA，连接AW，BW，

在△AOB和△WCA中，

，

∴△AOB≌△WCA（SAS），

∴AB=AW，∠ABO=∠WAC，

∵∠AOB=90°，

∴∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠BAO+∠WAC=90°，

∴∠BAW=90°，

又∵AB=AW，

∴∠ABW=∠AWB=45°，

∵BE⊥OC，CW⊥OC，

∴BE∥CW，

又∵BE=OA=CW，

∴四边形BECW是平行四边形，

∴BW∥CE，

∴∠WJC=∠BWA=45°，

∵∠WJC=∠WAC+∠JCA，

∴∠ABO+∠OCE=45°；

(3)

解：如图3-1所示，连接AF，

∴，

∴如图3-2所示，当A、F、Q三点共线时，AQ有最大值，

∵E是OB的中点，BE=OA，

∴BE=OE=OA，

∴OB=AC=2OA，

∵△CFQ是等腰直角三角形，CF=QF，

∴∠CFQ=∠CFA=90°，

∴，

∴，

∴．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，平行四边形的性质与判定，平行线的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．